Математика древнего Египта

Наши познания о древнеегипетской математике основаны главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках. Один из больших папирусов называется математическим папирусом Ринда (по имени обнаружившего его ученого) и находится в Лондоне. Он приблизительно 5,5 м длины и 0,32 м ширины. Другой большой папиpyc, почти такой же длины и 8 см ширины, находится в Москве. Содержащиеся в них математические сведения относятся примерно к 2000 г. до н. э.

Папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера. При решении этих задач производятся действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга (последняя равна (8/9 d)² , что грубому приближению π = 3,1605...), объемы параллелепипеда, цилиндра, размеры пирамид. Имеются также задачи на пропорциональное деление, а при решении одной задачи находится сумма геометрической прогрессии.

В московском папирусе собраны решения 25 задач. Большинство их такого же типа, как и в папирусе Ринда. Кроме того, в одной из задач (№ 14) правильно вычисляется объем усеченной пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче (№ 10) содержится самый ранний в математике пример определения площади кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины, т. е. полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания.

Десятичная иероглифическая система счисления

При изучении содержании математических папирусов обнаруживается следующий уровень математических знаний древних египтян.

Ко времени написания этих документов уже сложилась определенная система счисления: десятичная иероглифическая. Для узловых чисел вида 10^к (k = 0, 1, 2, ..., 7) установлены индивидуальные иероглифы. Алгоритмические числа записывались комбинациями узловых чисел. С помощью этой системы египтяне справлялись со всеми вычислениями, в которых употребляются целые числа. Что касается дробей, то египтяне создали специальный аппарат, опиравшийся на понимание дроби только как доли единицы. В силу этого представления употреблялись лишь дроби аликвотные (вида 1/n) и некоторые индивидуальные, как, например, 2/3 и 3/4. Все результаты, которые должны были выражаться дробями вида m/n, выражались суммой аликвотных дробей.

Для облегчения этих операций были составлены специальные таблицы, например таблица чисел вида 2/n (п = 3, ... , 101)

Математические операции египтян

Сложились также определенные приемы производства математических операций с целыми числами и дробями. Общей для всей вычислительной техники египтян является ее аддитивный характер, при котором все процедуры по возможности сводятся к сложению. Совместно с примитивным пониманием дроби только как части единицы эта особенность обусловила своеобразный характер вычислений.

При умножении, например, преимущественно используется способ постепенного удвоения одного из сомножителей и складывания подходящих частных произведений.

При делении также используется процедура удвоения и последовательного деления пополам. Деление, по-видимому, было самой трудной математической операцией для египтян. Здесь наблюдается самое большое разнообразие приемов. Так, иногда в качестве промежуточного действия применялось нахождение двух третей или одной десятой доли числа и т. п.

Часто встречается операция, называемая хау («куча»), соответствующая решению линейного уравнения вида:

ax + bx + …+cx = α

При сложении дробей, имеющих разные знаменатели, египтяне использовали умножение их на вспомогательные числа. Способы подбора этих вспомогательных чисел не дают, однако, права судить об этом приеме как о единообразном процессе, адекватном способу приведения дробей к общему знаменателю. Исторические реконструкции во многом еще спорны и не подтверждены достаточным количеством фактов.

Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют утверждать, что за 20 веков до нашей эры в Египте начали складываться элементы математики как науки. Эти элементы еще только начинают выделяться из практических задач, целиком подчинены их содержанию. Техника вычислений еще примитивна, методы решения задач не единообразны. Однако материалов, которые позволяли бы вообще судить о развитии математики в Египте, еще недостаточно. Мы использовали их поэтому лишь как один из примеров того, в какое время и в какой форме начинает складываться математическая наука.