Примеры решений систем уравнений
Рассмотрим некоторые типичные системы уравнений, решение которых сводится к решению квадратных уравнений.
Пример 1. Решить систему уравнений
$$ \begin{cases}x^2 + 3y^2 -xy-2x+1 = 0\\x-y=1\end{cases} $$Поскольку второе уравнение этой системы линейно относительно каждой из переменных х и у, то одна из этих переменных,; например у, легко выражается через другую:
у = х - 1.
Подставляя это выражение для у в первое уравнение системы, получаем:
x2 + 3 (х - 1)2 - х (х - 1) - 2х + 1 = 0,
откуда
3x2 - 7x +4 = 0; x1 = 4/3; x2 = 1
Этим значениям х согласно второму уравнению системы соответствуют следующие значения у: y1 = 1/3; y2 = 0.
Таким образом, данная система уравнений имеет два решения:
x1 = 4/3; y1 = 1/3; и x2 = 1; y2 = 0.
Пример 2. Решить систему уравнений
$$ \begin{cases}14x^2 -5xy +3y^2 = 16 \\ 6x^2-xy+y^2 =8\end{cases} \;\;\; (1) $$Характерная особенность этой системы уравнений состоит в том, что она содержит лишь выражения x2, y2 и ху, суммарная степень х и у в которых постоянна и равна 2.
Для решения данной системы выполним следующие преобрaзования. Из первого уравнения системы (1) вычтем второе, умноженное на 2. В результате получим уравнение
2x2 - 3ху + y2 = 0, (2)
правая часть которого равна 0.
Заметим, что х \(\neq\) 0. В противном случае из (2) вытекало бы, что у = 0, а это явно противоречит уравнениям системы (1). Но если х \(\neq\) 0, то уравнение (2) можно почленно разделить на x2, что дает
2- 3 y/x + ( y/x )2 = 0.
Мы получили квадратное уравнение относительно y/x. Из него следует, что либо y/x = 1, либо y/x = 2.
Рассмотрим эти два случая отдельно.
1) Если y/x = 1, то у = х. Замена у в первом уравнении данной системы на х приводит к следующему результату:
4x2 + 5x2 + 3x2 = 16,
или
12x2 = 16.
Следовательно,
$$ x=\pm\sqrt{\frac{16}{12}} = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt3} $$Отсюда получаем следующие два решения данной системы:
x1 = 2/√3 , y1= 2/√3 ; x2= - 2/√3 , y2= - 2/√3
2) Если y/x = 2, то у = 2х. Заменяя у в первом уравнении данной системы на 2х, получаем:
14x2 - 10x2 + 12x2 = 16,
или
16x2 = 16.
Следовательно, х = ±1. Отсюда, учитывая, что у = 2х, получаем еще два решения данной системы:
x1 = 1, y1= 2; x2= - 1 , y2= - 2
Проверка показывает, что ни одно из полученных четырех решений системы (1) не является "посторонним".
Ответ. Данная система уравнений имеет 4 решения:
1) x1 = 2/√3 , y1= 2/√3 ; 2) x2= - 2/√3 , y2= - 2/√3
3) x1 = 1, y1= 2; 4) x2= - 1 , y2= - 2
Пример 3. Решить систему уравнений
$$ \begin{cases}x+y = 6\\xy= -7\end{cases} $$Если только данная система уравнений имеет решение, то по теореме, обратной теореме Виета, это решение должно состоять из корней квадратного уравнения (см. § 52):
x2 - 6x - 7 = 0.
Это уравнение имеет корни x1= -1, x2 = +7. Следовательно, в роли решений данной системы уравнений могут выступать только следующие две пары чисел:
x1 = - 1, y1 = 7 и x2 = 7, y2 = - 1.
Элементарная проверка показывает, что каждая из этих пар чисел является решением нашей системы.
Ответ. Данная система уравнений имеет два решения:
x1 = - 1, y1 = 7 и x2 = 7, y2 = - 1.
Пример 4. Решить систему уравнений
$$ \begin{cases}x-y = 8\\xy= -7\end{cases} $$Из второго уравнения следует, что х • (-у)= 7. Поэтому
$$ \begin{cases}x+(-y) = 8\\x\cdot (-y)= 7\end{cases} $$Мы получили систему уравнений, вполне аналогичную системе, рассмотренной в примере 3. Только роль неизвестных играют не х и у, как в примере. 3, а х и - у. Поэтому дальнейший ход решения этой системы такой же, как в примере 3. Учащимся предлагается провести его самостоятельно.
Пример 5. Решить систему уравнений
$$ \begin{cases}x^2 +y^2 = 5 \\ xy= -2 \end{cases} $$Из второго уравнения получаем x2y2 = 4. Но в таком случае по теореме, обратной теореме Виета, x2 и y2 можно рассматривать как корни квадратного уравнения
z2 - 5z + 4 = 0,
откуда z1 = 4, z2 = 1. Поэтому возможны два случая: 1) x2 = 4, и тогда y2 = 1; 2) x2= 1, и тогда y2 = 4.
Случай 1. Если х = + 2, то у = -1 (согласно второму уравнению исходной системы ху = - 2 ). Если х =- 2, то у = 1.
Случай 2. Если x = 1, то у = - 2, если же x = - 1, то у = 2.
Мы получили 4 решения данной системы уравнений:
x1 = 2, y1 = - 1 ; x2 = - 2, y2 = 1;
x3 = 1, y3 = - 2 ; x4 = - 1, y4 = 2.
Графический способ решения
Некоторые системы уравнений могут быть решены графически. Проиллюстрируем это на примере следующей системы:
$$ \begin{cases}x^2 + y = 4\\x + y = 2 \end{cases} $$На одном и том же рисунке начертим две кривые, первая из которых имеет уравнение x2 + у = 4, или у = 4 - x2, а вторая - уравнение х + у = 2, или у = 2 - х. Очевидно, что искомыми решениями данной системы уравнений будут координаты точек пересечения этих двух кривых.
Как видно из рисунка, рассматриваемые кривые пересекаются в двух точках: А с координатами (- 1,3) и В с координатами (2, 0). Поэтому данная система уравнений имеет два решения: x = - 1, у = 3 и x = 2, у = 0.
