степени »

свойства степеней

  • Решите, используя свойства степеней: \( \frac{5^7 \cdot 7^8}{35^7} \); \( \frac{2^17 \cdot 3^6}{24^5} \); \( \frac{36^7}{2^12 \cdot 3^10} \)


    Решение: 1)5⁷ x 7⁸ 5⁷ x 7⁸
      ______ = ______ = 7¹ = 7.
      35⁷ 5⁷ x 7⁷
    2)
    2¹⁷ x 3⁶ 2¹⁷ x 3⁶ 2¹² x 3¹ 2¹² x 3 2¹² x 3
    _____ = _________ = _______ = ______  = ______ = 2² x 3 = 4 x 3 = 12.
      24⁵ 2⁵ x 3⁵ x 4⁵ 4⁵ (2²)⁵ 2¹⁰

    3) 36⁷ 2⁷ x 3⁷ x 6⁷ 6⁷ 2⁷ x 3⁷
    _______ = _________ = _______ = ______ = 2² x 3⁴ = 4 x 81 = 324. 
    2¹² x 3¹⁰ 2¹² x 3¹⁰ 2⁵ x 3³ 2⁵ x 3³

  • Найдите значение примера, используя свойства степеней \( \frac{ 9^{5} }{ 3^{7} } \), \( \frac{ 8^{7} }{ 4^{8} } \), ....


    Решение: 1) \( \frac{ 9^{5} }{ 3^{7} } = \frac{ (3^{2})^5}{ 3^{7} } = \frac{ 3^{10}}{ 3^{7} } = 3^{3} =27 \)
    2) \( \frac{ 8^{7} }{ 4^{8} } = \frac{ (2^{3})^7 }{ (2^{2})^8 } = \frac{ 2^{21} }{ 2^{16} } = 2^{5} = 32 \)
    3) \( = \frac{ (3^{3})^3* (3^{2})^4 }{ (3^{4})^3 } = \frac{ 3^{9} * 3^{8} }{ 3^{12} } = \frac{ 3^{17} }{ 3^{12} } = 3^{5} = 243 \)
    4) \( = \frac{ (5^{2})^4* (5^{3})^10 }{ 5^{36} } = \frac{ 5^{8}* 5^{30} }{ 5^{36} } = \frac{ 5^{38} }{ 5^{36} } = 5^{2} = 25 \)

  • Пример на свойства степени \( \frac{4^{2,9} \cdot 7^{2,4}}{28^{1,4}} \)


    Решение:

    Придется выучить эти свойства, без них вы не сможете решать задачи!
    Когда основание одинаковое (то, что возводим):
    1) при умножении - показатели степени складываются
    2) при делении - показатели степени вычитаются
    3) при возведении степени в степень (a^x)^y - основание степени остается, а показатели перемножаются: a^(x*y)
    28^(1.4) = (7*4)^(1.4) = 7^(1.4) * 4^(1.4)
    4^(2.9) * 7^(2.4) / 7^(1.4) * 4^(1.4) = 4^(2.9-1.4) * 7^(2.4-1.4) = 4^(1.5) * 7=7*8=56

  • Сравнить с помощью свойств :8 в степени -0,2 и 8 в степени -1,2


    Решение: Заметим, что оба числа >0, поделим одно число на другое, если результат >1, тогда числитель больше, если <1, тогда знаменатель больше, если = 1, тогда числа равны, итак:
    8^-0.2 / 8^-1.2 = 8 ^(-0.2 - (-1.2)) = 8^(-0.2+1.2) = 8^1 = 8
    Таким образом, 8^-0.2 больше 8^-1.2 в 8 раз
    8^-0.2 > 8^-1.2
    ну а свойство, которое использовали - вычитание показателей при делении чисел с одинаковым основанием.

  • Проверьте, верны ли следующие равенства :1 в 3 степени +2 в 3 степени =(1+2)во 2 степени
    1 в 3 степени +2 в 3 степени + 3 в 3 степени = (1+2+3) во 2 степени
    1 в 3 степени + 2 в 3 степени + 3 в 3 степени + 4 в 3 степени = (1+2+3+4) во 2 степени
    сформулируйте данное свойство чисел
    проверьте это свойство для первых пяти натуральных чисел


    Решение: 1) 1^3 + 2^3 = ( 1 + 2 )^2
    1 + 8 = 9 ; 3^2 = 9
    Равенство верное
    2) 1^3 + 2^3 + 3^3 = ( 1 + 2 + 3)^2 
    1^3 = 1 ; 2^3 = 8 ; 3^3 = 27 ; 1 + 8 + 27 = 36
    ( 1 + 2 + 3 )^2 = 6^2 = 36
    Равенство верное
    3) 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = ( 1 + 2 + 3 +4 )^2 
    4^3 = 64 ; 36 + 64 = 100
    ( 1 + 2 + 3 + 4)^2 = 10^2 = 100
    Равенство верное
    4) 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5)^2
    5^3 = 125 ; 100 + 125 = 225
    ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 )^2 = 225
    Равенство верное
    Свойство для пяти первых натуральных чисел применимо
    Формулировка : сумма кубов чисел равна квадрату суммы этих чисел

1 2 3 > >>