неравенства » неравенство с модулем
  • Неравенство с модулем: $$ 3|x+3|+|x-10|-35 > 0 $$


    Решение: Упростим наше неравенство, удобно сделать замену
     $$ x+3=t $$ , получаем 
    $$ 3|t|+|t-13|-35>0 $$ , его легче решить 
     $$ t \geq 0 \\ t \geq 13 $$ 
    Решаем на интервале $$ (-oo;0) $$ 
     $$ -3t+13-t-35[tex]x+3<-5.5 \\ x<-8.5 \\ x+3>11 \\ x>8 \\ (-\infty;-8.5) \cup (8;+\infty) $$>0 \\ -4t-22>0 \\ -4t>22 \\ t<-5.5 \\ t\in(-\infty;-5.5) $$
     Решение на этом интервале 
    $$ \left \{ {{t<0} \atop {t<-5.5}} \\ \right. = > \\ t \in (-\infty;-5.5) $$
    На интервале $$ (0;13) $$ 
    $$ 3t+13-t-35>0 \\ 2t-22>0 \\ t>11 \\ t \in (11;13) \\ $$
    На интервале $$ [13;\infty) $$ 
     $$ [13;+\infty) $$
     Но второе и третье неравенства мы можем объединить как 
     $$ (11;+\infty) $$
     и того $$ (-\infty;-5.5) \cup (11;+\infty) $$
      замена $$ x+3 < -5.5 \\ x+3>11 \\ (-\infty;-5.5) \cup (8;+\infty) $$

  • Неравенство с модулем2|x|<4+|x+1|


    Решение: Значения х обращающие модули в 0 х=0 и х=-1
    рассмотрим следующие интервалы
    1) при х<-1
    /x/=-x, /x+1/=-x-1
    -2x<4-x-1
    2x-x>-4+1
    x>-3
    ⇒x∈(-3,-1) (1)
    2) при -1 ≤х≤ 0
    /x/=-x, /x-1/=x+1
    -2x<4+x+1
    2x+x>-4-1
    x>-5
    ⇒x∈[-1,0] (2)
    3) при х>0
    /x/=x, /x+1/=x+1
    2x<4+x+1
    2x-x<5
    x<5
    ⇒x∈(0,5) (3)
    из (1), (2), (3) ⇒ x∈(-3,5)

  • Неравенство с модулем: $$ |\frac{2x - 1}{x - 2}| > 2 $$


    Решение: |(2x-1)/(x-2)|>2
    Раскрываем модуль по определению
    При (2x-1)/(x-2) >=0  |(2x-1)/(x-2)| = (2x-1)/(x-2)
    По методу интервалов найдем  решение неравенства (2x-1)/(x-2) >=0
    2x-1 =0  x-2 =/=0
    x =0,5  x =/=2
    На числовой прямой отобразим знаки левой части неравенства
      + 0 - 0 +
    ---------!---------!--------
       0,5  2
    Поэтому неравенство (2x-1)/(x-2) >=0 истинно для всех значений
    х принадлежащих (-бескон;0,5]U(2;+бесконечн)
    Раскрываем модуль при условии, что (2x-1)/(x-2) >=0
    (2x-1)/(x-2) > 2
    (2x-1)/(x-2) -2(x-2)/(x-2) >0
    (2x-1-2x+4)/(x-2) >0
    3/(x-2) >0
    x-2 >0
    x > 2
    Поэтому неравенство истинно для всех значений
    х принадлежащих (2;+бесконеч)
    Решение лежит в предварительно выбранной области.

    При (2x-1)/(x-2) < 0  |(2x-1)/(x-2)| = - (2x-1)/(x-2)
    Неравенство (2x-1)/(x-2) < 0 истинно
    при всех значениях х принадлежащих  [0,5;2)
    Раскрываем модуль при условии, что (2x-1)/(x-2) < 0
    -(2x-1)/(x-2) > 2
    (1-2x)/(x-2) - 2(x-2)/(x-2) >0
    (1-2x - 2x +4)/(x-2) >0
    (5-4x)/(x-2) >0
    По методу интервалов найдем  решение неравенства (5-4x)/(x-2) >=0
    5x-4 =0  x-2 =/=0
    x =1,25  x =/=2
    На числовой прямой отобразим знаки левой части неравенства
      - 0 + 0 -
    ---------!---------!--------
       1,25  2
    Поэтому неравенство -(2x-1)/(x-2) < 2 истинно для всех значений
    х принадлежащих (1,25;2)
    Решение лежит в предварительно выбранной области.
    Окончательно объединим две области решений получим, что
    неравенство |(2x-1)/(x-2)|>2
    истинно для всех значений х принадлежащих (1,25;2)U(2;+бесконеч) 
    Ответ:(1,25;2)U(2;+бесконеч)

  • Решить неравенство с модулем: lx-3l>lx^2-3l


    Решение: найдем критические точки

    x=3

    $$ x=\sqrt{3} $$

    $$ x=-\sqrt{3} $$

    1) $$ x < -\sqrt{3} $$

    3-x>x^2-3  x^2+x-6<0   (x+3)(x-2)<0   ]-3;2[

    $$ ]-3;-\sqrt{3}] $$

    2)$$ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $$

    3-x>3-x^2  x^2-x>0   x(x-1)>0   ]-~;0[U]1;~[

    $$ ]-\sqrt{3};0[U]1;\sqrt{3}] $$

    3)$$ \sqrt{3} < x < 3 $$

    3-x>x^2-3

    ]-3;2[   

    $$ [\sqrt{3};2[ $$

    4) x>3

    x-3>x^2-3  x^2-x<0  x(x-1)<0  ]0;1[

    ]-3;0[U]1;2[

  • Решить неравенство с модулем: |-x^2-x|>=4x-2 (нужно полное решение)


    Решение:

    $$ \left \{ {{-x^{2}-x >=4x-2}\atop{ -x^{2}- x<=-4x+2}} \right. \\ \left \{ {{- x^{2} -5x+2>=0} \atop { -x^{2}+3 x-2<=0}} \right. $$
    1)-x^{2}-5x+2>=0
    D=25-4*(-1)*2=33
    $$x_1= \frac{5+ \sqrt{33} }{-2} \\ x_1= \frac{5- \sqrt{33} }{-2} \\ x[\frac{5+ \sqrt{33} }{-2} \\ \frac{5- \sqrt{33} }{-2} ]$$
    2)-x^{2}+3 x-2<=0
    D=9-4*(-1)*(-2)=1
    x1=2
    x2=-1
    x(-бесконечность;-1][2;бесконечность)
    Ответ:$$ x[ \frac{5+ \sqrt{33} }{-2} ;-1] $$

  • Решите неравенство с модулем: |x^2+7x|<=4x+10 нужно полное решение


    Решение: Так как модуль, то получаем систему неравенств:
    х^2+7x<=4x+10
    -(x^2+7x)<=4x+10
    Решая оба квадратных уравнения получаем следующий вид систему неравенств:
    (х+5)(х-2)<=0
    (x+10)(x+1)<=0
    Из первого неравенства получаем ответ [-5;2]
    Из второго неравенства получаем ответ  [-10;-1]
    При совмещении двух промежутков получаем конечный ответ:  [-5;1]

  • Решите неравенство с модулем: ||361-х²| - |х²+35х+304|| - 19 * |х+19| ≥ 0


    Решение: Общая схема решения неравенств с модулем:
    1. найти корни выражений под модулем
    в нашем случае три корня, следовательно нужно рассмотреть четыре промежутка
    2. на каждом промежутке по определению раскрыть модули и
    найти пересечение решений получившегося неравенства и данного промежутка
    ответом будет объединение решений на всех промежутках.

    Общая схема решения неравенств с модулем . найти корни выражений под модулемв нашем случае три корня следовательно нужно рассмотреть четыре промежутка . на каждом промежутке...
  • Решите неравенство с модулем. |2x-5|/x^2-16>=0


    Решение: |2x-5|/[(x-4)(x+4)]≥0
    1)x<2,5
    (5-2x)/[(x-4)(x+4)≥0
    x=2,5  x=4  x=-4
       +  _  +  _
    -------------(-4)-------------[2,5]----------(4)---------------------
    x<-4 U 2,5≤x<4
    x∈(-∞;-4)
    2)x≥2,5
    (2x-5)/[(x-4)(x+4)≥0
       _  +  _  +
    -------------(-4)-------------[2,5]----------(4)---------------------
    -44
    x=2,5 U x∈(4;∞)
    Ответ x∈(-∞;-4) U (4;∞) U {2,5}

  • Решить неравенство с модулем. 3|x-1|+x^2-7>0
    2|x|<=4+|x+1|


    Решение: Что делает модуль? например |x|. если x≥0, то |x|=x, а если x<0, то |x|=-x.
    так и решаем.
    3|x-1|+x²-7>0
    1.  x-1<0 или x<1
    -3(x-1)+x²-7>0
    -3x+3+x²-7>0
    x²-3x-4>0
    D=3²+4*4=9+16=25
    √D=5
    x₁=(3-5)/2=1
    x₂=(3+5)/2=4
    x²-3x-4=(x-1)(x-4)>0
       +  -  +
    -------------------------------------------------
    -∞  1  4  +∞
    x∈(-∞;1)∪(4;+∞)
    и x<1
    получаем x∈(-∞;1)
    2.  x-1≥0 или x≥1
    3(x-1)+x²-7>0
    3х-3+x²-7>0
    x²+3х-10>0
    D=3²+4*10=49
    √D=7
    x₁=(-3-10)/2=-6,5
    x₂=(-3+10)=3,5
    3²+4*10=(x+6,5)(x-3,5)>0

       +  -  +
    -------------------------------------------------
    -∞  -6,5  3,5  +∞

    x∈(-∞;-6,5)∪(3,5;+∞)
    и x≥1
    x∈(3,5;+∞)

    Ответ: x∈(-∞;1)∪(3,5;+∞)

    2|x|<=4+|x+1|
    тут придется разбивать уже на 3 интервала
    x<0 и  x+1<0 (x<-1)

    1. x<-1  тогда |x|=-x и |x+1|=-(x+1)
    -2x≤4-(x+1)
    -2x≤4-x-1
    -x≤3
    x≥-3
    x∈[-3;-1)

    2. -1≤x<0 тогда |x|=-x и |x+1|=x+1
    -2x≤4+x+1
    -3x≤5
    x≥-5/3=-1 2/3
    x∈[-1;0)

    3. x≥0 тогда |x|=x и |x+1|=x+1
    2x≤4+x+1
    x≤5
    x∈[0;5]

    мы получили x∈[-3;-1)∪ [-1;0)∪x∈[0;5] или x∈[-3;5]

    Ответ: x∈[-3;5






  • Решить неравенство с модулем: 2*|x+1|>x+4
    2*|x|<=4+|x+1|


    Решение: 2*|x+1| > x+4 .⇔[ 2(x+1) < -(x+4) ;  2(x+1) > (x+4).⇔[ x<-2 ; x >2.

    ответ : x∈(-∞ ;-2) U (2 ;∞) .
    -------
    2|x| 
    ≤ 4+|x+1| ;
    |x+1| -2|x| +4 ≥0 .
    ---
    а)
     { x∈(-∞ ; -1) ; -(x+1) +2x +4 ≥0 .⇒ { x∈(-∞ ; -1) ; x ≥ -3 .
    x
    ∈[ -3;-1) .
    ---
    б)
      { x∈[-1;0) ;(x+1) +2x +4 ≥0 .⇒ { x∈[-1;0) ; x ≥ -5/3 .
     x∈[-1;0) .
    ---
    в)
     { x∈[0 ;∞) ;(x+1) -2x +4 ≥0 .⇒ { x∈[0 ;∞) ; x ≤ 5 .
     x∈[0; 5] .

    x∈ [ -3;-1) ∪ [-1; 0)  ∪[ 0 ;5] ⇔x∈ [ -3; 5] .

    ответ : x∈ [ -3; 5] .

1 2 > >>