неравенства »

решите неравенство под корнем

  • Решить неравенство: под корнем(4x^2-16x+12) + под корнем(8x-2x^2-6) меньше 2x-2


    Решение: Вариант 1 $$ \sqrt{4x^2-16x+12} + \sqrt{8x-2x^2-6}< 2x-2; $$
    $$ \sqrt{4( x-1)( x-3)} + \sqrt{-2( x-1)( x-3)}< 2x-2; $$
    ОДЗ:   $$ 2x-2 \geq 0; x\in [1;\infty); $$  
      $$ -2( x-1)( x-3)\geq0;x\in [1;3] $$
      $$ 4( x-1)( x-3)\geq0;x\in (-\infty;1]\cup [3;\infty); $$
     Получаем в ОДЗ входит только одно число х=1
    Подставим х=1: 0+0<0, число х=1 не явл корнем
      Ответ корней нет

    Вариант решения 2Вариант sqrt x - x sqrt x- x - x- sqrt x- x- sqrt - x- x- x- ОДЗ     x- geq x in infty     - x- x- geq x in   x- x- geq x in - infty cup infty  Получаем в ОДЗ входит только...

  • (√x+3)<(√x-1+√x-2) цифры и (+-) все под корнем, нужно решить неравенство


    Решение: ОДЗ х>=2
    (√(x+3)) <(√(x-1)+√(x-2))
    (√(x+3)) >=0 и (√(x-1)+√(x-2)) >=0  
    значит можно возвести в квадрат
    (√(x+3)) ^2<(√(x-1)+√(x-2))^2
    (x+3)<((x-1)+(x-2)+2√((x-1)(x-2)))
    (6-x)<(2√((x-1)(x-2)))
    1) если 6-x < 0 то неравенство верно при всех одз
    6-x < 0 и х>=2 => х>6
    2) если 6-x >= 0 то неравенство можно возвести в квадрат
    (6-x)^2<(2√((x-1)(x-2)))^2
    36-12х+x^2<(4(x^2-3х+2))
    28<3x^2
    /х/ > корень(28/3)~ 3,055050463
    6-x >= 0 и /х/ > корень(28/3) и х>=2 => корень(28/3)< х <=6
    объединяем 2 ответа и получаем
    ответ х > корень(28/3)

  • Решите неравенство методом равносильных преобразований (x-1)·√x²+1≤x²-1 (x²+1-полностью под корнем)


    Решение: $$ (x-1) \sqrt{ x^{2} +1} \leq (x-1)(x+1) \\ x^{2} +1 \geq 0=> x \in R \\ (x-1) (\sqrt{ x^{2} +1}-x-1) \leq 0 \\ x-1 \geq 0=>x \geq 1 \\ \sqrt{ x^{2} +1} ^2 \geq (x+1)^2 \\ x^{2} +1 \geq x^{2} +2x+1 \\ 2x \leq 0 \\ x \leq 0 \\ \\ =>x\in (- \infty;0] \cup [1;+\infty) $$

    x- sqrt x leq x- x x geq x in R x- sqrt x -x- leq x- geq x geq sqrt x geq x x geq x x x leq x leq x in - infty cup infty...

  • решите неравенство √x²-3x-10<8-x

    √x²-3x-10-всё под корнем


    Решение: Поскольку  Х² - 3 * Х - 10 = (Х + 2) * (Х - 5), то область определения

    Х ∈ ( - ∞ ; -2] ∨ [ 5 ; =  )

    При  Х > 8 неравенство не выполняется, так как левая часть положительна, а правая отрицательна. При Х < 8 обе части можно возвести в квадрат

    Х² - 3 * Х - 10 < (8 - X)² = X² - 16 * X + 64

    13 * X < 74

    X < 74 / 13

    Итак  Х ∈ ( - ∞ ; -2 ] ∨ [ 5 ; 74/13 )

    $$ \\\sqrt{x^2-3x-10}<8-x\\ x^2-3x-10\geq0 \wedge 8-x\geq0\\ x^2+2x-5x-10\geq 0\wedge -x\geq -8\\ x(x+2)-5(x+2)\geq 0 \wedge x\leq 8\\ (x-5)(x+2)\geq 0 \wedge x\leq 8\\ x\in(-\infty,-2>\cup <5,\infty) \wedge x\leq 8\\ x\in(-\infty,-2>\cup <5,8>\\\\ x^2-3x-10<(8-x)^2\\ x^2-3x-10<64-16x+x^2\\ 13x<74\\ x<\frac{74}{13}\\\\ x\in(-\infty,-2>\cup <5,8> \wedge x<\frac{74}{13}\\ \underline{x\in(-\infty,-2>\cup <5,\frac{74}{13})} $$

  • Решить неравенство. √x^2 - 5x < √6 (x^2 - 5x полностью под корнем)


    Решение: Сначала область определения, под корнем неотрицательное.

    x^2-5*x>=0

    x*(x-5)>=0, методом интервала находим x<=0 и x>=5. Возводим обе части неравенства в квадрат. Так как считаем, что результат извлечения квадратного корня – число неотрицательное, то неравенство только усилится. Получаем:

    x^2-5*x-6<0

    Корни уравнения х1=-1, х2=6

    Также методом интервала получаем в качестве решения промежуток (-1;6). Су учётом найденной выше области определения получаем окончательный ответ: (-1;0] и [5;6)

1 2 > >>