неравенства »

найти решение системы неравенств

  • Найти наименьшее целое решение системы неравенств {х+5>0. 4х<-3


    Решение: Система {
    х+5>0. х>-5
    4х<-3 х<-3/4
    Решением системы явл (-5;-3/4)
    Меньшим целым числом этого промежутка является -4

    $$ \left \{ {{x+5 > 0} \atop {4x < -3}} \right. \\x+5 > 0\\x > -5\\4x < -3\\x < - \frac{3}{4} $$
      ------------------------------------------------
    ----------------|--------------------------------|---------------->
      -5 -3/4
    -------------------------------------------------

    x ∈ $$ (-5; \frac{3}{4} )\ $$
     промежутку принадлежат числа $$ -4;-3;-2 $$
    Ответ: наименьшим является число $$ -4 $$

  • Решить неравенство: 7-8(1-х)<5,4 Найти наибольшее целое решение системы : [x+12<15 [-2x<8 Заполнить многоточие в скобках 2x^2-5X-3=2-(x-3)(.....) Решить уравнение : 3 -------=x+2 x


    Решение:

    1) решить неравенство

    7-8(1-x)<5,4

    7-8+8x<5,4

    8x<5,4-7+8

    8x<6,4|:8

    x<0,8

    ответ:x<0,8

    2)найти наибольшее решение системы 

    {x+12<15. {x<3

    {-2x<8|-2 {x>-4

    наибольшим решением системы является x<3

    3)незнаю

    4) 3/x=x+2|*x

      3=(x+2)x

      3=x^2+ 2x

      -x^2-2x+3=0|:-1

      X^2+2x-3=0. a=1 b=2 k=1 c=-3

      D= k^2-ac= 1+3 =4 (под корнем)= 2

      X= -k+кореньD/a= -1+2/1= 1

      X= -1-2/1=-3

    Ответ: x= 1;-3

     

     

  • Найти сумму целых решений системы неравенств x^2-3x-18<=0
    9^x*25^x<=15^(X^2)-8


    Решение: $$ \begin{cases} x^2-3x-18 \leq 0 \\ 9^x*25^x \leq 15^{x^2-8} \end{cases} \\ \begin{cases} x^2-3x-18 \leq 0 \\ 3^{2x}*5^{2x} \leq 15^{x^2-8} \end{cases} \\ \\ \begin{cases} x^2-3x-18 \leq 0 15^{2x} \leq 15^{x^2-8} \end{cases} \\ \begin{cases} x^2-3x-18 \leq 0 \\ 2x \leq x^2-8 \end{cases} \\ \begin{cases} (x+3)(x-6) \leq 0 \\ (x+2)(x-4) \geq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x \in [-3;6] \\ x \in (-\infty;-2]\cup [4;+\infty) \end{cases} = > \boxed{x \in [-3;-2]\cup [4;6] } $$
    Целые решения: -3; -2; 4; 5; 6.
    Их сумма = 10

  • Найти середину промежутка, служащего решением системы неравенств. $$ \left\{ {\frac{x + 3}{5} - \frac{x - 2}{4}} < 1 \atop {5x + 8 < 38} \right. $$


    Решение: Первое неравенство подводим под общий знаменатель 20

    во втором постепенно находим

     х(4(х+3)-5(х-2))÷20<1;

    5х< 30   

    в первом-раскрываем скобки

    (4х+12-5х+10)÷<1;

    х<6

    первое           х>2

    во втором       х<6

    т.о. промежуток кот. является решением 2<х>6

    его середина (2+6)÷2=4

    Ответ:4

  • Найти сумму всех целых решений системы неравенств { корень из 11,5 - х меньше корня из 12 { корень из (х - 5) в квадрате больше или = 2


    Решение: $$ \left\{ {\sqrt{11,5-x} < \sqrt{12}} \atop {\sqrt{(x-5)^2} \geq 2} \right. \\ \left\{ { \left\{ {11,5-x < 12} \atop {11,5-x \geq 0} \right.} \atop {|x-5| \geq 2} \right. $$

    Первая система:
    $$ \left\{ {11,5-12 < x} \atop {11,5 \geq x} \right. \\ \left\{ {-0,5< x} \atop {11,5 \geq x} \right. \\ -0,5< x \leq 11,5 $$
    Совокупность уравнений:
    Первое:
    $$ x-5 \geq 2 \\ x \geq 7 \\ $$
    Второе:
    $$ x-5 \leq -2 \\ x \leq 3 $$

    $$ (-0,5;11,5] \cap ((- \infty;3] \cup [7;+ \infty)) = \\ =((-0,5;11,5] \cap (- \infty;3]) \cup ((-0,5;11,5] \cap [7;+ \infty)) = \\ =(-0,5;3] \cup [7;11,5] $$

    Целые корни: 0; 1; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 11

    Ответ: 51

  • x+3 /5 - x-2/4 меньше или равно 1 5х+8 меньше или равно 38 это одно неравенство(система) нужно найти середину промежутка, служащего решением системы неравенств


    Решение:

    $$ \begin{cases} \frac{x+3}{5}-\frac{x-2}{4}\leq1 \\ 5x+8\leq38 \end{cases} $$

    $$ \begin{cases} \frac{4(x+3)-5(x-2)-20}{20}\leq0 \\ 5x\leq30 \end{cases} $$

    $$ \begin{cases} 4x+12-5x+10-20\leq0\\x\leq6 \end{cases} $$

    $$ \begin{cases} -x+2\leq0\\x\leq6 \end{cases} $$

    $$ \begin{cases} x-2\geq0\\x\leq6 \end{cases} $$

    $$ \begin{cases} x\geq2\\x\leq6 \end{cases} $$

    Выпишем все целые решения системы: 2,3,4,5,6

    Ответ: 4

    begin cases frac x - frac x- leq x leq end cases begin cases frac x - x- - leq x leq end cases begin cases x - x - leq x leq end cases begin cases -x leq x leq end...

  • Найти длину интервала, задающего все решения СИСТЕМЫ неравенств $$ \left \{ {{-1<1-2x<2} \atop {(2\sqrt{2}-3)(5x-3)>0}} \right. $$


    Решение:

    Решаем первое двойное неравенство

    $$ -1 < 1-2x < 2 \\ \left\{ {{1-2x > -1} \atop {1-2x < 2}} \right. \\ 1-2x > -1 \\ -2x > -2 \\ x<1 \\ 1-2x<2 \\ -2x<1 \\ x>-0,5 $$

    Решаем второе неравенство.

    Важно обратить внимание на первую скобку, в ней нет аргумента, но нужно посмотреть, больше или меньше она нуля.

    внесем двойку и тройку под корни и увидим что √8-√9 <0 => (2√3-3)<0

    Теперь смело отметаем эту скобку, но при решении 5x-3 помним, что знак нужно будет поменять.

    $$ 5x-3<0\ 5x<3\ x<0,6 $$

    И так вышли решения:

    x<1; x>-0,5; x<0,6

    Объединяем их и получаем:

    $$ x \in (-0,5; \\ 0,6) $$

    Длинна интервала находится как разность правой и левой границы

    $$ 0,6-(-0,5)=1,1 $$

    Ответ: 1,1.

  • Решить систему неравенств с одной переменной: \( \left \{ {{\frac{1,4-x}{5}-\frac{0,6x}{3}<2,28} \atop {\frac{2x-1}{7}-1} > \frac{x}{3}} \right. \)


    Решение: $$ \left \{ {{\frac{1,4-x}{5}-\frac{0,6x}{3}<2,28} | \cdot 15 \atop {\frac{2x-1}{7}-1} > \frac{x}{3}| \cdot 21} \right. \\ \left \{ {{3(1,4-x)-5(0,6x)<2,28\cdot{15}} \atop {3(2x-1)-21>7x}} \right.\\\left \{ {{4,2-3x-3x<34,2} \atop {6x-3-21-7x>0}} \right.\\\left \{ {{-6x<30} \atop {-x>24}} \right.\\\left \{ {{x>-5} \atop {x<-24}} \right. $$

    Видим, что множество решений первого неравенства не пересекается с множеством решений второго неравенства, значит система не имеет решения. х принадлежит пустому множеству.

  • Найти все а, при каждом из которых система неравенств имеет 1 решение. Система объединяет 2 неравенства:
    (x-a)^2+y^2<=25a^2
    3x+4y<=12


    Решение: Первое неравенство - это круг, с центром в точке (a;0); R=5a
    Второе неравенство - это плоскость ограниченной прямой $$ 3x+4y-12 $$
    Прямая так же проходит через точки $$ (4;0)\ U \\ (0;3) $$. Можно сказать что радиус будет большим, так как уже известно, что по оси центр будет точка 0, а что бы сама система имела единственное решение, достаточно чтобы это прямая была касательной к окружности. То есть система неравенство переходит в систему уравнений.
    $$ \left \{ {{(x-a)^2+y^2=25a^2} \atop {3x+4y=12}} \right. \\ \left \{ {{(x-a)^2+(\frac{12-3x}{4})^2=25a^2} \atop {y=\frac{12-3x}{4}}} \right. \\ 25x^2-x(32a+72)-384a^2+144=0 \\ D=\sqrt{(32a+72)^2+100(384a^2-144)}=0 \\ a=-\frac{6}{11} $$
    То есть когда дискриминант равен 0, корень один 
    при a=-6/11
    $$ x=\frac{12}{11}; y=\frac{24}{11} $$