решение уравнений »

число корней уравнения - страница 2

  • При каких значениях a число корней уравнения llx^2-2xl-7l=a в четыре раза больше a


    Решение:

    1) Пусть x^2 - 2x >= 0, то есть x <= 0 U x >= 2
    |x^2 - 2x - 7| = a
    |x^2 - 2x - 7| >= 0. Если a < 0, то решений нет.
    Если а = 0: x^2 - 2x - 7 = 0
    D = 2^2 + 4*7 = 32 = (4√2)^2
    x1 = (2 - 4√2)/2 = 1 - 2√2 < 0 - подходит
    x2 = (2 + 4√2)/2 = 1 + 2√2 > 2 -подходит
    Это уравнение имеет 2 корня, это НЕ в 4 раза больше 0.
    а = 0 - не подходит.
    Если a > 0, то
    а)x^2 - 2x - 7= a
    x^2 - 2x - 7 - a = 0
    D = 2^2 + 4(7 + a) = 32 + 4a = 4(8 + a)
    x1 = (2 - 2√(8+a))/2 = 1 - √(8+a)
    x2 = (2 + 2√(8+a))/2 = 1 + √(8+a)
    2 корня.
    б) x^2 - 2x - 7= -a
    x^2 - 2x - 7 + a = 0
    D = 2^2 + 4(7 - a) = 32 - 4a = 4(8 - a)
    x1 = (2 - 2√(8-a))/2 = 1 - √(8-a)
    x2 = (2 + 2√(8-a))/2 = 1 + √(8-a)
    2 корня.
    Всего 4 корня при a > 0. Значит, при а = 1
    корней будет в 4 раза больше, чем а.

    2) Пусть x^2 - 2x < 0, то есть 0 < x < 2
    |-x^2 + 2x - 7| = a
    |-x^2 + 2x - 7| >= 0. Если a < 0, то решений нет.
    Если а = 0: -x^2 + 2x - 7 = 0
    x^2 - 2x + 7 = 0 - решений нет.
    Если a > 0, то
    а) -x^2 + 2x - 7 = a 
    -x^2 + 2x - 7 - a = 0
    x^2 - 2x + 7 + a = 0
    D = 2^2 - 4(7 + a) = 4 - 28 - 4a < 0 при любом a > 0
    Решений нет.

    б)  -x^2 + 2x - 7 = -a 
    -x^2 + 2x - 7 + a = 0
    x^2 - 2x + 7 - a = 0
    D = 2^2 - 4(7-a) = 4 - 28 + 4a = 4(a-6) >= 0 при a >= 6
    x1 = (2 - 2√(a-6))/2 = 1 - √(a-6)
    x2 = (2 + 2√(a-6))/2 = 1 + √(a-6) 
    При 6 < a < 7 будет 0 < x1, x2 < 2
    2 корня, но это НЕ в 4 раза больше а
    Ответ: а = 1

  • Найдите на отрезке x∈[-π;0] число корней уравнения cos2x+cos4x+cos6x=-1/2


    Решение: См. графическое решение в приложении.
    О т в е т. 6 корней.

    Стандартные методы решения не приводят к ответу.
    Применяем формулу
    соsα+cosβ=2cos((α+β)/2) · cos ((α-β)/2)

    2cos4x·cos(-2x)+cos4x=-1/2
    2(2cos²2x-1)·cos2x+(2cos²2x-1)+1/2=0
    8cos³2x+4cos²2x-4cos2x+1=0 См. графическое решение в приложении.О т в е т. корней.Стандартные методы решения не приводят к ответу.Применяем формулу соs cos cos cos - cos x cos - x cos x - cos x- cos x c...

  • Найти число корней уравнения 5[Х] + 7{Х} = 2012, где [Х] - целая часть числа х, а {Х} - дробная часть числах.


    Решение: 5[x]+27{x}=2012

    Т. к. 5[x] – целое число и отнимая его от 2012 должны получить тоже целое число 27{x}.

    Отнимая от 2012 целое число 27{x} мы должны получить число, которое делится на 5, т. е. кратное 5 ( 5[x] = 2012 -  27{x} ).

    При положительных целых значениях 27{x} такое невозможно. Следовательно, решение должно быть дробным.

                Подбираем:

                1) 2012 – 27х 2/27 =2010;

                2) 2012 – 27х 7/27 = 2005;

                3) 2012 – 27х 12/27 =  2000;

                4) 2012 – 27х 17/27 =  1995;

                5) 2012 – 27х 22/27 =  1990.

                Других решений не может быть, следовательно, число корней уравнения равно 5.

  • 1. Решите уравнение 5^(2x-1)+5^(x+1)=250. Если получится 2 корня, то в ответе запишите ихпроизведение.
    2. Укажите число корней уравнения (2^x^2-32)* корень из (3-х)=0.


    Решение: 5^(2x-1) +5^(x+1)=250
    5^(-1) * 5^(2x) +5^1 * 5^x =250
    1/5 * 5^2x + 5^1 *5^x = 250
    замена переменной 5^x = t , при t>0
    1/5 t^2 + 5t =250

  • 1. Решите уравнение 5^(2x-1)+5^(x+1)=250. Если получится 2 корня, то в ответе запишите ихпроизведение.
    2. Укажите число корней уравнения (2^x^2-32)* корень из (3-х)=0.


    Решение: 1
    1/5*5^2x+5*2^x-250=0
    5^x=a
    a²+25a-1250=0
    a1+a2=-25 U a1*a2=-1250
    a1=-50⇒5^x=-50 нет решения
    a2=25⇒5^x=25⇒x=2
    2
    ОДЗ
    3-x≥0⇒x≤3
    x∈(-∞;3]
    2^x²-32=0
    2^x²=32
    x²=5
    x=-√5
    x=√5
    3-x=0
    x=3
    Ответ x={-√5;√5;3}

    1)
    5^(2x-1) +5^(x+1) =250
    5^2x * 5^(-1) +5^x *5^1 =250
    1/5 * 5^2x

  • 1)Решить уравнение:а) 2sin x-√3=0;
    б) сtg x/3-1=0;
    в) сos(2x-Pi/3)=-1.
    2)Определите число корней уравнения: √3 tg 2x+3=0, принадлежащих отрезку[Pi/3; 3Pi/2].


    Решение: А) 2sinx-sqrt{3}=0 <=> 2sinx=sqrt{3} | :2 (доделим на 2) <=> sinx=sqrt{3}/2 <=> x=(-1)^k*arcsin{3}/2+pi*k, k£z <=> x=(-1)^k*pi/3+pi*k, k£Z.б) ctgx/3-1=0 <+> ctgx/3=1 <=> x/3=arcctg1+pi*k, k£Z <=> x/3=pi/4+pi*k |•3 (домножили на 3) <=> х=3pi/4+3pi*k, k£Z.в) cos(2x-pi/3)=-1 <=> 2x-pi/3=pi+2pi*k, k£Z <=> 2x=pi/3+pi+2pi*k <=> 2x=4pi/3+2pi*k | : 2 <=> x=2pi/3+pi*k, k£Z.г) sqrt{3}tg2x+3=0 <=> sqrt{3}2x=-3 | : sqrt{3} (доделили на sqrt{3}) <=> tg2x=-3/sqrt{3}=-sqrt{3} (избавились от иррациональности домножив числитель и знаменатель на sqrt{3});tg2x=-sqrt{3} <=> 2x=arctg-sqrt{3}+pi*k, k£z <=> 2x=-arctg sqrt{3}+pi*k <=> 2x=-pi/3+pi*k | : 2 <=> x=-pi/6+pi*k/2, k£Z.И так, проверяем углы, нарисовав единичную окружность.Подставляем значения относительно k в промежутке [pi/3; 3pi/2]:1) при k=0: -pi/6+0=-pi/6 - не подходит;2) при k=1: -pi/6+pi/2=2pi/6=pi/3 - подходит;Далее мы будем писать только положительные значения k, так как у нас промежуток положительных углов;3) при k=2: -pi/6+pi=5pi/6=150° - подходит;4) при k=3; -pi/6+3pi/2=8pi/6=4pi/3=240° - подходит. И, кстати, угол 240° равен углу 60° то есть для тангенса tg240°=tg(180°+60°)=tg60°. Ты потом увидите зачем нам это.5) при k=4: -pi/6+12pi/6=11pi/6=330° - не подходит.И так, что у нас вышло. Мы облучили три угла. Но мы знаем, что углы в положительных четвертях для тангенса - одинаковы. То есть если у нас есть какие-то углы в первой или третей четвертях, то мы в ответ ещё и записываем симметричные им в другой положительной четверти, но тут у нас из трёх имеющихся есть два угла в положительных четвертях, и мы узнали, что они одинаковы, значит у нас нету дополнительных углов для них, они и есть противоположные.Ответ можно записать несколькими способами:1) х=-pi/6+pi*k/2, k£Z.Но нам нужны углы в промежутке [pi/3; 3pi/2], то есть {pi/3+pi*k; 5pi/6+2pi*k} - эти углы лежат в промежутке [pi/3; 3pi/2], и их три.Ответ: три.

  • Найдите число корней уравнения \( (sin\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})(tgx - 4)=0 \), принадлежащих промежутку (-п;3п/2)


    Решение: А) Решением уравнения будет:
    sin(x/2)=-√2/2, либо tgx=4, откуда
    1) x/2=-π/4+2πn, n€Z
    2) x/2=(π+π/4)+2πm, m€Z
    3) x=arctg4+πk, k€Z
    Корнями будут являться:
    x1=-π/2+4πn, n€Z
    x2=5π/2+4πm, m€Z
    x3=arctg4+πk, k€Z.
    б) x€(-π;3π/2)
    1) x1.
    -π<-π/2+4πn<3π/2
    -π/2<4πn<2π
    -1/8n=0
    x=-π/2
    2) x2.
    -π<5π/2+4πm<3π/2
    -7π/2<4πm<-π
    -7/83) x3.
    С помощью единичной окружности отберем корни:
    x=-3π/2-arctg4
    x=arctg4
    x=3π/2-arctg4
    (вроде так)

  • Постройте эскиз графика функции \( f(x)= \frac{1}{9} x^{3}- x^{2} \)
    Используя его, определите число корней уравнения \( f(x)=-1 \)


    Решение: 1) f’(x)=(1/3)x²-2x
    2) f’(x)=0, (1/3)x²-2x=0, x²-6x=0, x(x-6)=0, x1=0, x2=6, критические точки
    3)x∈(-∞; 0)∪(6;+∞), f’(x)>0, f(x)↑, функция возрастает, т.к. поизводная положительна
      x∈(0; 6), f’(x)<0, f(x)↓, убывает, т.к. производная отрицательна на этом промежутке
    4) x=0, x - max, f(0)=0
      x=6, x- min, f(6)=(1/9)*6³-6²=6²((1/9)*6-1)=36*(2/3-1)=36*(-1/3)=-12
    Из графика видно, что уравнение (1/9)х³-х²=-1 имеет три корня
     f x x - x f x x - x x - x x x- x x критические точки x - f x f x функция возрастает т.к. поизводная положительна  x f x...

  • Определите число корней уравнения x(Во второй степени)= 4x + 3


    Решение: число корней уравнения определяется в зависимости от дискриминанта (D). Если D>0 -2 решения уравнения. Если D=0 - одно решение. D<0 - нет решений. в данном случае, x^2=4x+3, x^2-4x-3=0

    D=4^2-4*(-3)*1= 16+12=28. D>0, значит, уранение имеет 2 решения

    x^=4x+3

    x^-4x-3=0

    D=b^-4ac=(-4)^-4*1*(-3)=16+12=28

    x1=4+корень из 28:2=2+корень из 28

    x2=4-корень из 28:2=2-корень из 28

  • Определите число корней уравнения x в степени -2=4x+3. Ответ обоснуйте.


    Решение: x^2-2=4x+3

    x^2-4x-2-3=0

    x^2-4x-5=0

    D= 4^2-4*1*(-5)= 16+20=36=6

    x1=(-4-6)/2=-5

    x2=(-4+6)/2=1

    x^(-2)=4x+3

    x^(-2)=1/x^2

    1/x^2=4x+3|x^2

    1=4x^3+3x^2

    4x^3+3x^2-1=0 - кубическое ур-е

    Степень указывает на максимальное число корней, поэтому в этом уравнении корней будет не больше 3. (от 0 до 3).

    Ответ: не больше 3

<< < 12 3 > >>