Математика древнего Вавилона

Математическое наследие древнего Вавилона. Это название обычно распространяется на совокупность государств, располагавшихся в междуречье Тигра и Евфрата и существовавших в период от 2000 до 200 г. до н. э. До нас дошло около ста тысяч глиняных табличек с клинописными записями. Однако табличек с текстами математического содержания известно только около 50, а математических таблиц без текста — около 200.

Вавилонская система математических символов

Вавилонская система математических символов имеет два основных элемента: клин с числовым значением 1 и крючок с числовым значением 10. Повторением этих знаков можно запи­сать числа от 1 до 59. Любое число записывается слева направо по принципу N = α0 60° + α1 601 + α2 602+.... Таким образом система счисления оказывается позиционной 60-ричной. Однако эта систе­ма не имеет нуля, а один и тот же знак «клина» может обозначать не только единицу, но любое число вида 60±k (k — натуральное число).

Содержание табличек показывает, что на основе этой системы были созданы многие единообразные правила арифметических действий как с целыми числами, так и с дробями. Для облегче­ния действий существовали таблицы умножения (от 1·1 до 60·60).

Содержание табличек показывает, что на основе этой системы были созданы многие единообразные правила арифметических действий как с целыми числами, так и с дробями. Для облегчения действий существовали таблицы умножения (от 1·1 до 60·60). При перемножении больших чисел с помощью таблицы умножения находились частичные произведения, которые затем складывались. Деление производилось с помощью таблиц обратных значений (так как b:a = b·1/а).

В ряде вавилонских текстов содержится исчисление процентов за долги, пропорциональное деление. Имеется также ряд текстов, посвященных решению задач, которые с со временной точки зрения сводятся к уравнениям 1-й, и 2-й и даже 3-й степени.

Б. Л. ван дер Варден в своей книге «Пробуждающаяся наука» классифицировал все приемы решения задач в вавилонских табличках. Он пришел к выводу, что эти приемы эквивалентны приемам решения следующих десяти видов уравнений и их систем:

1. уравнения с одним неизвестным:

   ах=b, х² = а; х²± ах=b; х³=а; х²(х+ 1)=а;

2. системы уравнений с двумя неизвестными:

   х ± у=а, ху=b, х²+у² = b.

Кроме того, вавилонянам были известны: суммирование арифметических прогрессий; суммы вида

Наконец, в 1945 г. Нейгебауер и Сакс опубликовали расшифровку чрезвычайно интересной таблички, хранящейся в библиотеке Колумбийского университета (США). В ней оказался перечень прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, т. е. троек пифагоровых чисел x²+y² = z². Реконструкция метода их подбора приводит, по-видимому, к формулам: х = р²- q²; y = 2pqz = p² + q², известным в теории чисел как диофантовы.

Геометрические знания вавилонян

Геометрические знания вавилонян, по-видимому, превышали египетские, так как в текстах помимо общих типов задач встречаются начатки измерения углов и тригонометрических соотношений. В основном, впрочем, они тоже состояли из вычислений площадей и объемов прямолинейных фигур, обычных для элементарной геометрии. Площадь

круга вычислялась по формуле S=c²/12 ( c-длина окружности), откуда получалось плохое еще приближение: π = 3. Имелись также и способы приблизительного вычисления объемов, основанные на своеобразном усреднении размеров.

Внимание ряда исследователей привлекает высокая алгоритмичность, проявлявшаяся в математических текстах древнего Вавилона. Это дало повод к высказыванию предположений, что в те времена культивировались общие методы, отвлеченные от конкретных задач и представляющие своеобразную алгебру (Нейгебауер, Фогель). Однако существуют и более осторожные оценки математических достижений вавилонян.

Вавилонские математические традиции распространились на сопредельные государства Ближнего Востока и могут быть прослежены в них вплоть до эпохи эллинизма (ок. 330 г. — ок. 30 г. до н. э.).

Итак, к середине первого тысячелетия до н. э. в ряде стран Средиземноморского бассейна сложились такие условия, что математика могла быть осмыслена как самостоятельная наука, были выделены как самостоятельный объект человеческой мысли ее основные понятия и предложения, и форма этого выделения оказалась достаточно общей и абстрактной для введения логических доказательств. Эта следующая фаза развития математики с наибольшей силой определилась в античной Греции к VI—V вв. до н. э.

Приведенные примеры показывают, как в разных странах происходил процесс накопления большого конкретного математического материала в виде приемов арифметических действий, способов определения площадей и объемов, методы решения некоторых классов задач, вспомогательных таблиц и т. п. Примерно такой же процесс накопления математических знаний происходил в Китае и в Индии.