решение уравнений »

когда дискриминант равен - страница 2

  • Объясните, как найти дискриминант квадратного уравнения, например: х^2+3x+24=0


    Решение: a^2x+bx+c=0 так выглядит уравнение

    а D=b^2-4*ac

    Это не удачный пример, лучше :

    x^2+4x-5=0

    D=4^2-4*(-5)*1=16+20=36 

    √D=6

    х^2+3x+24=0

    а=1 b=3 c=24

    D=b²- 4ac= 3² - 4x1x24 = 9 - 96 = - 87

    D<0 - корней нет.

    Формула дискриминанта: .

      Дискриминант D квадратного трёхчлена ax2 + bx + c   равен b2 - 4ac.

    Корни квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) :
    D > 0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня;

      -b ± √D
    x     =  ————,
                 2    a
    D = 0 - уравнение имеет 1 корень (или же 2 совпадающих вещественных корня):
    D < 0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (т.е. вещественных корней нет).

  • Решить уравнения, но не через дискриминант: 2х4-х2=0. Теперь второй пример: 3х3-х=0


    Решение: 2х⁴-х²=0
    Выносим икс квадрат за скобку
    x²(2x²-1)=0
    выражение слева равно только если либо x    ²=0 либо 2x²-1=0,
    значит:
    x₁=0
    2x²=1 x²=1/2
    x₂=√(1/2)
    x₃= - √(1/2)

    аналогично
    3х³-х=0
    x(3x    ²-1)=0
    x    ₁=0
    3x²=1 x²=1/3
    x₂=√(1/3)
    x₃= - √(1/3)

    Х^2(2х^2-1)=0
    х^2=0 или 2х^2-1=0
    х=0или х=1;-1
    ответ:-1;0;1
    3х^3-х=0
    х(х^2-1)=0
    х=0 или х^2-1=0
    х=-1;1

  • Вычислите дискриминант, определите, имеет ли уравнение корни и сколько х^2 + 7х - 18 = 0 и a^2 + а + 6 = 0


    Решение: $$ x^2 + 7x - 18 = 0 \\ D = b^2 - 4*a*c = 121 $$
    $$ a = 1 ; b = 7 ; c = -18 $$
    $$ \sqrt{D} = 11 $$
    $$ x1,2 = \frac{-7+(-)11}{2} \\ x1 = 2 ; x2 = -9 $$  ⇒ первое уравнение имеет два корня.

    Решаем второе:
    $$ a^2 + a + 6 = 0 \\ a = 1 ; b = 1 ; c = 6 \\ D = b^2 - 4*a*c = -23 $$
    т.к $$ D < 0 $$, то уравнение корней не имеет.

  • Пусть D-дискриминант квадратного трехчлена ax^2+bx+c. Определите знаки корней уравнения ax^2+bx+c=0, если 1)D>0,a<0,b>0,c<0.2)a>0, c<0.


    Решение: По теореме Виета х1+х2= -b 
     x1*x2 = c
    1) D>0, a<0, b>0, c<0. 
    Получаем уравнение вида -ax^2+bx-c=0. 
    Разницы нет, будем мы находить корни при а положительном или отрицательном, корни либо буду оба положительны либо отрицательны либо один отрицательный один положительный, поэтому проще будет если а будет положительным. Умножим на (-1). 
    Получим ax^2-bx+c=0. 
    с положительно, b отрицательно, значит х1 и х2 положительные корни. 
    2) a>0, c<0. 
    Получаем ax^2+bx-c=0. 
    c отрицательно, b положительно, значит произведение корней отрицательно и один из корней отрицательный, а другой положительный. 


  • Решить уравнения через дискриминант.
    а)3х²+13х-10=0;
    б)2х²-3х=0;
    в)16х²=49;
    г)х²-2х-35=0.


    Решение: А)
    $$ 3x^{2}+13x-10=0 \\ d=13^{2}-4*3*(-10)=169+120=289 \\ x{1}= \frac{-13+ \sqrt{289}}{2*3}= \frac{-13+17}{6}= \frac{4}{6}= \frac{2}{3} \\ x{2}= \frac{-13-\sqrt{289}}{2*3}= \frac{-13-17}{6}= \frac{-30}{6}= -5 $$
    б)
    $$ 2x^{2}-3x=0 \\ d=(-3)^{2}-4*2*0=9-0=9 \\ x{1}=\frac{3+\sqrt{9}}{2*2}= \frac{3+3}{4}= \frac{6}{4}= \frac{3}{2}=1.5 \\ x{2}= \frac{3-\sqrt{9}}{2*2}= \frac{3-3}{4}= \frac{0}{4}=0 $$
    в) 
    $$ 16x^{2}=49\ 16x^{2}-49=0 \\ d=0^{2}-4*16*(-49)=0+3136=3136 \\ x_{1}= \frac{0+ \sqrt{3136}}{2*16}= \frac{56}{32}= \frac{7}{4}=1.75 \\ x_{2}= \frac{0-\sqrt{3136}}{2*16}= \frac{-56}{32}= \frac{-7}{4}= -1.75 $$
    г)
    $$ x^{2}-2x-35=0 \\ d=(-2)^{2}-4*1*(-35)=4+140=144 \\ x{1}= \frac{2+ \sqrt{144}}{2*1}= \frac{2+12}{2}= \frac{14}{2}=7 \\ x{2}= \frac{2-\sqrt{144}}{2*1}= \frac{2-12}{2}= \frac{-10}{2}= -5 $$

  • Решить рациональное уравнение через дискриминант: х(в числителе) разделить на 2х-3(в знаменателе) = 4(в числителе) разделить на х в (знаменателе)


    Решение: x/2x-3=4/x

    Решаем по методу решения пропорций. Получаем:

    x^2=4(2x-3)

    x^2=8x-12

    x^2-8x+12=0

    D=64-48=16

    x1=8+4/2=6

    x2=8-4/2=2

    Ответ: 6; 2.

    x умножить на х = 4(2x-3) отсюда 2х = 8х-6 -6х = -6 при переносе. х = 1

  • Решить уравнение через дискриминант 49^х-8*7^х+7=0


    Решение: 49х-56х+7=0
    D= 3136-1372= 1764 ( корень из 1764 =42)
    х1= (56+42)/98= 1
    х2= (56-42)/98= 1/14

    Это через теорему Виета, но будет так же и через дискриминант х- х D - корень из х х - Это через теорему Виета но будет так же и через дискриминант...

  • Дайте определение тождества. Приведите пример. Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Сколько корней может иметь квадратное уравнение?


    Решение: То́ждество (в математике) - равенство, выполняющееся на всем множестве значений входящих в него переменных. Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D. Формула дискриминанта: D = b2 - 4ac

    Квадратное уравнение может иметь от 0 до 2 корней в зависимости от дискриминанты!

    не имеет корней - D<0

    Один корень - D=0

    Два корня - D>0

<< < 12