Модуль числа
Два противоположных числа, например +6 и -6, отличаются знаками, но записываются одинаковыми цифрами. Говорят, что они имеют одинаковые абсолютные величины. Абсолютная величина каждого из них равна 6.
Модулем (абсолютной величиной) положительного числа является само это число, модулем отрицательного числа - противоположное ему число, модулем числа 0 - само число 0. То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака..
Модуль числа а обозначают | а |. Таким образом,
$$ |a| = \begin{cases}a, \;\;\text{если}\;\; a \geq 0\\ -a, \;\;\text{если}\;\; a < 0\end{cases} $$Например, |-17| = 17; |2| = 2; |0| = 0.
Свойства модуля
- Модуль числа есть неотрицательное число: $$ |а| \geq 0 $$
- Модули противоположных чисел равны: $$ |а| = |–а| $$
- Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: $$ |а|^2 = a^2 $$
- Модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел: $$ |а \cdot b| = |а| \cdot |b| $$
- Модуль частного чисел равен отношению модулей этих чисел: $$ |а : b| = |а| : |b| $$
- Модуль суммы чисел меньше или равен сумме их модулей: $$ |а + b| \leq |а| + |b| $$
- Модуль разности чисел меньше или равен сумме их модулей: $$ |а – b| \leq |а| + |b| $$
- Модуль суммы/разности чисел больше или равен модулю разности их модулей: $$ |а \pm b| \geq ||а| – |b|| $$
- Постоянный положительный множитель можно вынести за знак модуля: $$ |m \cdot a| = m \cdot |а|, m > 0 $$
- Степень числа можно вынести за знак модуля: $$ |а^k| = |а|^k, \;\;\text{если}\;\;\; а^k \;\;\;\text{существует} $$
- Если \(|а| = |b|, \;\;\text{то}\;\; a = \pm b \)
Геометрический смысл модуля
Нарисуем числовую прямую. Модуль числа - это расстояние от нуля до данного числа. Например, |− 5| = 5. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Эта геометрическая интерпретация очень полезна для решения уравнений и неравенств с модулем.
Рассмотрим простейшее уравнение |x| = 3. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и −3. Значит, у уравнения |x| = 3 есть два решения: x = 3 и x = −3.
Вообще, если имеются два числа a и b, то |a−b| равно расстоянию между ними на числовой прямой.
(В связи с этим нередко встречается обозначение |AB| длины отрезка AB, то есть расстояния от точки A до точки B.) Ясно, что |a − b| = |b − a| (расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a).
Решим уравнение |x − 3| = 4. Эту запись можно прочитать так: расстояние от точки x до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Мы видим, что наше уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы решили его самым простым способом - без использования определения модуля.
Перейдём к неравенствам. Решим неравенство |x + 7| < 4.
Эту запись можно прочитать так: "расстояние от точки x до точки −7 меньше четырёх". Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Ответ: (−11; −3).
Другой пример. Решим неравенство |10 − x| > 7. Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.
Ответ: (−∞; 3] ∪ [17, +∞).
