Производная произведения двух функций

Пусть функция w (х) равна произведению двух функций u (х) и v (х):

w (х) = u (х) • v (х).

То же самое мы будем записывать кероче:

w = u • v.

Предположим, что функции u и v дифференцируемы. Будет ли дифференцируемым их произведение w? Имеем: .

Δw = w (x + Δ x) - w (x) = u (x + Δ x) v (x + Δ x) - u (x) v (x).

Но

u (x + Δ x) - u (x) = Δu,

v (x + Δ x)- v (x) = Δv.

Отсюда

u (x + Δ x) = u + Δu,

v (x + Δ x) = v + Δv.

Следовательно,

Δw = (u + Δu) (v + Δv) - uv = uv + uΔv + Δuv + ΔuΔv - uv =

= u Δv + Δu v + Δu Δv.

Поэтому

Δw/Δx = u Δv/Δx + v Δu/Δx+ Δu/Δx Δv

При Δx -> 0 получаем:

u -> u

v -> v

Δu/Δx -> u’

Δv/Δx -> v’

Покажем, что при Δx -> 0 Δv также стремится к нулю. Действительно,

Δv = Δv/ΔxΔx = v’ • 0 = 0.

Таким образом,

$$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta x} = uv’+u’v+u’\cdot 0 = uv’+u’v $$

Итак, в рассматриваемом случае производная существует и равна:

(uv) = uv’ + u’v.

Производная произведения двух функций равна произведению производной от первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную от второй функции.

Примеры.

1) Найти производную функции у = (х + а) (х + b).

По правилу дифференцирования произведения

у’ = (х + а)’ (х + b) + (х + а) (х + b)’ = 1 • (х + b) + (х + а) • 1 = 2х+ а+ b.

2) Найти производную функции у = (х + 1) (x2 - 3).

Имеем:

у’ = (х + 1)’ (x2 - 3) + (х + 1)’ (x2 - 3)’ = (1 + 0) (x2 - 3) + (х + 1) (2х + 0) =
=3x2 + 2x - 3.



« назад