неравенства » найти сумму решений неравенства
  • 1) Сколько целых решений имеет неравенство: |3-x|<4

    2) Найти наибольшее натуральное решение неравенства: |3х-7|<5

    3) Сколько целых решений имеет неравенство: |x+2|≤3

    4) Сколько целых решений имеет неравенство: 2|x+3|≤|x-1|
    5) Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых решений нерваенства: |x-4|≤12


    Решение: 1) -4<3-x<4  -7<-x<1 -12) -53) -34) возведем в квадрат обе части неравенства: 4(х2+6х+9)<=х2-2х+1
    3х2+26+35=0  D/4=169-105=64 x=(-13+8)/3=-5/3 x=(-13-8)/3=-7,т.е. -7<=x<=-5/3,
    целые решения -7,-6,-5,-4,-3,-2
    5) -12<=x-4<=12,  -8<=x<=16 сумма решений -8+16=8

  • Найти сумму наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решений неравенств:

    (3^(2*x))*x^2+5*x-6 <= x^2+5*x*(3^(2*x))-2*(3^((2*x)+1))


    Решение: $$ (3^{2x})*x^2+5*x-6 \leq x^2+5*x*(3^{2x})-2*(3^{2*x+1}) $$
    $$ (3^{2x})*x^2+5*x-6 \leq x^2+5*x*(3^{2x})-2*3(3^{2*x}) $$
    $$ (3^{2x})*x^2+5*x-6 \leq x^2+5*x*(3^{2x})-6(3^{2*x}) $$
    $$ (3^{2x})(x^2-5*x+6) \leq (x^2-5*x+6) $$
    D=25-4*6=1
    x₁=(5-1)/2=2
    x₂=(5+1)/2=3
    $$ (3^{2x})(x-2)(x-3) \leq (x-2)(x-3) $$
    Если (x-2)(x-3)≥0, то х∈(-∞; 2]∨[3; +∞)
    $$ 3^{2x} \geq 1 $$
    2x≥0
    x≥0
    x∈(3; +∞)

    Если (x-2)(x-3)0, то х∈[2;3]
    $$ 3^{2x} \leq 1 $$
    2x≤0
    x≤0

    Сумма корней 3.

  • Найти сумму целых решений неравенства 3/x > 1


    Решение: Переносим единицу в левую часть неравенства и домножаем её на х, получаем

    (3-х)/x > 0. Отмечаем точку 0 и точку 3 на оси Ох.Следовательно х принадлежит (0 ; 3)

    Т.к. 0 и 3 не входят в решение неравенства, то остается 1 и 2 - целочисленные решения неравенства. Следовательно сумма равна 3.

  • найти сумму целых решений неравенства (х-1)(х+2)(х-4)^2<либо=0


    Решение: (х-1)(х+2)(х-4)^2<=0
    Решим неравенство методом интервалов.
    Найдем нули каждого из множителей, расположим их на числовой прямой и исследуем знаки многочлена (x-1)(x+2)(x-4)^2 на каждом числовом промежутке.
    х-1=0, х=1
    х+2=0, х=-2
    (х-4)^2=0, х=4.

    ____+____|____-____|_____+____|_____+_____>x
                  -2              1                 4
    Наш многочлен меньше или равен 0. Значит нас устраивает промежуток [-2;1]
    В этот промежуток укладываются целые решения: -2; 0; 1
    Сумма: -2 + 0 + 1 = -1

    Ответ: -1 
          

  • Найти сумму целых решений неравенства √x+3 >или= x+1


    Решение: Корень от х+3 определен от точки х=-3 до бесконечности, а х+1 на всей вещественной оси. Точкой пересечения этих графиков х=1. Т.е. неравенство будет выполняться на промежутке от -3 до 1=> сумма решений =-3-2-1+0+1=-5

    Найти сумму целых решений неравенства √x+3 ≥x+1

    √x+3 ≥x+1 одз: x≥0

    √x+3 ≥x+1 √x=t t≥0 t≥0 t≥0
      t+3≥t²+1 ⇔ t²+1- t-3≤0 ⇔ t²- t-2≤0 
      t²- t-2=0 t1=2  t2= -1
      + - +
    ----------------------(-1)-//////////////////////////(2)-----------------t

    ----------------------------------(0)////////////////////////////////////////////t

    t∈[0;2] ⇔ 0≤√x≤2 ⇔ 0≤x≤4

      сумма целых решений: 0+1+2+3+4 = 10

  • Найти сумму целых решений неравенства: 2x^2-5x-3<0


    Решение: 2x²-5x-3<0
    2x²-5x-3=0
    D=b²-4ac=25-4*2*(-3)=25+24=49
    x₁=$$ \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{5+7}{4}=3 $$
    x₂=$$ \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{5-7}{4}= -\frac{2}{4}=- 0,5 $$
    2x²-5x-3=(x-3)(x+0,5)
    Ответ: (-0,5;3)
    Целые решения: -1, 0, 1, 2.
    Их сумма: -1+0+1+2=2 x - x-...
  • Найти сумму целых решений неравенства |х-7|(36-х2)больше либо равно 0


    Решение:

    Модуль любого выражение $$ \geq 0 $$ .Поэтому заданное произведение будет $$ \geq 0 $$ ,если второй множитель тоже $$ \geq 0 $$.

    $$ |x-7|(36-x^2) \geq 0\\1)\; \; |x-7| \geq 0\; pri \; \; \; x\in R\\|x-7|=0\; \; pri\; \; x=7\\2)\; \; 36-x^2 \geq 0\; \; \Rightarrow \; \; x^2-36 \leq 0\\(x-6)(x+6) \leq 0\\+++(-6)---(6)+++\\x\in[\, -6,6\, ]\\3)\; \; \left \{ {{x=7} \atop {x \un [\, -6,6\, ]}} \right. \; \; \Rightarrow \; \; x\in [\, -6,6\, ]U\{7\} $$

    Целые решения неравенства:  х=-6, -5, -4,  -3, -2, -1, 0,  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
    Сумма этих чисел равна 7.

    |х-7|(36-х²)≥0                                                  +      -       +       -
    Система:                                                  ------------------------------->
    (х-7)(36-х²)≥0      ⇔     (х-7)(6-х)(6+х)≥0          -6        6      7         x  
    (7-х)(36-х²)≥0               (7-х)(6-х)(6+х)≥0      -       +       -      +
                                                                   ---------------------------------->
                                                                            -6    6        7        x
    x=-6;6;7
    -6+6+7=7
    отв:7

  • Найти сумму целых решений неравенства х квадрат+3х-1 меньше 0


    Решение:

    X^2 + 3x - 1 < 0
    D = 3^2 - 4(-1) = 9 + 4 = 13
    x1 = (-3 - корень(13))/2 ~ -3,3
    x2 = (-3 + корень(13))/2 ~ 0,3
    x = (x1; x2) ~ (-3,3; 0,3)
    Целые решения: -3, -2, -1, 0
    Их сумма равна -6

    Умножим на -1,неравенство меняет знак
    х^2_3*х+1<0
    Ищем корни:
    х1,2 = (3+-sgrt(5))/2
    Решение - больше меньшего, меньше большего корней то есть:
    ((3-sgrt(5))/2;(3+sgrt(5))/(2)

  • Найти сумму целых решений неравенства (1 - x)|x^2 + x - 12| >= 0 на промежутке [-2;4]


    Решение: Модуль всегда не меньше нуля, потому имеет смысл найти только точки равенства нулю.

    x^2 + x - 12 = 0

    x1 + x2 = -1
    x1 * x2 = -12

    x1 = -4, x2 = 3

    Эти точки входят в общее решение, но не влияют на знак выражения при нахождении его методом пробной точки.

    1 - x = 0
    x = 1

       + _
    -------------- 1 ------------

    Т.о. нам подходят все точки x <= 1 и точки x = -4, x = 3


    На промежутке [-2, 4] это точки

    -2, -1, 0, 1, 3

    А их сумма, как не трудно посчитать, равняется 1.


  • Найти сумму целочисленных решений неравенства log три (х-3) <или =1 - log три (х-1)


    Решение: $$ \log_3(x-3) \leq 1-\log_3(x-1)\ \log_3(x-3) \leq \log_3 \frac{3}{x-1} $$
    Так как основание 3>1 (функция возрастающая), знак неравенства не меняется
    $$ \begin{cases} & \text{ } x-3 > 0 \\ & \text{ } x-1 > 0 \\ & \text{ } x-3 \leq \frac{3}{x-1} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & \text{ } x > 3 \\ & \text{ } x > 1 \\ & \text{ } \frac{x^2-4x}{x-1} \leq 0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x > 3 \\ & \text{ } x \leq 0;\,1 < x\leq 4 \end{cases}\Rightarrow 3 < x \leq 4 $$

    $$ x \in (3;4]. $$

    Сумму не вычислить) так как в промежуток входит число 4

    Ответ: 4

1 2 > >>