степени » свойства степеней
  • Решите, используя свойства степеней: \( \frac{5^7 \cdot 7^8}{35^7} \); \( \frac{2^17 \cdot 3^6}{24^5} \); \( \frac{36^7}{2^12 \cdot 3^10} \)


    Решение: 1)5⁷ x 7⁸ 5⁷ x 7⁸
      ______ = ______ = 7¹ = 7.
      35⁷ 5⁷ x 7⁷
    2)
    2¹⁷ x 3⁶ 2¹⁷ x 3⁶ 2¹² x 3¹ 2¹² x 3 2¹² x 3
    _____ = _________ = _______ = ______  = ______ = 2² x 3 = 4 x 3 = 12.
      24⁵ 2⁵ x 3⁵ x 4⁵ 4⁵ (2²)⁵ 2¹⁰

    3) 36⁷ 2⁷ x 3⁷ x 6⁷ 6⁷ 2⁷ x 3⁷
    _______ = _________ = _______ = ______ = 2² x 3⁴ = 4 x 81 = 324. 
    2¹² x 3¹⁰ 2¹² x 3¹⁰ 2⁵ x 3³ 2⁵ x 3³

  • Найдите значение примера, используя свойства степеней \( \frac{ 9^{5} }{ 3^{7} } \), \( \frac{ 8^{7} }{ 4^{8} } \), ....


    Решение: 1) \( \frac{ 9^{5} }{ 3^{7} } = \frac{ (3^{2})^5}{ 3^{7} } = \frac{ 3^{10}}{ 3^{7} } = 3^{3} =27 \)
    2) \( \frac{ 8^{7} }{ 4^{8} } = \frac{ (2^{3})^7 }{ (2^{2})^8 } = \frac{ 2^{21} }{ 2^{16} } = 2^{5} = 32 \)
    3) \( = \frac{ (3^{3})^3* (3^{2})^4 }{ (3^{4})^3 } = \frac{ 3^{9} * 3^{8} }{ 3^{12} } = \frac{ 3^{17} }{ 3^{12} } = 3^{5} = 243 \)
    4) \( = \frac{ (5^{2})^4* (5^{3})^10 }{ 5^{36} } = \frac{ 5^{8}* 5^{30} }{ 5^{36} } = \frac{ 5^{38} }{ 5^{36} } = 5^{2} = 25 \)
  • Пример на свойства степени \( \frac{4^{2,9} \cdot 7^{2,4}}{28^{1,4}} \)


    Решение:

    Придется выучить эти свойства, без них вы не сможете решать задачи!
    Когда основание одинаковое (то, что возводим):
    1) при умножении - показатели степени складываются
    2) при делении - показатели степени вычитаются
    3) при возведении степени в степень (a^x)^y - основание степени остается, а показатели перемножаются: a^(x*y)
    28^(1.4) = (7*4)^(1.4) = 7^(1.4) * 4^(1.4)
    4^(2.9) * 7^(2.4) / 7^(1.4) * 4^(1.4) = 4^(2.9-1.4) * 7^(2.4-1.4) = 4^(1.5) * 7=7*8=56

  • Сравнить с помощью свойств :8 в степени -0,2 и 8 в степени -1,2


    Решение: Заметим, что оба числа >0, поделим одно число на другое, если результат >1, тогда числитель больше, если <1, тогда знаменатель больше, если = 1, тогда числа равны, итак:
    8^-0.2 / 8^-1.2 = 8 ^(-0.2 - (-1.2)) = 8^(-0.2+1.2) = 8^1 = 8
    Таким образом, 8^-0.2 больше 8^-1.2 в 8 раз
    8^-0.2 > 8^-1.2
    ну а свойство, которое использовали - вычитание показателей при делении чисел с одинаковым основанием.

  • Проверьте, верны ли следующие равенства :1 в 3 степени +2 в 3 степени =(1+2)во 2 степени
    1 в 3 степени +2 в 3 степени + 3 в 3 степени = (1+2+3) во 2 степени
    1 в 3 степени + 2 в 3 степени + 3 в 3 степени + 4 в 3 степени = (1+2+3+4) во 2 степени
    сформулируйте данное свойство чисел
    проверьте это свойство для первых пяти натуральных чисел


    Решение: 1) 1^3 + 2^3 = ( 1 + 2 )^2
    1 + 8 = 9 ; 3^2 = 9
    Равенство верное
    2) 1^3 + 2^3 + 3^3 = ( 1 + 2 + 3)^2 
    1^3 = 1 ; 2^3 = 8 ; 3^3 = 27 ; 1 + 8 + 27 = 36
    ( 1 + 2 + 3 )^2 = 6^2 = 36
    Равенство верное
    3) 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = ( 1 + 2 + 3 +4 )^2 
    4^3 = 64 ; 36 + 64 = 100
    ( 1 + 2 + 3 + 4)^2 = 10^2 = 100
    Равенство верное
    4) 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5)^2
    5^3 = 125 ; 100 + 125 = 225
    ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 )^2 = 225
    Равенство верное
    Свойство для пяти первых натуральных чисел применимо
    Формулировка : сумма кубов чисел равна квадрату суммы этих чисел

  • а) X в 13 степени : X в 10 степени
    б)С в 5 степени умножить с в 12 степени умножить C во 2 степени
    в)y в степени 2n-3 : y в степени n+5
    г)d в степени 2m умножить d в степени 0 умножить d в степени 5m-1
    д)(а а в 4 степени а в 7 степени) в степени 5
    е)((xв 6 степени)в 5 степени)во 2 степени
    ж)(k в 4 степени)в 5 степени умножить (k во 2 степени) в 3 степени
    з)(xв 4 степени) в степени m
    и)125yв 3 степени
    к)64


    Решение: А) Х в третьей степени. При делении степени вычитаются.
    б) С в 19 степени. При умножении степени складываются.
    в) у в степени n-8 см. п. а
    г) d в степени 7m-1
    д) если два "а" в начале скобки не опечатка, то получается а в 60 степени (1+4+7=12 и умножаем на 5, т.к. степень возводится в степень)
    е) Перемножаем степени и получаем х в 60 степени
    ж) k в 26 степени (перемножаем, где степень возводится в степень, произведения складываем)
    з) х в степени 4m (степени перемножаются, как уже было сказано выше)
    и) (5у) в третьей степени, ибо 125 = 5 в кубе.
    к) 8 в квадрате.

  • Упростить \( (\frac{ \sqrt{7} }{-7} )^{-6} \)


    Решение: $$ ( \frac{ \sqrt{7} }{-7} )^{-6} $$
    Нам нужно сделать положительную степень,не знаю,как объяснить это правильно,но если проще,то мы переворачиваем дробь и меняем знак степени на положительный,как-то так.Например было $$ 2^{-3} $$ станет $$ \frac{1}{2 ^{3} } $$.
    Получается $$ (\frac{-7}{ \sqrt{7} } )^{6} $$
    На минус в числителе можно не обращать внимания,т.к степень шестая и он уберётся .
    Эта степень применяется и к числителю и к знаменателю
    $$ \frac{7^{6} }{ \sqrt{7 ^{6} } } $$
    В знаменателе получилась такая штука $$ \sqrt{7 ^{6} } $$ это будет 7³
    Получается $$ \frac{7 ^{6} }{7 ^{3} } $$
    Так как основание одинаковое(и в числителе и в знаменателе 7) то при делении с одинаковым основанием показатели отнимаются,получается 7³, а это будет 343. frac sqrt - - Нам нужно сделать положительную степень не знаю как объяснить это правильно но если проще то мы переворачиваем дробь и меняем знак степени на положительный как-...
  • ВЫЧИСЛИТЕ: 32⁴ : (2⁴)³ · 2⁶


    Решение:

    32⁴ : (2⁴)³ · 2⁶ 

    пояснение: 32 =2⁵, тогда

    32⁴ = 2²⁰

    32⁴ : (2⁴)³ · 2⁶  = 2²⁰ · 2⁶ : 2¹²

    = 2²⁶ : 2¹² =

    = 2¹⁴ =

    = 16384

    Первый вариант:

    [32⁴/(2⁴)³]*2⁶ = [(2⁵)⁴/2¹²]*2⁶ = 2²⁰*2⁶/2¹² = 2¹⁴ = 16384

    Второй вариант:

    32⁴/[(2⁴)³*2⁶] = 2²⁰/[2¹²*2⁶] = 2² = 4

  • Выберите верные равенства: А)3^2+4^2+5^2=6^2 Б)1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2 В)9^3-8^3-6^3=1^3 Г)3^3+10^3+18^3=19^2

    (^степень)


    Решение: Б)2+8+27+64=100

    100=100 

    А)3^2+4^2+5^2=6^2

      9+16+25=36

      50=36-не верно

    Б)1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2

      1+8+27+64=100

      100=100-верно

    В)9^3-8^3-6^3=1^3

      729-512-216=1

      1=1-верно

    Г)3^3+10^3+18^3=19^2

      27+1000+5832=361-не верно

  • а) (n^8)^4:(n^4)^3 б) (t^6)^4*t в) (7^3)^8*7^5 ______________________ (t^5)^2 (7^10)^2*(7^2)^4


    Решение: а) (n⁸)⁴ / (n⁴)³ = n³² / n¹² = n²⁰

    б) (t⁶)⁴ · t / (t⁵)² = t²⁴ · t / t¹⁰ = t²⁵ / t¹⁰ = t¹⁵

    в) (7³)⁸ · 7⁵ / (7¹⁰)² · (7²)⁴ = 7²⁴ · 7⁵ / 7²⁰ · 7⁸ = 7²⁹ / 7²⁸ = 7¹ = 7

    а) (n⁸)⁴ : (n⁴)³ = n³² : n¹² = n²⁰

    б) (t⁶)⁴ · t : (t⁵)² = t²⁵ : t¹⁰ = t¹⁵

    в) (7³)⁸ · 7⁵ : ((7¹⁰)² · (7²)⁴) = 7²⁹ : 7²⁸ = 7 

1 2 3 > >>