решение уравнений »

число корней уравнения - страница 3

  • Для каждого значения параметра a определите количество корней уравнения ax^2+(a+1)^2*x+a+2=0; *вторая степень 2


    Решение: 1)При а=0 уравнение линейное и имеет вид:
    х+2=0
    х=-2 один корень
    2) При а≠0
    Найдем дискриминант квадратного уравнения
    D=((a+1)²)²-4a(a+2)=(a²+2a+1)²-4(a²+2a)=(a²+2a)²+2(a²+2a)+1-4(a²+2a)=
    =(a²+2a)²-2(a²+2a)²+1=(a²+2a-1)²

    При D=0 уравнение имеет один корень
    a²+2a-1=0
    a₁=(-2-√8)/2=-1-√2  или      a₂=(-2+√8)/2=-1+√2

    При D>0, т. е. при  a₁≠ -1-√2  или  a₂≠ -1+√2   уравнение имеет два корня
    Ответ.  при а=0; a=-1-√2 ; a=-1+√2  уравнение имеет один корень
       при а∈(-∞;-1-√2 )U(-1-√2;0)U(0;-1+√2)U(-1+√2;+∞)  уравнение имеет два корня.



  • Найти все значения \(\alpha\), при каждом из которых уравнение \( \alpha^2 +8|x-5| +2\sqrt{x^2-10x+29}=2\alpha +|x-2\alpha-5| \) имеет хотя бы один корень


    Решение: x-5>=0

    x>=5

    x-2a-5>=0

    x>=2a+5

    a^2+8x-40+ 2\sqrt(x^2-10x+29)=x-5

    2\sqrt(x^2-10x+29)=x-5-a^2-8x+40

    2\sqrt(x^2-10x+29)=-7x+35+a^2

    4(x^2-10x+29)=(-7x+35)^2+2a^2*(-7x+35)+a^4

    4x^2-40x+116=49x^2-490x+1225-14a^2x+70a^2+a^4

    45x^2-(450+14a^2)x+1109+70a^2+a^4=0

    D=(450+14a^2)^2-4*45*(1109+70a^2+a^4)=202500+12600a^2+196a^4-199620-12600a^2-180a^4=16a^4-2880

    условие одного корня 16a^4=2880 a^4=180 a=root(180,4) a=-root(180,4)

    x=(450+\sqrt(180)*180)/90=50+2\sqrt(180) удовлетворяет ОДЗ

    второй случай

    x-5<0

    x<5

    x-2a-5<0

    x<2a+5

    a^2-8x+40+2\sqrt(x^2-10x+29)=-x+4a+5

    2\sqrt(x^2-10x+29)=9x+4a-a^2-35

    4(x^2-10x+29)=81x^2+18x(4a-a^2-35)+(4a-a^2-35)^2

    4x^2-40x+116=81x^2+72a x -18a^2x -630+(4a-a^2)^2-70(4a-a^2)+1225

    4x^2-40x+116=81x^2+(72a-18a^2)x-630+16a^2-8a^3+a^4-70(4a-a^2)+1225

    77x^2+(72a-18a^2+40)x +(595+16a^2-8a^3+a^4-280a+70a^4)=0

    D=(72a-18a^2+40)^2-4*77*(595+16a^2-8a^3+a^4-280a+70a^4)=

    (72a-18a^2)^2+80(72a-18a^2)+1600-183260-4928a^2+2464a^3-308a^4+86240a-21560a^4=

    5184a^2-2592a^3+324a^4+5760a-1440a^2+1600-183260-4928a^2+2464a^3-308a^4+86240a-21560a^4=-1184a^2-128a^3-21544a^4-181660=0 - и остается еще два случая для модуля с такими же уравнениями четвертой степени

  • Постройте эскиз графика функции
    \( f(x)= \frac{1}{9} x^{3}- x^{2} \)
    Используя его, определите число корней уравнения \( f(x)=-1 \)


    Решение: 1) f’(x)=(1/3)x²-2x
    2) f’(x)=0, (1/3)x²-2x=0, x²-6x=0, x(x-6)=0, x1=0, x2=6, критические точки
    3)x∈(-∞; 0)∪(6;+∞), f’(x)>0, f(x)↑, функция возрастает, т. к. поизводная положительна
      x∈(0; 6), f’(x)<0, f(x)↓, убывает, т. к. производная отрицательна на этом промежутке
    4) x=0, x - max, f(0)=0
      x=6, x- min, f(6)=(1/9)*6³-6²=6²((1/9)*6-1)=36*(2/3-1)=36*(-1/3)=-12
    Из графика видно, что уравнение (1/9) х³-х²=-1 имеет три корня

  • В2. функция y=f(x) задана графиком. Найдите число корней уравнения f(x)=2.


    Решение: 3 корня уравнения, т. к. график пересекает нужное значение функции (y=2) 3 раза. (То есть линия находится на оси y=2 три раза)
<< < 123