Производная произведения двух функций

Пусть функция w (х) равна произведению двух функций u (х) и v (х):

w (х) = u (х) • v (х).

То же самое мы будем записывать кероче:

w = u • v.

Предположим, что функции u и v дифференцируемы. Будет ли дифференцируемым их произведение w? Имеем: .

Δw = w (x + Δ x) - w (x) = u (x + Δ x) v (x + Δ x) - u (x) v (x).

Но

u (x + Δ x) - u (x) = Δu,

v (x + Δ x)- v (x) = Δv.

Отсюда

u (x + Δ x) = u + Δu,

v (x + Δ x) = v + Δv.

Следовательно,

Δw = (u + Δu) (v + Δv) - uv = u • v + u • Δv + Δu • v + Δu • Δv - uv =

= u Δv + Δu v + Δu Δv.

Поэтому

^Δw/_Δx = u ^Δv/_Δx + v ^Δu/_Δx+ ^Δu/_Δx Δv

При Δx -> 0 получаем:

u -> u

v -> v

^Δu/_Δx -> u’

^Δv/_Δx -> v’

Покажем, что при Δx -> 0 Δv также стремится к нулю. Действительно,

Δv = ^Δv/_Δx • Δx = v’ • 0 = 0.

Таким образом,

Итак, в рассматриваемом случае производная существует и равна:

(uv)’ = uv’ + u’v.

Производная произведения двух функций равна произведению производной от первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную от второй функции.

Примеры.

1) Найти производную функции у = (х + а) (х + b).

По правилу дифференцирования произведения

у’ = (х + а)’ (х + b) + (х + а) (х + b)’ = 1 • (х + b) + (х + а) • 1 = 2х+ а+ b.

2) Найти производную функции у = (х + 1) (x² - 3).

Имеем:

у’ = (х + 1)’ (x² - 3) + (х + 1)’ (x² - 3)’ = (1 + 0) (x² - 3) + (х + 1) (2х + 0) =
=3x² + 2x - 3.