корни » действительные корни
  • Разложить многочлен (x³+4х²+4х) на простейшие действительные множители. Варианты ответов: а)х(х+2)²; б)х(х+2)(х+4); в)(х(х+4)+4)х; г)х(х²+4(х+1)); д)х(х²+4х+4)
    2. Какой из многочленов имеет действительные корни, равные (-1) и (-2) и два сопряженных комплексных корня i и (-i)?
    Варианты ответов: а)(х²+х-2)(х²+1); б)(х+1)(х²-4)(х²+1); в)(х+1)(х+2)²(х²+1); г)(х+1)(х-2)²(х+i)(x-i); д)(х-1)(х+2)²(х-i)²


    Решение: X^3 + 4x^2 + 4x  =  x(x^2 + 4x + 4)  =  x(x + 2)^2
    Ответ.  а
    №  2
    Ответ.  в)  (х  +  1)(x  +  2)^2(x^2  +  1)
    (x +1)(x +2)^2(x^2 + 1)  =  0
    1)  x +1 = 0 ---->  x_1  =  -1
    2)  (x +2)^2 = 0  ---->  x + 2 = 0  ---->  x_2  =  -2
    3)x^2 + 1 = 0 ---->  x^2  =  -1  ----> x_3  =  -i, x_4  =  i 

    1. x^3+4x^2+4x = x(x^2+4x+4) = x(x+2)^2
    2. Ответ  - в  - (х+1)(х+2)^2(x^2+1)
    первые два сомножителя имеют корни-1 и -2
    корни третьего ч квадрат + 1 равны i и (-i).

  • Найдите действительные корни многочлена x^5+3x^4-3x^3-x^2-3x+3


    Решение: Действительные корни многочлена находятся среди делителей свободного члена, т.е. 3 это числа 1: -1 : 3 : -3
    подставляете их в данное уравнение и если это число обращает выражение в ноль, то оно и является действительным корнем

    $$ x^{5} +3 x^{4}-3 x^{3}- x^{2} -3x+3=\\= x^{2} ( x^{3}-1)+3 x^{3}(x-1)-3(x-1)=\\= x^{2} ( x^{3}-1)+3(x-1)( x^{3}-1 )=\\=( x^{2} +3x-3)( x^{3}-1 ) $$
    1 решение: x1=1
    2 и 3 решение : 
     x^{2} +3x-3=0
    $$ D= 3^{2} -4*1*(-3)=21 $$
    $$ x_{2}= \frac{-3+ \sqrt{21} }{2} $$
     $$ x_{3}= \frac{-3- \sqrt{21} }{2} $$

  • Найти действительные корниx^2 (3x+1)-(x^2+1)^2=3


    Решение: $$ x^2(3x+1)-(x^2+1)^2=3 $$
    $$ x^2(3x+1)-(x^2+1)^2-3=0 $$
    Раскрываем скобки
    $$ x^2(3x+1)-(x^4+2x^2+1)-3=0 \\ 3x^3+x^2-x^4-2x^2-1-3=0 \\ x^4-3x^3+x^2+4=0 $$
    Разложим  одночлены в сумму нескольких
    $$ x^4-2x^3-x^3+2x^2-x^2+2x-2x+4=0 $$
    $$ x^3(x-2)-x^2(x-2)-x(x-2)-2(x-2)=0 \\ (x-2)(x^3-x^2-x-2)=0 $$
    Каждое произведение равно нулю
    $$ x-2=0 \\ x=2 $$
    $$ x^3-x^2-x-2=0 \\ x^3-2x^2+x^2-2x+x-2=0 \\ x^2(x-2)+x(x-2)+(x-2)=0 \\ (x-2)(x^2+x+1)=0 $$
    $$ x-2=0 \\ x=2 $$
    $$ x^2+x+1=0 \\ D=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot1=-3 \\ D<0 $$

    Ответ: 2.

    X^2 (3x+1)-(x^2+1)^2=3
    x^2 (3x+1)-(x^2+1)^2-3=0
    3x³+x²-x^4-2x²-1-3=0
    x^4-3x³+x²+4=0
    Корнем может быть делитель свободного члена 4:+-1;+-2;+-4
    Проверим 2: 16-24+4+4=0
    x^4-3x³+x²+4 /х-2
    x^4-2x³  x³-x²-x-2  / x-2
    _______  x³-2x²  x²+x+1
       -x³+x²  ______
       -x³+2x²  x²-x
       ________  x²-2x
       -x²+4  _____
       -x²+2x  x-2
       ________  x-2
       -2x+4  _____ 
       -2x+4  0
       ______
       0
    (x-2)²(x²+x+1)=0
    x=2
    x²+x+1=0
    D=1-4=-3<0-нет решения
    Ответ х=2

  • Найти все действительные корни:

    $$ 2x^{4}+3x^{3}-8x^{2}-9x+6=0 $$


    Решение: Можно данное уравнение решить по схеме Горнера (упростив до квадратного и найти корни через дискриминант) или же разложив на:

    (x+2)(2x-1)(x^2-3)=0

    Отсюда корни легко находятся

    2x^4+3x^3-8x^2-9x+6=0

    это симметричное ур-ие, но я решу по-другому

    сгруппирую и разложу на множители

    (x+2)(2x-1)(x^2-3)=0

    3 случая:

    x+2=0

    x=-2

    2x-1=0

    2x=1

    x=1/2

    x^2-3=0

    x^2=3

    x=±√3

    ОТВЕТ: -2; 1/2; -√3; √3

  • При каких значениях параметра b уравнение 5(b+4)x^2-10x+b=0 имеет действительные корни одного знака?


    Решение: $$ 5(b+4)x^2-10x+b=0, \\ D_1=(-5)^2-5(b+4)b=25-5b^2-20b, \\ D \geq 0, \ -5b^2-20b+25 \geq 0, \\ b^2+4b-5 \leq 0, \\ b_1=-5, \ b_2=1, \\ (b+5)(b-1) \leq 0, \\ -5 \leq b \leq 1; \\ x=\frac{5\pm\sqrt{-5b^2-20b+25}}{5(b+4)}, \\ b+4 eq 0, \ b eq -4; $$
    $$ \left [ {{ \left \{ {{5-\sqrt{-5b^2-20b+25}<0,} \atop {5+\sqrt{-5b^2-20b+25}<0,}} \right. } \atop { \left \{ {{5-\sqrt{-5b^2-20b+25}>0,} \atop {5+\sqrt{-5b^2-20b+25}>0;}} \right. }} \right. \left [ {{ \left \{ {{\sqrt{-5b^2-20b+25}>5,} \atop {\sqrt{-5b^2-20b+25}<-5,}} \right. } \atop { \left \{ {{\sqrt{-5b^2-20b+25}<5,} \atop {\sqrt{-5b^2-20b+25}>-5;}} \right. }} \right. $$
    $$ \left [ {{ \left \{ {{-5b^2-20b+25>25,} \atop {b\in\varnothing,}} \right. } \atop { \left \{ {{-5b^2-20b+25<25,} \atop {-5b^2-20b+25\geq0;}} \right. }} \right. \left [ {{ b\in\varnothing,} \atop { \left \{ {{-5b^2-20b<0,} \atop {b^2+4b-5\leq 0;}} \right. }} \right. \left \{ {{(b+4)b>0,} \atop {(b+5)(b-1)\leq0;}} \right. \left \{ {{ \left[ {{b<-4,} \atop {b>0,}} \right. } \atop {-5 \leq b \leq 1;}} \right. $$
    $$ \left[ {{-5\leq b<-4,} \atop {0\ < \ b \leq 1.}} \right. \\ b\in[-5;-4)\cup(0;1] $$

  • При каких значения параметра а уравнение (a-3)x^2-4x-2a=0 имеет:а) действительные корни
    б) действительные корни одного знака
    в) действительные корни разных знаков


    Решение: А)
    1)a=3
    -4x-6=0
    -4x=6
    x=-1,5
    2)a≠3
    D=16+8a(a-3)=16+8a²-24a≥0
    a²-3a+2≥0
    a1+a2=3 U a1*a2=2⇒a1=1 U a2=2
    a∈(-∞;1) U [2;∞)
    б)
    1)x1+x2>0 U x1*x2>0
    x1+x2=4/(a-3) U x1*x2=-2a/(a-3)
    4/(a-3)>0⇒a-3>0⇒a>3
    -2a/(a-3)>0⇒2a/(a-3)<0
    a=0  a=3
    0<a<3
    нет решения
    2)x1+x2<0 U x1*x2>0
    a<3 u 0<a<3
    a∈(0;1) U [2;3)
    в)x1*x2<0
    -2a/(a-3)<0
    2a/(a-3)>0
    a<0 U a>3
    a⇒(-∞;0) U (3;∞)

  • (10х-4)(3х+2)= 0; корень 8 * корень 5 * корень 10; х^3=81, указать число действительных корней


    Решение: 1)(10x-4)(3x+2)=0

    10x-4=0

    x=2/5

    3x+2=0

    x=-2/3

    2)

    √8*√5*√10=√40*10=20

    3)

    x^3=81

    x=log(3)81 один

    1)10х-4=0 3х+2=0

    х=0,4 х=-2/3 

    2)корень8* корень5*корень10=корень 400=20.

    3)

    х"3=81

    один действительный корень.