Графический способ решения систем линейных уравнений

Предположим, что в каждом уравнении системы

$$ \begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases} \;\;\;\;(1) $$

хотя бы один из коэффициентов при неизвестных х и у отличен от нуля. Тогда любое из этих двух уравнений можно рассматривать как уравнение прямой в прямоугольной системе координат.
Действительно, возьмем, например, первое уравнение

a1x + b1y = c1.

Если b1 =/= 0, то уравнение можно переписать в виде:

$$ y= -\frac{a_1}{b_1}x + \frac{c_1}{b_1} $$

Это уже знакомое нам уравнение прямой.

При b1 = 0 уравнение a1x + b1y = c1принимает вид a1x = c1, или

$$ x=\frac{c_1}{a_1} $$

Это соотношение можно рассматривать как уравнение прямой, параллельной оси у и пересекающей ось х в точке с абсциссой c1/a1 (смотри рисунок, на котором представлены прямые х = - 1 и х = 2).

прямые <b><i>х</i></b> = - 1 и <b><i>х</i></b> = 2

Поэтому результаты, полученные в предыдущих параграфах, допускают простую геометрическую интерпретацию.

С системой уравнений (1) свяжем две прямые: прямую a1x + b1y = c1 и прямую a2x + b2y = c2 (рис.).

Если эти прямые имеют общую точку М, то координаты ее (<b><i>х</i></b><sub>0</sub>, <b><i>у</i></b><sub>0</sub>) определяют некоторое решение системы уравнений

Если эти прямые имеют общую точку М, то координаты ее (х0, у0) определяют некоторое решение системы уравнений (1).

И наоборот: каждое решение системы уравнений (1) можно рассматривать как координаты точки, принадлежащей одновременно и прямой a1x + b1y = c1 и прямой a2x + b2y = c2. Таким образом, система уравнений (1) имеет столько решений, сколько общих точек содержат прямые a1x + b1y = c1 и a2x + b2y = c2.

Любые две прямые либо имеют одну общую точку (пересекающиеся прямые), либо не имеют ни одной общей точки (параллельные прямые), либо имеют бесконечно много общих точек (сливающиеся друг с другом прямые). Соответственно этому система уравнений (1) либо имеет единственное решение (случай 1), либо несовместна, то есть не имеет ни одного решения (случай 2), либо имеет бесконечно много решений (случай 3).

Поясним это на трех частных примерах.

Пример 1. Системе уравнений

$$ \begin{cases}x+y = 3\\x-y=1\end{cases} $$

соответствуют прямые, представленные на рисунке ниже. Они пересекаются в одной точке с координатами (2; 1).

Прямые пересекаются в одной точке с координатами (2; 1)

Следовательно, данная система имеет единственное решение х = 2, у = 1.


Пример 2. Системе уравнений

$$ \begin{cases}x-y = 2\\2x-2y=6\end{cases} $$

соответствуют параллельные прямые, представленные на рисунке:

Прямые не пересекаются ни в одной точке. Система уравнений несовместна

Они не пересекаются ни в одной точке. Данная система уравнений несовместна.


Пример 3. Для системы уравнений

$$ \begin{cases}2x+y = 1\\6x+3y=3\end{cases} $$

соответствующие прямые сливаются в одну прямую линию (рис.).

прямые сливаются в одну прямую линию

О такиx прямых можно сказать, что они пересекаются в бесконечном множестве точек, а именно в каждой своей точке. Поэтому данная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Все эти решения можно представить как координаты точек, лежащих на этой прямой. Если х принять за t, то для у получим у = 1 - 2t.



« назад