системы уравнений »

решите систему уравнений

  • Треугольник ABC задан координатами своих вершин. Высота AD и медиана AE пересекает сторону BC в точках D и E соответственно. Требуется
    1. найти длину DE ;
    2. составить уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно AC;
    3. найти внутренний угол B;
    4. найти уравнение и длину биссектрисы AL;
    5. составить систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область ABC.


    Решение: 1. найти длину DE.
    Находим координаты точки Е как середину стороны ВС:
    Е((7+1)/2=4; (6+3)/2=4,5).
    Координаты точки Д находим как точку пересечения прямой ВС и высоты АД. 
    Уравнение     $$ BC: \frac{x-7}{1-7} = \frac{y-6}{3-6} $$
    $$ BC: \frac{x-7}{-6} = \frac{y-6}{-3} $$
    -3x+21 = -6y+36
    3x-6y+15=0 сократим на 3 и получим уравнение общего вида:
    х-2у+5 = 0 или в виде уравнения с коэффициентом у = 0,5х + 2,5.
    Уравнение высоты АД:     $$ \frac{x-x_A}{y_C-y_B}= \frac{y-y_A}{x_B-x_C} $$.
    Подставим координаты точек:АД: $$ \frac{x-4}{3-6} = \frac{y-7}{7-1} $$
    $$ \frac{x-4}{-3} = \frac{y-7}{6} $$
    6x-24 = -3y+21
    6x+3y-45 = 0
    2x + y - 15 = 0  или  y = -2x + 15.

    Решаем систему $$ \left \{ {{y=0,5x+2,5} \atop {y=-2x+15}} \right. $$
    Вычтем из первого уравнения второе -2,5х+12,5=0
    х = 12,5/2,5 = 5.
    у = -2*5 + 15 = -10 + 15 = 5.

    Отсюда находим длину отрезка ЕД:
    $$ ED= \sqrt{(5-4)^2+(5-4,5)^2} = \sqrt{1+0,25}= \sqrt{1,25} = \frac{ \sqrt{5}}{2} $$ ≈  1,118034.

    2. составить уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно AC.
    Для этого надо составить уравнение прямой АС:
     АС : -4 Х + 3 У - 5 = 0  или, умножив на -1: АС: 4х - 3у + 5 = 0.
    Это же уравнение в виде уравнения с коэффициентом:
    у = (4/3)х + (5/3).
     Уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно AC, имеет вид ах + в, где коэффициент а равен коэффициенту прямой АС.
    Подставим координаты точки Е:
    4,5 = (4/3)*4 + в.
    Отсюда находим значение в:
    в = 4,5 - (16/3) = -5/6.
    Получаем искомое уравнение у = (4/3)х - (5/6).

    3. найти внутренний угол B.
    Внутренние углы определяем по теореме косинусов.
    cos В= (АВ²+ВС²-АС²)/(2*АВ*ВС)  = 0.70710.
     B = arc cos 0,70710 = 0.785398 радиан = 45 градусов.

    4. найти уравнение и длину биссектрисы AL.
    Уравнение биссектрисы имеет вид:
     АL:  (((Ув-Уа)/АВ) +( (Ус-Уа)/АС )) * Х +  ((( Ха-Хв)/АВ)  + ((Ха-Хс)/АС)) * У  + ((Хв*Уа - Ха*Ув)/АВ) + (Хс*Уа - Ха*Ус)/АС))  = 0.
    Подставив координаты точек, полчаем:
    -1,1162 Х + -0,34868 У + 6,90569 = 0  или, сократив на -1,1162:
     Х + 0,31238 У  - 6,18664 = 0.
    Это же уравнение в виде уравнения с коэффициентом:
     у = -3.201265367 х + 19.80506.

    5. составить систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область ABC.
     x y т.С 1 3 АВ : -3.75 <0 т.А 4 7 ВС : 15 >0 т.В 7 6 АС : -15 <0

  • Решить уравнения: 3в степени(2x)-2×3в степени(x)-3=0;систему неравенств:обьединяющая скобка x+y=3;5встепени(x+3y)=1/5


    Решение: 3²ˣ-2*3ˣ-3=0
    Пусть 3ˣ=у, тогда получим уравнение
    у²-2у-3=0

    Найдем дискриминант квадратного уравнения:

    D = b2 - 4ac = (-2)2 - 4·1·(-3) = 4 + 12 = 16

    Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

    у1 = 2 + √162·1 = 2 + 42 = 62 = 3
    у2 = 2 - √162·1 = 2 - 42 = -22 = -1

    1) у=3ˣ=3, х=1

    2) у=3ˣ=-1 действительных решений нет

  • Треугольник ABC задан координатами своих вершин. Высота AD и медиана AE пересекает сторону BC в точках D и E соответственно. Требуется
    1. найти длину DE ;
    2. составить уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно AC;
    3. найти внутренний угол B;
    4. найти уравнение и длину биссектрисы AL;
    5. составить систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область ABC.


    Решение: 1. найти длину DE.
    Находим координаты точки Е как середину стороны ВС:
    Е((7+1)/2=4; (6+3)/2=4,5).
    Координаты точки Д находим как точку пересечения прямой ВС и высоты АД. 
    Уравнение $$ BC: \frac{x-7}{1-7} = \frac{y-6}{3-6} \\ BC: \frac{x-7}{-6} = \frac{y-6}{-3} $$
    -3x+21 = -6y+36
    3x-6y+15=0 сократим на 3 и получим уравнение общего вида:
    х-2у+5 = 0 или в виде уравнения с коэффициентом у = 0,5х + 2,5.
    Уравнение высоты АД: $$ \frac{x-x_A}{y_C-y_B}= \frac{y-y_A}{x_B-x_C} $$.
    Подставим координаты точек: АД: $$ \frac{x-4}{3-6} = \frac{y-7}{7-1} \\ \frac{x-4}{-3} = \frac{y-7}{6} $$
    6x-24 = -3y+21
    6x+3y-45 = 0
    2x + y - 15 = 0 или y = -2x + 15.
    Решаем систему $$ \left \{ {{y=0,5x+2,5} \atop {y=-2x+15}} \right. $$
    Вычтем из первого уравнения второе -2,5х+12,5=0
    х = 12,5/2,5 = 5.
    у = -2*5 + 15 = -10 + 15 = 5.
    Отсюда находим длину отрезка ЕД:
    $$ ED= \sqrt{(5-4)^2+(5-4,5)^2} = \sqrt{1+0,25}= \sqrt{1,25} = \frac{ \sqrt{5}}{2} $$ ≈  1,118034.
    2. составить уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно AC.
    Для этого надо составить уравнение прямой АС:
    АС : -4 Х + 3 У - 5 = 0 или, умножив на -1: АС: 4х - 3у + 5 = 0.
    Это же уравнение в виде уравнения с коэффициентом:
    у = (4/3) х + (5/3).
     Уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно AC, имеет вид ах + в, где коэффициент а равен коэффициенту прямой АС.
    Подставим координаты точки Е:
    4,5 = (4/3)*4 + в.
    Отсюда находим значение в:
    в = 4,5 - (16/3) = -5/6.
    Получаем искомое уравнение у = (4/3) х - (5/6).
    3. найти внутренний угол B.
    Внутренние углы определяем по теореме косинусов.
    cos В= (АВ²+ВС²-АС²)/(2*АВ*ВС) = 0.70710.
    B = arc cos 0,70710 = 0.785398 радиан = 45 градусов.
    4. найти уравнение и длину биссектрисы AL.
    Уравнение биссектрисы имеет вид:
    АL:  (((Ув-Уа)/АВ) +( (Ус-Уа)/АС )) * Х +  ((( Ха-Хв)/АВ) + ((Ха-Хс)/АС)) * У  + ((Хв*Уа - Ха*Ув)/АВ) + (Хс*Уа - Ха*Ус)/АС))  = 0.
    Подставив координаты точек, полчаем:
    -1,1162 Х + -0,34868 У + 6,90569 = 0 или, сократив на -1,1162:
    Х + 0,31238 У - 6,18664 = 0.
    Это же уравнение в виде уравнения с коэффициентом:
    у = -3.201265367 х + 19.80506.
    5. составить систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область ABC.
    x y т. С 1 3 АВ : -3.75 <0 т. А 4 7 ВС : 15 >0 т. В 7 6 АС : -15 <0

  • Дано уравнение окружности x^2+y^2+ax+by+c=0. Методом выделения полного квадрата привести его к виду x-x0^2+ y-y0^2= R^2. Путем параллельного переноса системы координат привести последнее уравнение к виду X^2+Y^2=R^2. Построить обе системы координат, найти в каждой из них центр окружности. Сделать чертеж. a(4) b(-14) c(17)


    Решение: Дано уравнение окружности x²+y²+4x-14y+17=0.
    Выделяем полные квадраты: (x²+4х+4)+(y²-14y+49)-4-49+17=0.
    Получаем уравнение окружности (х+2)²+(у-7)² = 6².
    Отсюда получаем координаты центра С окружности и её радиус R:
    С(-2; 7), R = 6.
    Если в эту точку переместить начало координат, то получим уравнение этой же окружности: Х²+У² = 6².

  • Решить пожал. Если из числителя некоторой дроби вычесть 5, то получится 3/4, а если из знаменателя этой же дроби вычесть 1, то получится число, равное 1. Найти исходную дробь. Пусть х - числитель, у - знаменатель исходной дроби, т. е. исходная дробь равна. Тогда. числитель новой дроби и. новая дробь. По условию. = 3/4 (1). знаменатель др. дроби, другая дробь. По условию. = 1 (2) Так как х и у в уравнениях (1) и (2) обозначают одни и те же числа, то эти уравнения образуют систему:. Решим эту систему:. Итак, х/у =. Ответ: искомая дробь.


    Решение: x-числитель; y-знаменатель

    x/y-искомая дробь

    (x-5)-числитель дроби(1)

    По условию: (x-5)/y=3/4

     (y-1)-знаменатель дроби(2)

    По условию: x/(y-1)=1

    Эти два уравнения объединяем в систему: выражаем из дроби(2) x

    x=y-1

    Меняем в дроби(1) x на y-1, получаем

    (y-1-5)/y=3/4

    (y-6)/y=3/4

    3y=4y-24

    y=24 => x=23

    23/24-искомая дробь 

  • Среднее арифметическое двух чисел равно 32,5. Найдите эти числа, если известно, что 30%одного из них на 0,25 больше, чем 25% другого. Решить системным уравнением.


    Решение: Пусть х- первое число, а у -второе число, тогда их среднее арифметическое равно (х+у):2=32,5. Пусть 30% первого на 0,25 больше 25% второго числа, тогда имеем, что 0,3х-0,25у=0,25. Составим и решим систему уравнений:

    (х+у):2=32,5,

    0,3х-0,25у=0,25;/*100

    х+у=65,

    30х-25у=25;

    х=65-у;

    30(65-у)-25у=25;

    х=65-у,

    1950-30у-25у=25;

    х=65-у,

    -55у=-1925;

    х=65-у,

    у=35;

    х=30,

    у=35.

    30-первое число,

    35-второечисло.

    Ответ:30 и 35.