степени »

степень с рациональным показателем

  • 27в степени -2/3*9-2; тема степень с рациональным показателем.


    Решение: 27 ^ ( - 2/3 ) = ( 3^3 ) ^ ( - 2/3 ) = 3 ^ ( - 2 ) 
    9 ^ ( - 2 ) = ( 3 ^ 2) ^ ( - 2 ) = 3 ^ ( - 4 )
    ----------
    3 ^ ( - 2 ) * 3 ^ ( - 4 ) = 3 ^ ( - 2 - 4 ) = 3 ^ ( - 6 ) 
    -----------
    Ответ 3 ^ ( - 6 ) или 1 / ( 3 ^ 6 )

    -2/3*9 = -18/3. Дальше -18/3 - 2 = -18/3 - 6/3 = -24/3 = -8 степень.
    Теперь при возведении 27 в -8 степень у нас получается 1 / 27^8

  • Представьте в виде степени с рациональным показателем: \(a^{\frac{2}{5}}b^{-\frac{3}{4}}c^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{3}{5}}b^{\frac{1}{2}}c^{-\frac{1}{3}}\)
    Найдите значение \((\frac{a^{-\frac{3}{5}}b^{-\frac{3}{5}}\sqrt[5]{b^{-3}}}{(ac)^{-\frac{4}{5}}b^{-\frac{7}{5}}}+9bc)^{-3} \;\;\text{при}\;\; a=32; b=c=\frac{1}{3}\)


    Решение: [a^(2/5)]·[b^(-3/4)]·[c^(1/2)]·[a^(-3/5)]·[b^(1/2)]·[c^(-1/3)]=
    =[a^((2/5)-3/5))]·[b^((-3/4+1/2))]·[c^(1/2-1/3)]=
    =[a^(-1/5)]·[b^(-1/4)]·[c^(1/6)]
    {a^(-3/5)·b^(-3/5)·∛(b⁻³)/[(ac)^(-4/5)·b^(-7/5)] + 9bc}^(-3)=
    =[(a^(1/5)b^(-1/5)c^(4/5)+9bc)]^(-3)=
    b=c=1/3 a=32=2⁵ (a^(1/5)=(2⁵ )^(1/5) =2 тогда
    =[2c^(3/5)+9c²]^(-3)=[2(1/3)^(3/5)+1]^(-3)

    $$ 1)\; \; a^{\frac{2}{5}}b^{-\frac{3}{4}}c^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{3}{5}}b^{\frac{1}{2}}c^{-\frac{1}{3}}=a^{\frac{2}{5}-\frac{3}{5}}\cdot b^{-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\\\\=a^{-\frac{1}{5}}\cdot b^{-\frac{1}{4}}\cdot c^{\frac{1}{6}}=\frac{c^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{5}}}\cdot b^{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt[6]{c}}{\sqrt[5]{a}\sqrt[4]{b}}\\\\2)\; \; a=32,b=c=\frac{1}{3}\\\\\left ( \frac{a^{-\frac{3}{5}}b^{-\frac{3}{5}}\cdot \sqrt[5]{b^{-3}}}{(ac)^{-\frac{4}{5}}b^{-\frac{7}{5}}}+9bc\right )^{-3}= \\ =\left (\frac{a^{-\frac{3}{5}}b^{-\frac{6}{5}}}{a^{-\frac{4}{5}}c^{-\frac{4}{5}}b^{-\frac{7}{5}}}+9bc\right )^{-3}=\left (a^{\frac{1}{5}}b^{\frac{1}{5}}c^{\frac{4}{5}}+9bc)\right )^{-3}=\\\\=\left (\sqrt[5]{32\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3^4}}+9\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\right )^{-3}=\left (\sqrt[5]{2^5\cdot \frac{1}{3^5}}+9\cdot \frac{1}{3^2}\right )^{-3}=\\\\=\left (\frac{2}{3}+1\right )^{-3}=(\frac{5}{3})^{-3}=\frac{27}{125} $$

  • Найдите значение выражения \(\frac{(m-n)^{\frac{4}{9}}(m-n)^{\frac{2}{9}}(m-n)^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}\) при m=90,25; n=30,25
    Упростите выражение: \((m+n):(m^{\frac{3}{2}}-m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{2}{3}})\)


    Решение: 1
    $$ (m-n) ^{4/9+2/9+1/3) } /( \sqrt{m} + \sqrt{n} )=(m-n)/( \sqrt{m} - \sqrt{n} )= $$(√m-√n)(√m+√n)/(√m+√n)=√m-√n
    m=361/4  n=121/4
    √(361/4)-√(121/4)=19/2-11/2=8/2=4
    2
    (∛m+∛n)(∛m²-∛(mn)+∛n²)/(∛m²-∛(mn)+∛n²)=∛m+∛n

    m-n sqrt m sqrt n m-n sqrt m - sqrt n m- n m n m n m- nm   n - - m n m - mn n m - mn n m n...

  • 1) Степени с рациональным показателем. Вычислите:81(в степени 0.75)*32(в степени минус 0.4)-8(в ст. минус 2/3-дробь)*27(в ст. дробь 1/3)+256(в ст.0.5)
    2)(2+15(в ст.0.25))(2-15(в ст.0.25))*(4-корень из 15(в ст. минус 1)


    Решение: $$ 81^{0,75}*32^{-0,4}-8^{-\frac{2}{3}}*27^{\frac{1}{3}}+256^{0,5}= \\ (3^4)^{\frac{3}{4}}*(2^5)^{-\frac{2}{5}}-(2^3)^{-\frac{2}{3}}*(3^3)^{\frac{1}{3}}+(16^2)^{\frac{1}{2}}= \\ =3^3*2^{-2}-2^{-2}*3+16=27*\frac{1}{4}-\frac{1}{4}*3+16=\frac{1}{4}(27-3)+16 \\ \frac{1}{4}(27-3)+16=\frac{1}{4}*24+16=6+16=22 \\ (2+15^{0,25})(2-15^{0,25})*(4-\sqrt{15^{-1}})= \\ (4-(15^{0,25})^2)*(4-\sqrt{15^{-1}})=(4-15^{0,5})*(4-\sqrt{15^{-1}})  \\ (4-15^{0,5})*(4-15^{-0,5})=16-4*15^{-0,5}-4*15^{0,5}+1=  \\ 17-4*\frac{1}{\sqrt{15}}-4\sqrt{15}=\frac{17\sqrt{15}-4-60}{\sqrt{15}}=\frac{17\sqrt{15}-64}{\sqrt{15}} $$

  • Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем корень из 2, 3корня из 17, 8 корней из а в 12ой степени, 4 корня из 6 в -5 степени?


    Решение: 1) V 2 = 2 ^ 1\2 (два в степени 1\2)

    2) 3 V 17 = V 9 * 17 = V 153 = 153 ^ 1\2

    3) 8 V A ^ 12 = 8 * A ^ 6 = 2 ^ 3 * A ^6 = (2A^2)^3

    4) (4 V 6 ) ^-5 = (V 6 * 16 )^-5 = (V 2*3 * 2^4 )^-5 = (V 3* 2^5)^-5 = (1\3)^5 * (2)^-25

    V два в степени V V V V A A A A V - V - V - V - -...

  • Степень с рациональным показателем.
    №1
    напишите выражения в виде корня
    1)\( 6^{-1,5;} \)
    2).\( 7^{1,2;} \)
    №2
    напишите корни в виде степени с рациональным показателем
    1)\( \sqrt[15]{ x^{-8} } \)
    2)\( \sqrt[8]{ 5^{3} } \)
    №3
    найдите значения выражения
    1)\( 16^{7/4} \)
    2)\( ( 27^{3}/ 125^{6})^{2/9} \)
    3)\( 81^{0,75} :8^{7/3} \)
    4)\( (36/25)^{0,5}* (125/27)^{-1/3} \)


    Решение: №1
    1)1/6^3/2=1/\(\sqrt{6^3}\)
    2)7^6/5=\(\sqrt[5]{7^6}\)
    №2
    1)x^-8/15
    2)5^3/8
    №3
    1)(2^4)^7/4=2^7=128
    2)(3^9/5^18)^2/9=3^2*5^4=9*625=5625
    3)(3^4)^0,75:(2^3)^7/3=3^3:2^7=27:128=27/128
    4)((6/5)^2)^0,5*((5/3)^3)^-1/3=6/5*(5/3)^-1=6/5*3/5=18/25

    sqrt sqrt x - - -...

  • Рациональные выражения корень и степень.\( ( \frac{2}{7} +1 \frac{5}{6} )*10,5 \)


    Решение: 1 целая 5/6 = 11/6 -неправильная дробь.
    2/7 + 11/6 = 12/42 + 77/42 -привели к общему знаменателю = 89/42
    10.5 = 10 целых 5/10 = 10 целых 1/2 = 21/2 -неправильная дробь
    89/42 * 21/2 = (89/ (2*21) ) * 21/2 = 89/4 -сократили на 21
    этот пример удобнее решать в обыкновенных дробях (можно сокращать.)
    а 89 уже можно разделить на 4. или записать правильной дробью.
    89/4 = 22 целых 1/4 (1/4 = 0.25)

  • Понятие степени с любым рациональным показателем. a) \(\frac{a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{a-b}{a+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b} +2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}\)
    b) \(\frac{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}-\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}+\frac{b}{a-a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}\)


    Решение: $$ 1)= \frac{(a^{1/2})^3-(b^{1/2})^3}{a^{1/2}+b^{1/2}}* \frac{(a^{1/2}-b^{1/2})(a^{1/2}+b^{1/2})}{a+a^{1/2}b^{1/2}+b}+2a^{1/2}b^{1/2}= \\ = \frac{(a^{1/2}-b^{1/2})(a+a^{1/2}b^{1/2}+b)}{a^{1/2}+b^{1/2}}* \frac{(a^{1/2}-b^{1/2})(a^{1/2}+b^{1/2})}{a+a^{1/2}b^{1/2}+b}+2a^{1/2}b^{1/2}= \\ =(a^{1/2}-b^{1/2})^2+2a^{1/2}b^{1/2}=a-2a^{1/2}b^{1/2}+b+2a^{1/2}b^{1/2}=a+b \\ 2)= \frac{a^{1/2}+b^{1/2}}{a^{1/2}} - \frac{a^{1/2}}{a^{1/2}-b^{1/2}}+ \frac{b}{a^{1/2}(a^{1/2}-b^{1/2})}= \\ = \frac{(a^{1/2}+b^{1/2})(a^{1/2}-b^{1/2})-a^{1/2}*a^{1/2}+b}{a^{1/2}(a^{1/2}-b^{1/2})}= \\ = \frac{a-b-a+b}{a^{1/2}(a^{1/2}-b^{1/2})} =0 $$

  • решить: 27в степени -2/3*9-2, тема степень с рациональным показателем.


    Решение: 27 ^ ( - 2/3 ) = ( 3^3 ) ^ ( - 2/3 ) = 3 ^ ( - 2 ) 
    9 ^ ( - 2 ) = ( 3 ^ 2) ^ ( - 2 ) = 3 ^ ( - 4 )
    -
    3 ^ ( - 2 ) * 3 ^ ( - 4 ) = 3 ^ ( - 2 - 4 ) = 3 ^ ( - 6 ) 
    -
    Ответ 3 ^ ( - 6 ) или 1 / ( 3 ^ 6 )

    Получается, что -2/3*9 = -18/3. Дальше -18/3 - 2 = -18/3 - 6/3 = -24/3 = -8 степень.
    Теперь при возведении 27 в -8 степень у нас получается 1 / 27^8

  • Степень с рациональным показателем, \(25^{ \frac{3}{2} }\); \(0,001^{- \frac{1}{3} }\); \(-27\cdot 32^{\frac{1}{5}}+13^0\); \(7-3\cdot 64^{\frac{1}{6}}\); \(3^{0,12}\cdot 9^{0,44}\); \(\frac{3^{6,2}}{9^{1,6}}\); \((27^{-\frac{2}{3}})^{-2}\); \(16^{\frac{5}{4}}-(\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}}+27^{\frac{2}{3}}\);


    Решение: 1. $$ 25^{ \frac{3}{2} }=(5^{2})^{ \frac{3}{2} }=5^3=125 $$
    2. $$ 0,001^{- \frac{1}{3} }= (\frac{1}{1000} )^{- \frac{1}{3} }= \sqrt[3]{1000} =10 $$
    3. $$ -27*(2^5)^{ \frac{1}{5} }+13^0=-27*2+1=-53 $$
    4. $$ 7-3*(2^6)^{ \frac{1}{6} }=7-3*2=1 $$
    5. $$ 3^{0,12}*(3^2)^{0,44}=3^{0,12}*3^{0,88}=3^{0,12+0,88}=3^1=3 $$
    6. $$ \frac{3^{6,2}}{(3^2)^{1,6}} = \frac{3^{6,2}}{3^{3,2}}=3^{6,2-3,2}=3^3=27 $$
    7. $$ ((3^3)^{- \frac{2}{3} })^{-2}=(3^{-2})^{-2}=3^{(-2)(-2)}=3^4=81 $$
    8. $$ (2^4)^{ \frac{5}{4} }-(3^{-2})^{- \frac{1}{2} }+(3^3)^{ \frac{2}{3} }=2^5-3^1+3^2=32-3+9=38 $$

1 2 > >>