решение уравнений » сколько действительных корней имеет уравнение
  • Сколько действительных корней имеет уравнение 1+x+x^2= abs(x)


    Решение: Значит, у нас тут 2 случая:

    1) Когда модуль положителен

    1+x+x^2=x

    x^2=-1 корней нет

    2) Когда модуль отрицателен и мы заменяем его на противоположное значение

    -1-x-x^2=x

    x^2+2x+1=0

    (x+1)²=0

    x=-1

  • Сколько действительных корней имеет уравнение 9х2 - 12х + 4 = 0


    Решение: D=b²-4ac
    D=12²-4*9*4
    D=144-144=0

    Если дискриминант равен нулю,то уравнение имеет ОДИН корень.
    Или,можно сказать,что уравнение имеет два ОДИНАКОВЫХ корня(что в принципе будет более верным).

    $$ 9 x^{2} -12x+4=0 \\ D=144-4*4*9=144-144=0 \\ x_{0} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$

    Ответ: уравнение имеет ОДИН действительный корень $$ x_{0} = \frac{2}{3} $$ 

  • сколько действительных корней имеет уравнение logx(3x^2-2)=4


    Решение: $$ log_{x}(3x^2-2)=4 $$

    Для начала найдем ОДЗ:

    $$ \left \{ {{3x^2-2>0} \atop {x>0}} \right. $$

    Первое уравнение решим отдельно.

    3x^2 -2>0

    3x^2 -2=0

    x^2=2/3

    $$ x_1=\sqrt{\frac{2}{3}} $$

    $$ x_2=-\sqrt{\frac{2}{3}} $$

    Чертим координатную прямую, отмечаем точки, расставляем знаки. Рисунок добавлю во влажения.

    Решением этого уравнения будет промежуток $$ (-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})\cup(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty) $$

    А решением системы будет являться $$ (\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty) $$

    Теперь начнем решение. Представим 4 в виде логорифма по основанию x.

    $$ log_x(3x^2-2)=log_x(x^4) $$

    Так как основания равны, то знак логорифма можно опустить.

    3x^2 -2 =x^4

    x^4 - 3x^2 +2 =0

    Это биквадратное уравнение. Введем обозначения

    x^2 = a, $$ a\geq0 $$

    a^2 -3a+2=0

    По теореме Виета a1=2, a2=1

    Теперь найдем х:

    x^2= 2 x^2=1

    $$ x_1=\sqrt{2} $$ x=±1

    $$ x_2=-\sqrt{2} $$

    Выберем корни, входящие в ОДЗ. Таковыми являются $$ \sqrt{2}$$ и 1.

    Ответ: $$ \sqrt{2} $$ и 1

    logx(3x^2-2)=4

    3x^2-2=x^4

    -x^4+3x^2-2=0 (-1)

    x^4-3x^2+2=0

    пусть x^2=t

    t^2-3t+2=0
    D = ( 9 / 4 ) - ( 1 * 2 ) = 1.
    D>0
    1) t1 = ( 3 )+v(1) / 2 = 2
    2) t2 = ( 3 )-v(1) 2 = 1

    замена x^2=2 x^2=1

      x=корен2 x=1

    log x x - 
Для начала найдем ОДЗ 
 left x - atop x right. 
Первое уравнение решим отдельно.
 x - 
 x - 
x 
 x sqrt frac 
 x - sqrt frac 
Чертим координатную прямую отмечаем т...
  • Сколько действительных корней имеет уравнение

    x^47 + x^18 +1 = 0 ?


    Решение: Для решения нужно применить теорему Штурма (формулировку теоремы можно глянуть в соответствующих источниках)

    f(x) = x^47 + x^18 + 1

    f₁(x) = f’(x) = 47*x^46 + 18*x^17

    f₂(x) = f’’(x) = 47*46x^45 + 18*17x^16

    f₃(x) = f’’’(x) = 47*46*45*x^44 + 18*17*16*x^15

    .....................................................

    f₄₇(x) = 47*46*45*...*2

    Определим знаки этих многочленов при x= -∞ и x= +∞

    Для определения знака следует лите смотреть на знаки старших коэффициентов и на степени этих многочленов

    Составим таблицу

         f(x)  f₁(x) f₂(x)....  f₄₇(x) Число перемен знаков

    -∞    -      +      -   ....     +                46

    +∞   +      +      +   ....     +                 0

    Т.е. система Штурма при переходе от -∞ до +∞ теряет (46-0) перемен знаков, а поэтому многочлен имеет 46 действительных корней.

  • Сколько действительных корней имеет уравнение : (x^3/3)+x^2-3x+2=0


    Решение: Лучше рассмотреть функционально:
    1/3*x^3=-x^2+3x-2
    x^3=-3x^2+9x-6=0
    x^3 - кубическая парабола (стандарт)
    -3x^2+9x-6 - квадратная парабола с x(в)=9/(2*3)=1.5; y(в)=-3(9/4)+9*3/2-6=
    =0.75; ветви вниз; пересечение с Оx; -3x^2+9x-6=0 x1=1 x2=2
    либо рисуем, либо в голове представляем=> пересечение в одной точке (где-то межде -5..-5.5) => 1 корень

  • Сколько действительных корней имеет система x+ y=2 и xy-z^2=1


    Решение: {x+y =2 ; xy -z² =1 ;
    {x+y =2 ; xy =z² +1 ;
    * * *  x и y корни уравнения t² -2t +(z² +1) =0 (обратная теорема Виета) * * *
    t² -2t +(z² +1) =0 ;  * * * (t -1)² +z² =0  ⇔ z=0 ; t=1 * * *
    D =1² -(z² +1) = - z² ≤0 . Имеет действительное решение, если  z =
    тогда  t² -2t +1 =0 ⇔(t -1)² =0⇒t=1.

    одно решение:  x=y =1.





  • Найдите произведение корней: (3х+1)(2х(квадрат)+х-3)=0 Сколько действительных корней имеет уравнение (3х-1)(2х(квадрат)+3х+2)=0
    Сколько действительных корней имеет уравнение (2-3х(квадрат))(х(квадрат)-5х+3)=0


    Решение: Решение на фото, которое прикреплено  (3х+1)(2х^2+х-3)=0
    3x+1=0
    x=-1/3 2x^2+x-3=0 x1=1 x2=3/2
    x*x1*x2= -1/3*1*3/2=-1/2
    (2-3х^2)(х^2-5х+3)=0
    2-3х^2=0 х^2-5х+3=0 D=25-12=13 D>0 2 корня
    -3x^2=-2
    x^2=2/3
    x=+-2/3 
    ответ: 4 действительных корня

    Решение на фото которое прикреплено   х х х- x x - x x- x x x x x - - - х х - х - х х - х D - D корня- x - x x -  
ответ действительных корня...
  • Сколько существует значений а, при которых уравнение "модуль(x^2-5*a*x)=15*a" имеет три различных действительных корня?


    Решение: Итак, уравнение такое
    |x^2 - 5ax| = 15a
    Из уравнения сразу ясно, что a >= 0, потому что модуль >= 0.
    1) При а = 0
    |x^2 - 0| = 0; x = 0 - единственный корень, не подходит.

    2) x^2 - 5ax = -15a < 0
    x^2 - 5ax = x(x - 5a) < 0
    a > 0, то есть 5a > 0, тогда 0 < x < 5a
    |x^2 - 5ax| = 5ax - x^2
    Подставляем
    5ax - x^2 = -15a 
    5ax - x^2 + 15a = 0
    x^2 - 5ax - 15a = 0 
    D = 25a^2 + 4*15a = 25a^2 + 60a > 0 при любом a > 0
    x1 = (5a - √(25a^2 + 60a)) / 2; x2 =  (5a + √(25a^2 + 60a)) / 2 

    3) 5ax - x^2 = 15a > 0
    5ax - x^2 - 15a = 0
    x^2 - 5ax + 15a = 0
    D = 25a^2 - 4*15a = 25a^2 - 60a = 5a(5a - 12) > 0
    5a(5a - 12) > 0, при этом мы знаем, что a > 0, тогда
    5a - 12 > 0; a > 12/5
    x1 = (5a - √(25a^2 - 60a)) / 2; x2 =  (5a + √(25a^2 - 60a)) / 2 

    3) При а = 12/5 будет
    |x^2 - 12x| = 15*12/5 = 3*12 = 36
    a) x^2 - 12x = 36
    x^2 - 12x - 36 = 0;
    D/4 = 6^2 + 36 = 72 = (6√2)^2
    x1 = 6 - 6√2; x2 = 6 + 6√2
    b) x^2 - 12x = -36
    x^2 - 12x + 36 = 0
    (x - 6)^2 = 0
    x3 = 6
    При а = 12/5 будет 3 корня
    Ответ: три корня будет только при а = 12/5

  • -х^2+11х-30<0. Можно ли найти через дискриминант, если А-отрицательный?


    Решение: -х²+11х-30<0
    а= -1 в= 11 с= -30 
    Д= в
    ²-4ас=(-11)²-4·(-1)·(-30)=121-120=1>0⇒2 корня
      -в +/-√Д -11+/-√1 -11+/-1
    х=---------------= -------------- = -----------
      2а 2·(-1) -2
      -11+1 10
    х₁= ------------- = -------------= -5
      -2 -2
       -11-1 -12
    х₂= -----------= ----------- = 6
      -2 -2
    ответ: -5 и 6