Математика в Индии

В древней и средневековой математике народов Индии много общего с китайской математикой. В Индии математика тоже является очень древней наукой, издавна составляющей часть культуры. В ней тоже преобладали вычислительно-алгоритмические методы и отсутствовали попытки построения дедуктивных систем; геометрия индийцев — также практическая.

Эта общность характера науки и путей ее развития не случайна и отражает сходность путей исторического развития обеих великих стран и давние экономические и культурные связи между ними. В Индии к началу нашей эры уже сложилась развитая феодальная система организации общества. Длительная консервация феодальных отношений усугублялась кастовым расслоением социальных групп населения, что определило, несмотря на бурное временами течение политических событий, весьма медленный темп развития производства и науки.

Английские, французские, португальские колонизаторы в течение нескольких столетий насильственно задерживали естественное развитие производства, науки и культуры индийского народа. Только в наше время происходит процесс национального освобождения и подъема производительных сил Индии.

Сутры и веды

Самыми ранними памятниками математической культуры индийцев являются религиозные книги: сутры и веды. Их происхождение относят к VIII—VII вв. до н. э. Написаны они на давно уже умершем языке — санскритском. В них мы находим геометрические построения, составляющие важную часть ритуалов при постройке культовых сооружений: храмов, алтарей и т. д. В них можно найти первые способы квадрирования кругов, применение теоремы Пифагора. Видимо, вследствие требований архитектуры решалась и арифметическая задача о нахождении пифагоровых троек натуральных чисел.

Числовая система с древних времен определилась как десятичная. Столь же рано определилась склонность к оперированию большими числами, нашедшая отражение в легендах. Будда, например, отличался феноменальным умением считать; он строил числовые десятичные системы до 10⁵⁴, давая наименования каждому разряду. Женихи прекрасной богини Земли, добиваясь ее руки, обязаны были соревноваться в письме, арифметике, борьбе и стрельбе из лука. Победитель соревнования Сарватасидда придумал, в частности, шкалу чисел, идущих в геометрической прогрессии со знаменателем 100, до 10⁷+^9•46, т. е. до числа с 421 нулем. Пристрастие к операциям с большими числами сохранялось в течение всей истории математики в Индии.

Наиболее яркий период развития, оставивший самые значительные образцы математической литературы, — это V—XII вв. н. э. В это время трудились выдающиеся индийские ученые — математики и астрономы: Ариабхатта (конец V в.), Брахмагупта (род. 598 г.), Магавира (IX в.), Бхаскара Акарья (род. 1114 г.). От Ариабхатты, жившего в северо-восточной Индии, осталось сочинение в стихах астрономического и математического содержания. В нем сформулированы правила элементарной математики: арифметики, геометрии и тригонометрии. Брахмагупта также в стихотворной форме написал огромное сочинение в 20 книгах «Усовершенствованная наука Брамы», в котором 12-я книга посвящена арифметике и геометрии, а 18-я — алгебре и неопределенным уравнениям. Значительное математическое содержание имеют две книги Бхаскары: «Лилавати» и «Виджаганита». «Лилавати» (что значит «прекрасная») Бхаскара посвятил своей дочери. В поэтической манере в 13 отделах книги излагаются: 1) метрология; 2) действия над целыми числами и дробями и извлечение корней; 3) способ обращения, способ ложного положения и другие частные приемы решения задач; 4) задачи на бассейны и смеси; 5) суммирование рядов; 6) планиметрия; 7—11) вычисление различных объемов; 12) задачи неопределенного анализа; 13) задачи комбинаторики.

«Виджаганита»

Другое сочинение Бхаскары — «Виджаганита» — состоит из восьми отделов: 1) действии над положительными и отрицательными числами; 2—3) неопределенные уравнения 1-й и 2-й степени; 4) линейные алгебраические уравнения; 5) квадратные уравнения; 6) системы линейных уравнений; 7—8) неопределенные уравнения
2-й степени.

Мы не ставим себе здесь целью описание всех источников, заслуг и роли отдельных лиц. Нашей целью является оценка уровня достижений математиков Индии, особенностей форм и методов математического исследования и путей развития индийской математики. Поэтому здесь мы дадим лишь общие характеристики.

Как было уже сказано, главной особенностью индийской математики является преобладание вычислительных приемов, преподносимых учащимся или читателям в догматической форме. Среди арифметических правил обращает на себя внимание широкое распространение правила обращения, которое состоит в следующем: задумывается число, но учащемуся или противнику сообщаются лишь последовательность операций с задуманным числом и конечный результат. Решение задачи состоит в последовательном проведении всех операций в обратном порядке. Например, в сочинении Бхаскары «Лилавати» перед неизвестной красавицей ставится задача: назвать число, которое, будучи умножено на три, увеличено затем на три четверти произведения, разделено на 7, уменьшено на ...

Оперирование большими числами, помимо отработки единой числовой десятичной системы с нулем и числовой символики, привело к введению в математику представлений о бесконечно больших числах. Бхаскара вводил это представление, рассматривая выражения вида

Индийские математики ввели и правильно трактовали и понятие отрицательного числа. Так, Брахмагупта разъясняет, что числа могут трактоваться либо как имущество, либо как долг. Правила операций с числами тогда таковы: сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов — долг, имущества и долга — их разность, а если они равны — нуль. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля — имущество. Произведение двух имуществ или двух неимуществ есть имущество; результат произведения имущества на долг представляет убыток. То же правило справедливо и при делении. Квадрат имущества, или долга, есть имущество; имущество имеет два корня: один составляет прибыль, другой — долг. Корня убытка не существует, ибо таковой не может быть квадратом. Однако, вводя отрицательные числа, индийские математики не использовали их как равноправные элементы математики, считая их только чем-то вроде логических возможностей, потому что, по выражению Бхаскары, люди с ними не согласны. Кроме правил и задач арифметики в индийскую математику входили также решения ряда задач алгебры, неопределенного анализа, комбинаторных задач. К алгебре относятся в первую очередь правила решения линейных уравнений, их систем и квадратных уравнений.

Диофантов анализ

Развитие методов решения задач неопределенного, или диофантова, анализа представляет одно из высших достижений индийской математики. Появление подобных методов - общее явление для всех древних математических культур. Причина того, что математики Индии, Греции, Китая и других стран интересовались решением пообных задач, лежит, по-видимому, в необходимости изучения периодически повторяющихся явлений, например в астрономии.

В самом деле, вопрос о периоде времени, состоящем одновременно из целого числа дней (х) и целого числа лет (у), приводит к неопределенному уравнению: 10 960у=30х. Другие вопросы, например о периоде повторения некоторых явлений, приводят к полным неопределенным уравнениям. Индийские ученые умели находить целочисленные решения различных видов неопределенных уравнений 1-й и 2-й степени.

Мы уже упоминали о характерной форме изложения, при которой не воспроизводится ни ход рассуждений, ни доказательство, что не дает возможности судить о теоретико-числовых методах индийских математиков. Однако то немногое, что известно, показывает наличие ряда теоретико-числовых методов.

В истории Индии имеется достаточно фактов, свидетельствующих о наличии экономических и политических связей с греческими, египетскими, арабскими государствами и с Китаем. В математике считается бесспорным индийское происхождение десятичной системы счисления с нулем и правил счета. Можно проследить заимствование индусами у греков некоторых геометрических сведений и т. д. Но количество этих фактов невелико. Вопрос о связях и взаимных влияниях математики Индии, Греции, Китая и арабских стран еще остается недостаточно выясненным.