Как решать систему уравнений с двумя неизвестными.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Совместные и несовместные системы

Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называется совокупность уравнений вида

$$ \begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}\;\;\;(1) $$

где х и у - неизвестные величины, а a₁, b₁ , c₁ и a₂, b₂ , c₂ - некоторые заданные числа.

Примером системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными может служить любая из систем:

$$ \begin{cases}2x - 3y = 0\\ 7x - 5y = 0\end{cases} \;\;\;(2)\\ \begin{cases}100x - 2y = 96\\ -3x + 57y = 111\end{cases} \;\;\;(3)\\ \begin{cases}x - 2y = 12\\ 3y = 3\end{cases} \;\;\;(4)\\ \begin{cases}x - y = 0\\ x - y = 0\end{cases} \;\;\;(5)\\ \begin{cases}x + y = 0\\ x + y = 1\end{cases} \;\;\;(6)\\ \begin{cases}-x +1,5y = 3\\ 2x - 3y = -6\end{cases} \;\;\;(7)$$

Кстати, любую из этих систем можно назвать системой уравнений 1-й степени. Так называются системы вида (1), в которых хотя бы одно из уравнений содержит ненулевой коэффициент при х или при у.

Если в системе (1) оба свободных члена c₁ и c₂ равны нулю, то система называется однородной.

Если хотя бы один из свободных членов c₁ и c₂ отличен от нуля, то система называется неоднородной.

Так, из приведенных выше систем (2) - (7) однородными будут системы (2) и (5); все же остальные системы неоднородны.

Решением системы уравнений (1) называется такая пара чисел (х₀, у₀), которая каждое уравнение этой системы обращает в числовое равенство*:

$$ \begin{cases}a_1x_0 + b_1y_0 = c_1\\ a_2x_0 + b_2y_0 = c_2\end{cases} $$

* Это определение годится и для произвольных систем уравнений с двумя неизвестными.

Например, пара чисел (0, 0) является решением системы уравнений (2), поскольку

$$ \begin{cases}2\cdot 0 - 3\cdot 0 = 0\\ 7\cdot 0 - 5\cdot 0 = 0\end{cases} $$

Пара чисел (1, 2) будет решением системы (3), так как

$$ \begin{cases}100\cdot 1 - 2\cdot 2 = 96\\ -3\cdot 1 + 57\cdot 2 = 111\end{cases} $$

Пара чисел (2, 1) не будет решением системы (3), поскольку

$$ \begin{cases}100\cdot 2 - 2\cdot 1 \neq 96\\ -3\cdot 2 + 57\cdot 2 \neq 111\end{cases} $$

Решением системы уравнений (3) не будет и пара чисел (2, 52). Действительно,

100 • 2 - 2 • 52 = 96,

но

-3 • 2 + 57 • 52 \(\neq\) 111.

Системы могут иметь различное число решений. Например, система уравнений (4) имеет, очевидно, единственное решение: х = 14, у = 1. В самом деле, из второго уравнения этой системы следует, что у = 1. Подставляя затем это значение у в первое уравнение, получаем: х - 2 • 1 = 12, откуда х = 14.

Система уравнений (5) имеет, очевидно, бесконечное множество решений. Действительно, при любом а пара чисел (а, а) обращает оба уравнения системы в числовые равенства. Поэтому любая такая пара чисел (а их бесконечное множество) является решением данной системы.

Наконец, существуют системы, которые вообще не имеют решений. Примером таких систем может служить система (6). Если бы она. имела решение (х₀ , у₀), то сумма двух чисел х₀ и у₀ должна была бы равняться одновременно и 0 и 1. Но этого быть не может.

Таким образом, существуют системы линейных уравнений, имеющие ровно одно решение, бесконечное множество решений и, наконец, совсем не имеющие решений.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а не имеющая ни одного решения - несовместной.

Например, системы уравнений (2) и (3) совместны, а система (6) несовместна.

Для каждой однородной системы уравнений

$$ \begin{cases}a_1x + b_1y = 0\\ a_2x + b_2y = 0\end{cases} $$

пара чисел (0, 0) является решением. Поэтому любая однородная система уравнений совместна. В частности, совместными являются приведенные выше системы (2) и (5).

Решить систему уравнений

$$ \begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases} $$

- это значит: 1) выяснить, является ли она совместной, и 2) если она совместна, то найти все ее решения.

Определители второго порядка

Когда нам нужно записать сумму двух чисел а и b, мы используем знак + и пишем а + b; для записи разности двух чисел используется знак - и т. д. Большую роль в математике играет еще одна форма записи алгебраических действий, которая нам понадобится для изучения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Выглядит эта форма записи так:

$$ \begin{vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix} \;\;\;(1) $$

Четыре числа а, b, c и d записаны в виде таблицы, имеющей

две строки (а, b) и (с, d) и два столбца \( \left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right) \) и \( \left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right) \). Слева и справа стоят вертикальные черточки. Все это выражение употребляется для записи разности, ad - bc и называется определителем второго порядка. Итак,

$$ \begin{vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix} = ad - bc \;\;\;(2) $$

Например,

$$ \begin{vmatrix}2 & -3 \\-5 & -6 \end{vmatrix} =2\cdot(-6) - (-3)\cdot(-5)=-12-15=-27 \\ \begin{vmatrix}1 & -2 \\-3 & 6 \end{vmatrix} =1\cdot 6 - (-2)\cdot(-3)=6-6=0 \\ \begin{vmatrix}a & 1 \\1 & a\end{vmatrix} =a\cdot a - 1\cdot 1=a^2-1 $$

Числа а, b, c, d называются элементами, определителя (1).

Строки (а, b) и (с, d) определителя

$$ \begin{vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix}$$

называются пропорциональными, если хотя бы одна из них получается в результате поэлементного умножения другой строки на некоторое число k.

Поясним это определение на двух частных примерах:

Пример 1. В определителе

$$ \begin{vmatrix}2 & 6 \\1 & 3\end{vmatrix}$$

первая строка получается посредством умножения каждого элемента второй строки на 2:

2 = 2•1; 6 = 2•3.

Значит, строки этого определителя пропорциональны. В роли k здесь выступает число 2.

В данном случае возможно и другое объяснение: вторая строка определителя получается посредством умножения каждого элемента первой строки на ¹/₂:

1 = ¹/₂•2; 3 = ¹/₂•6.

Следовательно, строки этого определителя пропорциональны. Здесь уже в роли k выступает число ¹/₂.

Пример 2. Строки определителя

$$ \begin{vmatrix}0& 0 \\0& 1\end{vmatrix}$$

также пропорциональны, поскольку первая из них получается поэлементным умножением второй строки на нуль:

0 = 0•0; 0 = 0•1.

В этом случае роль k играет число 0.

В отличие от первого примера, здесь вторая строка уже не может быть получена путем поэлементного умножения первой строки. Вот почему в определении пропорциональных строк говорится, что из двух таких строк хотя бы одна должна получаться в результате поэлементного умножения другой строки на некоторое число к.

Таким образом, определение пропорциональности строк (а, b) и (с, d) определителя

$$ \begin{vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix}$$

можно записать следующим образом-:

либо а = kc, b = kd, (3)

либо с = k’a, d = k’b, (4)

где k и k’ - некоторые числа. Для одних определителей выполняются оба эти условия (см. пример 1, в котором k = 2, k’ = ¹/₂); для других же определителей имеет место только одно из них (см. пример 2).

Заметим, что если оба элемента первой строки в определителе

$$ \begin{vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix}$$

отличны от нуля, то пропорциональность строк можно записать в виде:

^c/_a = ^d/_b’

Аналогично, если каждый элемент второй строки данного определителя отличен от нуля, то пропорциональность строк можно записать в виде:

^a/_c = ^b/_d

Условие, при котором определитель 2-го порядка равен нулю

Во всех приложениях теории определителей важную роль играют условия, при которых определитель обращается в нуль. Эти условия мы и рассмотрим.

Теорема 1. Если строки определителя

$$ \begin{vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix}$$

пропорциональны, то этот определитель равен нулю.

Доказательство. Пропорциональность строк (а, b) и (с, d) означает, что:

либо а = kc, b = kd,

либо с = k’a, d = k’b.

(При этом, конечно, не исключается возможность и того и другого.)

Если а = kc, b = kd, то

$$ \begin{vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}kc & kd \\c & d \end{vmatrix} = kcd - kdc = 0 $$

Аналогично обстоит дело и в случае, когда с = k’a, d = k’b:

$$ \begin{vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a & b \\k’a & k’b \end{vmatrix} = ak’b - bk’a = 0 $$

Теорема доказана.

Верна и обратная теорема.

Теорема 2. Если определитель

$$ \begin{vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix}$$

равен нулю, то строки его пропорциональны.

Доказательство. По условию

ad - bс = 0,

или

ad = bс. (1)

Если ни один из элементов второй строки (с, d) не равен нулю, то из (1) вытекает, что

^a/_c = ^b/_d

Но это уже означает, что строки (а, b) и (с, d) пропорциональны.

Если оба числа с и d равны нулю, то строки определителей опять же будут пропорциональны (см. задачу ранее).

Остается рассмотреть лишь случай, когда одно из чисел с и d равно нулю, а другое отлично от нуля. Пусть, например, с = 0, a d \(\neq\) 0. Тогда из (1) вытекает, что а = 0. Но в таком случае в определителе

$$ \begin{vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix}$$

первый столбец будет состоять из одних нулей. Поэтому строки определителя будут пропорциональны (см. задачу ранее).

Доказанные две теоремы приводят к следующему результату.

Определитель

$$ \begin{vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix}$$

равен нулю тогда и только тогда, когда его строки пропорциональны.

Главный и вспомогательный определители системы двух линейных ypaвнений с двумя неизвестными

Главным определителем системы уравнений

$$ \begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}\;\;\;(1) $$

называется определитель

$$ \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\a_2 & b_2 \end{vmatrix}$$

составленный из коэффициентов при неизвестных х и у. Этот определитель мы будем обозначать греческой буквой Δ (дельта). Очевидно, что

Δ= a₁b₂ - a₂b₁

Первым вспомогательным определителем системы уравнений (1) называется определитель

$$ \begin{vmatrix}c_1 & b_1 \\c_2 & b_2 \end{vmatrix}$$

Он получается из главного определителя этой системы уравнений путем замены первого столбца на столбец свободных членов. Этот определитель мы будем обозначать Δ_x. Индекс (то есть значок) х при Δ указывает, что в главном определителе Δ первый столбец \(\left(\begin{array}{c}a_1\\ a_2\end{array}\right)\), составленный из коэффициентов при х в системе уравнений (1), заменен на столбец свободных членов \(\left(\begin{array}{c}c_1\\ c_2\end{array}\right)\). Очевидно, что

Δ_x = c₁b₂ - c₂b₁

Вторым вспомогательным определителем системы уравнений (1) называется определитель

$$ \begin{vmatrix}a_1 & c_1 \\a_2 & c_2 \end{vmatrix}$$

который получается из главного определителя этой системы путем замены второго столбца на столбец свободных членов. Этот определитель мы будем обозначать Δ_y. Очевидно, что

Δ_y = a₁c₂ - a₂c₁.

Пример. Для системы уравнений

$$ \begin{cases}-x + 2y = -5\\-7x + 3y = -13\end{cases} \\ \Delta = \begin{vmatrix}-1 & 2 \\-7 & 3\end{vmatrix} = (-1)\cdot 3 - (-7)\cdot 2 = -3+14=11 \\ \Delta_x = \begin{vmatrix}-5 & 2 \\-13 & 3\end{vmatrix} = (-5)\cdot 3 - (-13)\cdot 2 = -15+26=11 \\ \Delta = \begin{vmatrix}-1 & -5 \\-7 & -13\end{vmatrix} = (-1)\cdot (-13) - (-7)\cdot(-5) = 13-35=-22 $$

Правило Крамера

Теорема. Если главный определитель системы уравнений

$$ \begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases} $$

не равен нулю, то эта система уравнений совместна и имеет единственное решение:

$$ x=\frac{\Delta_x}{\Delta}; \;\;\; y=\frac{\Delta_y}{\Delta} $$

Например, для системы

$$ \begin{cases}-x + 2y = -5\\ -7x + 3y = -13\end{cases} $$

рассмотренной ранее, Δ = 11, Δ_x= 11, Δ_y = - 22. Поскольку Δ \(\neq\) 0, то система совместна и имеет единственное решение:

$$ x=\frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{11}{11} = 1 \\ y=\frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-22}{11} = -2 $$

Доказательство теоремы мы разобьем на два этапа.

1) Сначала покажем, что при Δ \(\neq\) 0 система (1) не может иметь более одного решения.

Пусть (x₀, y₀) - решение системы (1). Тогда

a₁x₀ + b₁y₀ = c₁ (2)

а₂x₀ + b₂y₀ = с₂. (3)

Умножим первое из этих равенств на b₂, а второе на - b₁ и полученные соотношения сложим. Тогда получится:

(a₁b₂ - а₂b₁) x₀ + (b₁b₂ - b₂b₁) y₀ = b₂c₁ - b₁с₂,

или

Δ• x₀ = Δ_x.

Затем к равенству (2), умноженному на - а₂, прибавим равенство (3), умноженное на a₁. В результате получим:

(- a₂a₁ + a₁a₂) x₀ + (- a₂b₁ + a₁b₂) y₀ = - a₂c₁ + a₁c₂,

или

Δ• y₀ = Δ_y.

Таким образом, если система уравнений (1) имеет решение (x₀, y₀) , то

Δ• x₀ = Δ_x

Δ• y₀ = Δ_y

Вследствие того что Δ \(\neq\) 0, x₀ должен быть равен ^{Δ x}/_Δ , а y₀ = ^{Δ y}/_Δ . Никакими другими числами x₀ и y₀ быть не могут. Но это и означает, что данная система имеет не более одного решения.

2) Доказывая единственность решения системы уравнений (1), мы предположили, что решение существует. Но верно ли такое предположение? Теперь этот вопрос выяснить нетрудно. Мы уже показали, что решением системы уравнений (1) могут быть лишь числа x₀ = ^{Δ x}/_Δ и y₀ = ^{Δ y}/_Δ . Поэтому сейчас нам нужно будет просто подставить эти значения х и у в уравнения системы (1) и посмотреть, обратятся ли при этом уравнения в числовые равенства. Если обратятся, то тем самым мы докажем, что система уравнений (1) имеет решение x₀ = ^{Δ x}/_Δ , y₀ = ^{Δ y}/_Δ и, следовательно, является совместной. В этом и состоит второй этап доказательства нашей теоремы. Имеем:

$$ a_1 x_0 + b_1 y_0 = a_1\frac{\Delta_x}{\Delta} + b_1\frac{\Delta_y}{\Delta} =\\= \frac{a_1(b_2 c_1 - b_1 c_2)}{\Delta} + \frac{b_1(a_1 c_2 - a_2 c_1)}{\Delta} =\\= \frac{a_1 b_2 c_1 - a_1 b_1 c_2 + b_1 a_1 c_2 - b_1 a_2 c_1}{\Delta}=\\= \frac{c_1(a_1 b_2 - a_2 b_1)}{\Delta} = \frac{c_1 \Delta}{\Delta} = c_1 $$

Аналогично показывается, что

a₂ x₀ + b₂ y₀ = c₂.

Таким образом, если для системы уравнений (1) Δ \(\neq\) 0, то эта система имеет и притом единственное решение. Его можно получить по следующему правилу: находим Δ_x, Δ_y, а затем вычисляем искомые величины х и у по формулам

x = ^{Δ x}/_Δ

y = ^{Δ y}/_Δ

Это правило названо именем швейцарского математика Крамера (1704-1752), который одним из первых пришел к понятию определителя и доказал приведенную здесь теорему. Условие

$$ \begin{vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix} \neq 0 $$

означает, что строки (а, b) и (с, d) этого определителя не пропорциональны. В таком случае говорят, что коэффициенты при неизвестных х и у в системе уравнений (1) не пропорциональны. Поэтому полученный результат можно сформулировать следующим образом.

Если коэффициенты при неизвестных х и у в системе уравнений

$$ \begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases} $$

не пропорциональны, то эта система совместна и имеет единственное решение.

Вопрос о пропорциональности коэффициентов при неизвестных часто решается устно. Поэтому устно может быть установлена совместность таких, например, систем, как

$$ \begin{cases}x + 2y = 1\\ 2x + 5y = 0\end{cases} \\ \begin{cases}3x - y = 5\\ 3x - 2y = 6\end{cases} \\ \begin{cases}x + y = a\\ x - y = b\end{cases}$$

и т. д. Вместе с тем устно выясняется, что каждая из данных систем имеет лишь одно решение.

Случай, когда главный определитель системы уравнений равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля

Теорема. Если главный определитель системы уравнений

$$ \begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases} \;\;\; (1) $$

равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система несовместна.

Формально, доказательство этой теоремы нетрудно получить методом от противного. Предположим, что система уравнений (1) имеет решение (x₀ , y₀ ). Тогда как показано ранее,

Δ • x₀ = Δ_x, Δ • y₀ = Δ_y (2)

Но по условию Δ = 0, а хотя бы один из определителей Δ_x и Δ_y отличен от нуля. Таким образом, равенства (2) одновременно выполняться не могут. Теорема доказана.

Однако представляется интересным более детально выяснить, почему система уравнений (1) в рассматриваемом случае несовместна.

Условие

$$ \Delta = \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\a_2 & b_2\end{vmatrix} = 0 $$

означает, что коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (1) пропорциональны. Пусть, например,

a₁ = ka₂ , b₁ = kb₂.

Условие

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix}c_1 & b_1 \\c_2 & b_2\end{vmatrix} \neq 0 $$

означает, что коэффициенты при у и свободные члены уравнений системы (1) не пропорциональны. Поскольку b₁ = kb₂ , то c₁ \(\neq\) kc₂ .

Следовательно, система уравнений (1) может быть записана в следующем виде:

$$ \begin{cases}ka_2x + kb_2y = c_1\\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases} $$

В этой системе коэффициенты при неизвестных соответственно пропорциональны, но коэффициенты при у (или при х) и свободные члены не пропорциональны. Такая система, конечно, несовместна. Действительно, если бы она имела решение (x₀ , y₀ ), то выполнялись бы числовые равенства

k (a₂x₀ + b₂ y₀) = c₁

a₂x₀ + b₂ y₀ = c₂.

Но одно из этих равенств противоречит другому: ведь c₁ \(\neq\) kc₂.

Мы рассмотрели лишь случай, когда Δ_x \(\neq\) 0. Аналогично может быть рассмотрен случай, когда Δ_y \(\neq\) 0.

Доказанную теорему можно сформулировать и таким образом.

Если коэффициенты при неизвестных х и у в системе уравнений (1) пропорциональны, а коэффициенты при какой-нибудь из этих неизвестных и свободные члены не пропорциональны, то эта система уравнений несовместна.

Случай, когда и главный и оба вспомогательных определителя системы уравнений равны нулю

Изучая систему уравнений

$$ \begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases} \;\;\; (1) $$

мы рассмотрели два случая:

1) случай, когда коэффициенты при неизвестных х и у не являются соответственно пропорциональными (Δ \(\neq\) 0);

2) случай, когда коэффициенты при неизвестных х и у соответственно пропорциональны, а коэффициенты при каком-нибудь неизвестном и свободные члены не являются соответственно пропорциональными (Δ = 0, а хотя бы один из определителей Δ_x и Δ_y отличен от нуля).

Осталось рассмотреть еще один случай, когда и коэффициенты при неизвестных х и у и свободные члены соответственно пропорциональны, то есть

a₁ = ka₂ , b₁ = kb₂, c₁ = kc₂

или

a₂ = k’a₁ , b₂ = k’b₁, c₂ = k’c₁

Для определенности мы рассмотрим первый из этих двух вариантов. Система уравнений (1) в этом случае имеет вид:

$$ \begin{cases}ka_2x + kb_2y = kc_2\\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases} \;\;\; (2) $$

Очевидно, что каждая пара чисел (x₀ , y₀), удовлетворяющая второму уравнению системы (2), должна удовлетворять и первому уравнению этой системы. Поэтому, для того чтобы решить систему уравнений (2), достаточно решить одно лишь второе уравнение этой системы. Другими словами, достаточно найти все такие пары чисел (x₀ , y₀), которые обращают уравнение

a₂ х + b₂ у = c₂

в числовое равенство.

Предположим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов a₂ и b₂ отличен от нуля. Пусть, например, b₂ \(\neq\) 0. Тогда в качестве x₀ можно выбрать любое число t; y₀ в этом случае найдется из условия a₂ t + b₂ y₀= c₂ , откуда \( y_0=\frac{c_2 - a_2 t}{b_2} \).

Итак, в рассматриваемом случае система уравнений (2) имеет бесконечное множество решений. Все они задаются формулами

$$ x_0 = t, \;\;\; y_0=\frac{c_2 - a_2 t}{b_2} $$

где t - любое число.

Этот результат мы получили в предположении, что хотя бы один из коэффициентов a₂ и b₂ отличен от нуля. А если оба они равны нулю? Тогда система уравнений (2) имеет вид:

$$ \begin{cases}0x + 0y = c_1\\ 0x + 0y = c_2\end{cases} $$

Такая система не представляет особого интереса. Если c₁ = c₂ = 0, то решением ее является любая пара чисел (x₀ , y₀). Если же хотя бы одно из чисел c₁ и c₂ отлично от нуля, то система (3) несовместна.

Очевидно, что случай, когда a₂ = b₂ = 0, будет автоматически исключен, если дополнительно потребовать, чтобы среди коэффициентов при неизвестных x и у в системе уравнений (1) был хотя бы один отличный от нуля коэффициент.

Мы доказали следующую теорему.

Если коэффициенты при неизвестных и свободные члены в системе уравнений (1) соответственно пропорциональны и среди коэффициентов при неизвестных есть хотя бы один коэффициент, отличный от нуля, то система уравнений (1) имеет бесконечное множество решений. Все они получаются как решения одного того уравнения, которое содержит отличный от нуля коэффициент при неизвестном.

Пример. Решить систему уравнений

$$ \begin{cases}x - 2y = 3\\ 2x - 4y = 6\end{cases} $$

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены этой системы уравнений соответственно пропорциональны. Поэтому все решения этой системы уравнений можно получить как решения одного лишь первого уравнения

х-2у = 3.

Полагая х = t, находим, чтo у = ¹/₂ (t- 3).

Итак, данная система уравнений имеет бесконечное множество решений:

х = t, у = ¹/₂ (t- 3),

где t - любое число. В частности, при t = 0 получается решение х = 0, у = - ³/₂, при t = 5 - решение х = 5, у = 1 и т. д.

Доказанную выше теорему полезно сформулировать и в терминах определителей.

Если коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы уравнений (1) соответственно пропорциональны, то, как легко получить непосредственно, используя (2),

Δ = Δ_x = Δ_y = 0.

Можно доказать и обратное утверждение. Если Δ = Δ_x = Δ_y = 0 и хотя бы один из коэффициентов при неизвестных системы уравнений (1) отличен от нуля, то коэффициенты при неизвестных и свободные члены такой системы уравнений будут соответственно пропорциональными. На доказательстве этого факта мы останавливаться не будем, хотя в принципе это и можно было бы сделать. Но, приняв его на веру, мы можем теперь доказанную выше теорему сформулировать следующим образом.

Если и главный и оба вспомогательных определителя системы уравнений (1) равны нулю и среди коэффициентов при неизвестных есть хотя бы один отличный от нуля коэффициент, то система уравнений (1) имеет бесконечное множество решений. Все они получаются как решения одного того уравнения, которое содержит отличный от нуля коэффициент при неизвестном.