Определение первообразной и неопределенного интеграла

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f ’(x) или дифференциала f ’(x)dx данной функции f(x)

В интегральном исчислении решается обратная задача:
Дана функция f(x); требуется найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx в области определения функции f(x), т.е. в этой области функции f(x) и F(x) связаны соотношением:

F’(x)=f(x)
или
dF(x)= F’(x)dx= f(x)dx

Определение 1: Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F’(x) = f(x) или dF(x)= f(x)dx

Из дифференциального исчисления известно, что если две функции f(x) и φ(x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, т.е. если


f(x) = φ(x) + C
то
f’(x) = φ’(x)
или
f ’(x)dx = φ’(x)dx

Известно также, что, и наоборот, если две функции f(x) и φ(x) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е. если

f ’(x) = φ’(x) или df(x) = dφ(x),

то
f(x) = φ(x) + С

Отсюда непосредственно следует, что если в формуле y = F(x) + C мы будем придавать постоянной C все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f (x)


Определение 2: Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x) , где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом $$ \int f(x)dx $$

Таким образом, по определению, $$ \int f(x)dx = F(x) + C $$ где F’(x) = f (x) или dF(x) = f(x)dx и С - произвольная постоянная. В последней формуле f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx - подинтегральным выражением, а символ \(\int \) - знаком неопределенного интеграла.

Нахождение неопределенного интеграла - это операция, обратная взятию производной. Таким образом, задача нахождения неопределенного интеграла формулируется достаточно просто: дана функция f(x), необходимо найти функцию F(x) такую, что:

F’(x) = f(x) (1)

Заметим, что равенство (1) не изменится, если к функции F(x) прибавить произвольную постоянную:

(F(x) + Const)’ = F’(x) + (Const)’ = F’(x) + 0 = f(x),

поскольку производная от неё равна нулю. Следовательно, неопределенный интеграл вычисляется с точностью до произвольной постоянной.

Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.
Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подинтегральному выражению, а производная равна подинтегральной функции

Нахождение первообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и является действием, обратным дифференцированию.

Таблица основных неопределенных интегралов

Основные неопределенные интегралы


« назад