Возникновение первых математических понятий и методов

Процесс формирования математических понятий и регулярных приемов решения определенных классов элементарных задач охватывает огромный промежуток времени. Его начало, по всей вероятности, относится к далекому времени, когда человек перешел к использованию орудий для добывания средств существования, а затем и к обмену продуктов труда. Завершается этот период с появлением качественно новых форм математического мышления, т. е. тогда, когда совокупность этих понятий и методов и их содержание делаются достаточно богатыми, чтобы образовать логически связанные системы — начальные формы математических теорий. Последние возникают в математике около VI—V вв. до н. э.

Материальные свидетельства, по которым можно изучать этот самый ранний период в истории математики, немногочисленны и неполны. Исследователю приходится привлекать факты обшей истории культуры человечества, по преимуществу археологические материалы и историю языка. История математики периода ее зарождения практически неотделима от общей истории человечества.

Формы и пути развития математических знаний у различных народов весьма разнообразны. Однако при всем своеобразии путей развития общим для всех народов является то, что все основные понятия математики: понятие числа, фигуры, площади, бесконечно продолжающегося натурального ряда и т. д. — возникли из практики и прошли длинный путь совершенствования.

Понятие числа

Например, понятие числа возникло вследствие практической необходимости пересчета предметов. Вначале считали с помощью подручных средств: пальцев, камней, еловых шишек и т. д. Следы этого сохранились в названии математических исчислений: например, calculus в переводе с латинского означает счет камешками. Запас чисел на ранних ступенях весьма ограничен. Ряд известных и используемых натуральных чисел был конечен и удлинялся лишь постепенно. Сознание неограниченной продолжимости натурального ряда является признаком высокого уровня знаний и культуры.

Наряду с употреблением все больших и больших чисел возникали и развивались их символы, а сами числа образовывали системы. Для ранних периодов истории материальной культуры характерно разнообразие числовых систем. Постепенно совершенствовались и унифицировались системы счисления. Употребляемая ныне во всех странах десятичная позиционная система нумерации — итог длительного исторического развития.

Ей предшествовали различные иероглифические системы. Каждое такое число имеет индивидуальный символ — иероглиф. Остальные числа (их называют алгоритмическими) образуются приписыванием с той или другой стороны
узлового числа других узловых чисел и повторением их. Примерами таких систем являются египетская, финикийская, пальмирская, критская, сирийская, аттическая (или Геродианова), старокитайская и пр. В каждой из них строится система так называемых узловых чисел (чаще всего 1, 10, 100, 1000, староиндусская (карошти), ацтекская, римская. Последняя имеет систему узловых чисел: I, V, X, L, С, D, М, построенную по десятичному признаку с заметным влиянием пятиричной системы.

Алфавитные системы счисления

В этих системах буквы алфавита, взятые по 9, используются соответственно для обозначения единиц, десятков, сотен. Каждой букве при этом дается отличительный знак, указывающий, что она используется как число. В случае, если букв алфавита недостаточно, привлекаются дополнительные буквы и знаки. Типичный пример алфавитной системы - греческая ионическая (древнейшая сохранившаяся запись, сделанная по этой системе, относится к V в. до н. э.):

Классическая Греция. С точки зрения XX в. родоначальниками математики явились греки классического периода (VI–IV вв. до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором эмпирических заключений. Напротив, в дедуктивном рассуждении новое утверждение выводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность его неприятия.

Настаивание греков на дедуктивном доказательстве было экстраординарным шагом. Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно на основе дедуктивного рассуждения, исходящего из явно сформулированных аксиом. Одно из объяснений приверженности греков методам дедукции мы находим в устройстве греческого общества классического периода. Математики и философы (нередко это были одни и те же лица) принадлежали к высшим слоям общества, где любая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику – теоретический аспект и логистику – вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставляли свободнорожденным низших классов и рабам.

Греческая система счисления была основана на использовании букв алфавита. Аттическая система, бывшая в ходу с 6–3 вв. до н.э., использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий. В более поздней ионической системе счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. Кратные 1000 до 9000 обозначались так же, как первые девять целых чисел от 1 до 9, но перед каждой буквой ставилась вертикальная черта. Десятки тысяч обозначались буквой М (от греческого мириои – 10 000), после которой ставилось то число, на которое нужно было умножить десять тысяч.

Алфавитные системы удобнее из-за краткости записи, однако они малопригодны для оперирования с большими числами и требуют больших усилий для запоминания. Примерами алфавитной системы кроме приведенной являются древнеславянская (кириллица и глаголица), еврейская, арабская, грузинская, армянская и др.

Позиционные

Недесятичные, а затем десятичная система. К позиционным недесятичным системам относятся вавилонская, индейская (племени майя на полуострове Юкатан), индийская, современная двоичная.

Записи в позиционной десятичной системе с нулем впервые появились около 500 г. до н. э. в Индии.

В результате длительного исторического развития из повседневной практической деятельности людей сформировались другие математические понятия: площади, объемы и другие абстракции пространственных свойств предметов.

Накопление знаний как численно-арифметического, так и геометрического характера создало следующие предпосылки для формирования математических теорий:

1. возможность предварять непосредственное оперирование с вещами оперированием с их упрощенными, схематическими изображениями и наименованиями (символами). На более поздней ступени это привело к развитию числовых систем и геометрических построений;

2. умение заменять конкретную задачу канонической задачей
   более общего вида, решаемой по определенным правилам, охватывающим целую совокупность частных случаев. Речь идет о первичных формах создания общих алгоритмов и связанных с ними
   математических исчислений.

Когда указанные предпосылки оказываются действующими и заметных масштабах, а в обществе образуется прослойка людей, умеющих пользоваться определенной совокупностью математических приемов, тогда появляются основания говорить о начале существования математики как науки, о наличии ее элементов.

Рассматривая конкретно ранние стадии формирования математики на примере сохранившихся памятников математической культуры древних египтян, вавилонян, китайцев и индийцев, отметим, что относительно математики в Китае и в Индии мы располагаем очень ограниченным запасом сведений. Либо исчезли, либо еще не найдены многие материальные свидетельства возникновения и накопления математических знаний как части древних культур. Помимо разрушительного влияния времени, в этом виноваты колонизаторы, которые уничтожили целые народы. Где последнее оказалось невозможным, как это было в Китае и в Индии, были приложены все усилия для фальсификации истории, для превознесения заслуг капиталистических «цивилизаторов» и «просветителей», несущих якобы свет «темным» народам. В более завуалированной форме эти тенденции выражены в теориях о едином научном источнике, о распространении по всему миру знаний одного избранного народа и т. п.

История учит, что развитие всех форм деятельности человеческого общества происходит под влиянием единых мотивов экономического развития. Это влияние сказывается, в частности, в области математики во множественности источников ее возникновения. Математика возникла и формировалась как наука во многих местах, нередко весьма удаленных друг от друга и между собой, казалось бы, не связанных.

При этом всегда действовали и проявлялись общие закономерности: происхождение математики из практической деятельности людей, выделение числовых и геометрических абстракций в качестве отдельной области человеческих знаний, образование логически последовательной системы этих абстракций, применение последних к практическим задачам и т. п. Однако форма осуществления общих закономерностей, характер математической науки, соотношение ее элементов имели много различий и особенностей, которые необходимо принимать во внимание, чтобы составить правильное представление о путях и перспективах развития математических наук.