Математика древнего Китая

Развитие научных знаний в Китае имеет многовековую богатую историю; установлено также и раннее оригинальное развитие китайской математики. Однако до сих пор не преодолена разрозненность и скудность достоверной научной информации о математических познаниях китайцев в древности.

По утверждению китайского историка математика Ли Яня, математические познания китайцев восходят к XIV в. до н. э. В истории математики древнего Китая имеются сведения о десятичной системе счета, специальной иероглифической символике чисел, об оперировании большими числами, наличии вспомогательных счетных устройств (узелки, счетная доска), об оперировании циркулем, линейкой и угольником и т. д.

«Математика в девяти книгах»

Самым ранним математическим сочинением, если не считать трактата о чжоу-би (солнечных часах), является «Математика в девяти книгах», иногда называемая «Математикой в девяти главах», или разделах. Это сочинение появилось как своеобразный итог математических достижений Китая к началу нашей эры. Есть сведения, что оно было составлено выдающимся государственным деятелем и ученым Чжан Цаном (152 г. до н. э.), собравшим и систематизировавшим все известные к его времени математические знания. «Математика в девяти книгах» неоднократно подвергалась переработкам и дополнениям: в I в. до н. э. (Гэн Чоу-чан), в III в. н. э. (Лю Хуэй), в VI в. (Чжень Луань), в VII в. (Ли Чунь-фен) и др.

В результате этих переработок «Математика в девяти книгах» приобрела вид своеобразной математической энциклопедии со сравнительно неоднородным содержанием. В VII—X вв. н. э. она
сделалась основным учебником для поступающих на государственную службу и классическим сочинением, от которого отправлялись ученые-математики в своих исследованиях.

Книги, составляющие это сочинение, имеют вид отдельных свитков. Они посвящены различным темам, преимущественно практического характера. Различие обусловлено, по-видимому, тем, что различные книги предназначались для чиновников различных ведомств: землемеров, инженеров, астрономов, сборщиков налогов и т. п. Позднейшие дополнения вносились в киши по признаку не математической общности, а единства темы.

Изложение — догматическое: формулируются условия задач (всего 246 задач) и даются ответы к ним. После группы однотипных задач формулируется алгоритм их решения. Этот алгоритм состоит или из общей формулировки правила или из указаний последовательных операций над конкретными числами. Выводов этих правил, объяснений, определений, доказательств нет.

Книга I - «Измерение полей»

Книга I называется «Измерение полей». Единицей измерения служит прямоугольник со сторонами 15 и 16 бу (т. е. шагов, приблизительно равных 133 см). Площади прямолинейных фигур вычисляются верно. При вычислении площадей круга, сектора и кольца принимается, что π = 3. Площадь сегмента вычисляется как площадь трапеции, большее основание которой совпадает с основанием сегмента, а меньшее основание и высота — каждое равно высоте сегмента.

Используемая при этом система счисления - десятичная иероглифическая. Числа делятся на классы по четыре разряда в каждом. Особого знака, нуля при такой системе записи, очевидно, не требуется. Нуль, действительно, появился значительно позднее, только в XII в., и был, видимо, заимствован из математики Индии. Чтобы придать большую общность постановке основной задачи об измерении площадей, в первой книге введены простые дроби и арифметические действия над ними. Правила действий — обычные: особенностью является только то, что при делении дробей требуется предварительное приведение их к общему знаменателю.

Употребляемое в первой книге значение π= 3, видимо, сохранилось с очень давнего времени. Китайские математики того времени умели и более точно вычислять значение. Например, в I в. до н. э. у Лю Синя мы встречаем π = 3,1547, во II в. н. э. у Чжан Хэна π=

Книга 2 - «Соотношение между различными видами зерновых культур»

Книга 2 «Соотношение между различными видами зерновых культур» отражает старинную практику взимания налогов зерном, измеряемых в объемных мерах, и расчетов при переработке этого зерна. Математические задачи, возникающие при этом, — это задачи на тройное правило и пропорциональное деление. Ко второй книге была позднее добавлена группа задач на определение стоимости предметов, число которых может быть как целым, так и дробным.

Задачи на пропорциональное деление, деление пропорционально обратным значениям чисел, а также простое и сложное тройное правило составляют содержание и следующей, третьей, книги «Деление по ступеням». Правил суммирования арифметических прогрессий здесь еще нет; они встречаются, по-видимому, впервые в математическом трактате Чжан Цяю-цзяня (VI в.).

«Шао-гуан» - книга 4

В четвертой книге «Шао-гуан» вначале речь идет об определении стороны прямоугольника по данным значениям площади и другой стороны. Затем излагаются правила извлечения квадратных и кубических корней, нахождения радиуса круга по его площади. Правила сформулированы специально для счетной доски; подкоренное число делится на разряды соответственно по 2 или 3 знака, затем последовательно подбирается очередное значение корня и дается правило перестройки палочек на счетной доске. При решении задач, связанных с вычислением элементов круга или сферы, принимается π = 3.

В книге 5 «Оценка работ» собраны задачи, связанные с расчетами при строительстве крепостных стен, валов, плотин, башен, ям, рвов и других сооружений. При этом вычисляются как объемы различных тел, так и потребности в рабочей силе, материале, транспортных средствах при различных условиях.

Книга 6 «Пропорциональное распределение» начинается группой задач о справедливом (пропорциональном) распределении налогов. Математические методы здесь те же, что в книге 3, где речь шла о распределении доходов между чиновниками различных классов, -пропорциональное деление, простое и сложное тройное правило. Кроме того, в шестую книгу входит серия задач на суммирование отдельных арифметических прогрессии и задач на совместную работу с разной производительностью.

«Избыток-недостаток» — так называется седьмая книга. В ней подобраны задачи, приводившиеся к линейным уравнениям и их системам, и разработан способ их решения, совпадающий с методом двух ложных положений. Задачи и в этом случае накапливались в возрастающей степени трудности. Метод тоже еще не сформулирован четко и имеет много разновидностей частного характера.

Усовершенствование складывающихся в седьмой книге правил решения систем линейных уравнений и распространение их на системы с большим числом неизвестных изложены в правиле «фан-чэн», которому посвящена вся восьмая книга. Задачи этой книги приводят к системам до пяти линейных уравнений с положительными корнями. Для всех систем установлен единый алгоритм вычисления корней - упомянутый «фан-чэн», состоящий в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений:

В соответствии с китайским способом письма (справа налево по столбцам сверху вниз) составляется расширенная матрица системы:

Эту матрицу преобразовывают так, чтобы все числа левее и выше главной диагонали коэффициентов были нулями:

Преобразование проводят обычным для теории детерминантов путем, но при этом оперируют только со столбцами; столбцы и строки матрицы здесь еще неравноправны. Преобразованная матрица с нулями соответствует ступенчатой системе уравнений:

откуда последовательно определяются корни системы уравнений.

Отрицательные числа

В процессе преобразований матрицы системы китайские ученые ввели отрицательные числа. Для их сложения и вычитания было введено специальное правило «чжэн-фу», которое можно перевести как правило «плюс-минус». Так как все вычисления, в том числе и преобразования матрицы, проводились на счетной доске, то для обозначения отрицательных чисел применялись счетные палочки другого цвета или формы, а в случае записи применялись иероглифы разных цветов.

Расширение понятия числа, которое мы отметили выше, является характерной особенностью развития математики. Те же стремления обеспечить общность решения в радикалах уравнений 2-4-й степеней в XVI в. в Италии привели к введению мнимых чисел. Что же касается приоритета китайских математиков относительно правила «фан-чэн», то он бесспорен. Достаточно указать, что в Европе идея создания подобного детерминанта впервые была высказана только Лейбницем в конце XVII в. Отрицательные числа в явном виде появились несколько раньше - в конце XV в. и сочинениях Н. Шюке.

Практическую основу последней книги «Математики в девяти книгах» составляют задачи определения недоступных расстояний и высот с помощью теоремы Пифагора и свойств подобных треугольников. Математически эта книга особенно интересна общей, алгебраической формулировкой правил. Помимо элементарных способов применения теоремы Пифагора в ней имеется способ нахождения пифагорейских троек, т. е. целочисленных решений уравнения x²+y²=z²:

Некоторые задачи приводят к полным квадратным уравнениям, а правила их решения эквивалентны общеупотребительным и сейчас формулам.

Мы остановились подробно на обзоре содержания «Математики в девяти книгах», так как это сочинение является самым значительным и, пожалуй, единственным крупным памятником древней китайской математики, имеющим к тому же энциклопедический характер. Оно показывает, что в течение многих веков математика Китая развивалась по преимуществу в вычислительно-алгоритмическом направлении и создала существенные элементы алгебраического подхода к решению задач.

Особенности математики Китая и их причины

Причины того, что математика Китая (а как мы увидим ниже, и Индии) приобрела такие особенности, коренятся в общественно-экономических условиях жизни общества. Последние были таковы, что эти государства в качестве одной из основных функций вынуждены были принять на себя организацию общественных работ в области ирригации, транспорта и оборонительных сооружений. Постоянные заботы о календаре и об общности и строгости религиозных установлений усугубляли эту направленность научных занятий. Феодальный гнет и давление религии определили медленный, застойный характер развития всех наук, в том числе и математики.

Вычислительно-алгоритмическую направленность китайская математика сохранила и в последующий период, вплоть до середины XIV в. Наибольшие успехи были опять достигнуты в области алгебры и арифметико-вычислительных методов. Вслед за решением квадратных уравнений мы встречаем у Ван Сяо-туна в VII в. сведение задачи к кубическому уравнению.

В прямоугольном треугольнике даны: произведение катетов xy=P=706

Существо этого метода, получившего в китайской математике название метода «небесного элемента» (так называлось неизвестное), состоит в следующем. Нужно решить уравнение Р_п(х)=0; для определенности принять Р_п(х) =а₄х⁴+а₃х³+а₂х²+а₁х+а₀. Первую цифру р корня отыскивают подбором. Производят подстановку: х=у+р .Получается вспомогательное уравнение

φ(у)=А₄у⁴+А₃у³+А₂у²+А₁у+А₀

Последовательность операций нахождения коэффициентов этого вспомогательного уравнения может быть выражена схемой:

Путем подбора опять находят первую цифру корня вспомогательного уравнения φ(у)=0; или, что то же самое, вторую цифру корня уравнения Р_п(х)=0. Пусть это будет q. Подстановка y=z+q приводит к уравнению ψ(z)=O, коэффициенты которого находят вновь по вышеуказанной схеме.

Метод небесного элемента был крупным достижением, завершившим развитие алгебры в Китае в средние века. Китайские математики использовали его с большим искусством.

Метод небесного элемента по-своей математической сущности эквивалентен методу Руффини-Горнера, открытому в Европе на рубеже XIX в.

В средние века в математике Китая все больше выявлялись и формировались алгебраические элементы как в области создания общих алгебраических методов, так и в формировании и усовершенствовании символики. В «Драгоценном зеркале четырех элементов» (1303 г.; четыре элемента — это четыре неизвестных, образно называемые: небеса, земли, мужчины, вещи) Чжу Ши-цзе решал задачи, приводящиеся к системам четырех уравнений с четырьмя неизвестными путем последовательного исключения неизвестных.

Суммирование прогрессий

Другим крупным достижением математиков средневекового Китая было регулярно применяемое суммирование прогрессий

известное из сочинений Шэнь Ко (XI в.) и Ян Хуэя (XIII в.).

Наряду с арифметико-алгебраическими задачами в Китае развивались элементы комбинаторики; был найден треугольник биномиальных коэффициентов, известный теперь под названием треугольника Паскаля. По-видимому, как одно из обобщений задач арифметики появились теоретико-числовые задачи.

Практический подход к задачам геометрии, наблюдавшийся в «Математике в девяти книгах», сохранялся в китайской математике на протяжении всего рассматриваемого периода времени.

Геометрия древнего Китая

В геометрическом наследии древнего и средневекового Китая видное место занимает сочинение Лю Хуэя (III в. н. э.) «Математика морского острова», имевшее вначале характер комментария и добавления к последней части «Математики в девяти книгах». В окончательном виде в «Математику морского острова» входят задачи на определение размеров недоступных предметов и расстояний до них. Решаются они по преимуществу применением теоремы Пифагора или подобия треугольников. Попыток систематического дедуктивного построения математики в Китае не отмечено.

Все известные нам источники утверждают, что с XIV в. в Китае начинается длительный период застоя в развитии наук. Добытые ранее знания не развиваются и даже забываются; математика развивается преимущественно за счет усвоения иностранных знаний. В 1583 г. в Китай проник иезуит-миссионер М. Риччи, вслед за которым Китай наводнила целая армия священнослужителей и монахов. Видимо, не без их содействия в 1606 г. в Китае впервые появились издания «Начал» Евклида, в 1650 г. - таблицы логарифмов Влакка. Оригинальное же развитие китайской науки под давлением колонизаторов и законсервировавшихся феодальных форм правления прекратилось. Китайские математики-специалисты подготавливались к научной деятельности за границей, в большинстве там же и работали.

Развитие математики в XX веке

Математика в Китае получила новый стимул к развитию только в XX в. под влиянием народно-освободительного движения, а затем народной революции и руководства Коммунистической партии Китая. В 1928 г. в Нанкине была образована центральная научно-исследовательская академия, среди 13 институтов которой был и институт математики. Собравшиеся в этом институте ученые вели работу по многим направлениям одновременно. Они получили результаты в области рядов Фурье, аналитической теории чисел, топологии, дифференциальной геометрии, теории вероятностей и математической статистики, алгебры, теории конечных групп.

После 1949 г. в Китае началось быстрое развитие математики в тесном содружестве с математиками СССР. Особенно тесно ученые сотрудничали в области аналитической теории чисел, где Хуа Ло-кэн и другие вели работы методом тригонометрических сумм, изобретенным академиком И. М. Виноградовым. К работам Д. Е. Меньшова об ортогональных рядах примыкают работы Чень Цзян-гуана и Ван Фу-чуна. Исследования Су Бо-цина и других связаны с работами советских математиков школы С. П. Финикова по линейным комплексам. Даже в теории вероятностей, где особенно сильное влияние оказывали английские и американские математики, сказалось сближение с советскими специалистами школы А. Н. Колмогорова. Сотрудничество китайских математиков с советскими коллегами всегда было плодотворным, обогащало их в научном отношении и способствовало развитию прогрессивного мировоззрения и практических успехов в приложениях математики.