степени » произведение степеней
  • Вычислите: \( (1/2) ^{- \sqrt{2}* \sqrt{8}} \); \( 6 ^{-1/3* \sqrt{3}*3 \sqrt{3}} \); \( (( \frac{3}{4})^0)^{-0,5}-7,5-( \sqrt[4]{4^3})^2-2\cdot(-2)^4 \)


    Решение:
    $$ (( \frac{1}{2})^{ \sqrt{2}})^{- \sqrt{8}}=(2^{-1}) ^{ \sqrt{2}\cdot (- \sqrt{8})}=2^{ \sqrt{16}}=2^4=16 \\ ( (\sqrt[3]{6})^{ \sqrt{3}})^{-3 \sqrt{3}} = (\sqrt[3]{6})^{ \sqrt{3}\cdot (-3 \sqrt{3})} = (\sqrt[3]{6})^{-9} = 6^{-3}= \frac{1}{216} $$

    $$ (( \frac{3}{4})^0)^{-0,5}-7,5-( \sqrt[4]{4^3})^2-2\cdot(-2)^4=1-7,5- \sqrt{4^3} -2\cdot 16= \\ \ =1-7,5 -8-32=-46,5 $$

  • На какую наибольшую степень 2 делится произведение первых ста натуральных чисел


    Решение:

    64 делится на 2  в шестой степени
    32, 96 делится на 2 в пятой степени
    16, 48, 80 делится на 2 в четвертой степени
    8, 24, 40, 56, 72, 88 делится на 2 в третьей степени
    4, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84, 92, 100 делится на на 2 во второй степени
    остальные 50-25=25 чисел (четных) делятся на 2 в первой степени
    итого наибольшая степень 25*1+13*2+6*3+3*4+2*5+1*6=97
    или$$ 2^6<100<2^7 $$
    $$ [\frac{100}{2^6}]+[\frac{100}{2^5}]+[\frac{100}{2^4}]+ $$
    $$ [\frac{100}{2^3}]+[\frac{100}{2^2}]+[\frac{100}{2}]=1+3+6+12+25+50=97 $$

    [] - Целая часть
    ответ: 97


  • Преобразуйте в произведение (к.в-в квадрате;в.ку-в кубе;в.ч - в четвертой степени): а) 3а в.ку - 3аb в.к + a в.к b -b в ку; б)2x - а в.к y - 2а в.к x + y; в)3p - 2c в.ку - 3c в.ку p + 2; г)a в.ч - 24 + 8a - 3a в.ку. Спасибо.


    Решение:

    а) 3а³ - 3аb² + a²b - b³ = (3а³ - 3аb²) + (a²b - b³) = 3а(а² - b²) + b(а² - b²) = 

    = (а² - b²)·(3а + b).

    б)2x - а³y - 2а³x + y = (2x - 2а³x) + (y -а³y) = 2х(1 - а³) + у(1 - а³) = (1 - а³)·(2х +у). или

    2x - а²y - 2а²x + y = (2x - 2а²x) + (y -а²y) = 2х(1 - а²) + у(1 - а²) = (1 - а²)·(2х +у).

    в)3p - 2c³у - 3c³p + 2 = (3p - 3c³p ) + ( 2 - 2c³у) = 3р(1 - с³) + 2(1 - с³) =

    = (1 - с³)·(3р + 2).

    г)a⁴ - 24 + 8a - 3a³ =  (a⁴ - 3a³) + (8a - 24) = а³(а - 3) + 8(а - 3) = (а - 3)·(а³ + 8).

  • Дана матрица А. Найти матрицу А(в степени -1), обратную данной. Решить задачу, воспользовавшись определением обратной матрицы. сделать проверку, вычислив произведение АА(в степени-1). А=(СКОБКА) 2 -1 -1 (СКОБКА)
    3 4 -2
    3 -2 4


    Решение: 1)Найдем определитель
    detA=36 следовательно обратная матрица существует
    $$ A11= \left[\begin{array}{ccc}4&-2\\-2& 4\end{array}\right] =16-4=12 $$
    $$ A12= \left[\begin{array}{ccc}3&-2\\3&4\end{array}\right] =12+6=18 $$
    $$ A13= \left[\begin{array}{ccc}3&4\\3&-2\end{array}\right] =-6-12=-18 $$
    $$ A21= \left[\begin{array}{ccc}-1&-1\\-2&4\end{array}\right] =-4-2=-6 $$
    $$ A22= \left[\begin{array}{ccc}2&-1\\ 3&4\end{array}\right] =8+3=11 $$
    $$ A23= \left[\begin{array}{ccc}2&-1\\3&-2\end{array}\right] =-4+3=-1 $$
    $$ A31= \left[\begin{array}{ccc}-1&-1\\4&2\end{array}\right] =2+4=6 $$
    $$ A32= \left[\begin{array}{ccc}2&-1\\3&-2\end{array}\right] =-4+3=-1 $$
    $$ A33= \left[\begin{array}{ccc}2&-1\\3&4\end{array}\right] =8+3=11 $$

    $$ Aij= \left[\begin{array}{ccc}16&18&-18\\-6&11&-1\\6&-1&11\end{array}\right] $$

    $$ (Aij)^{T}= \left[\begin{array} {ccc}16&-6&6\\18&11&-1\\-18&-1&11\end{array}\right] $$

    $$ A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}16/36&-6/36&6/36\\18/36&11/36&-1/36\\-18/36&-1/36&11/36\end{array}\right] $$
  • Какой цифрой оканчивается произведение 73 в 7 степени 18 в 5 степени:а)шесть; б)семь; в)восемь; г)четыре


    Решение: Что бы узнать последнюю цифру не обязательно перемножать всё число, достаточно операций с последней цифрой
    степень 1 последнее число 3
    степень 2 -/- 3*3=9
    степень 3 -/- 3*9=27 число 7
    степень 4 -/- 3*7=21 число 1
    степень 5 -/- 1*3=3
    степень 6 -/- 3*3=9
    степень 7-/- 3*9=27 число 7

    аналогично для 18 в 5 степени
    степень 1 последнее число 8
    степень 2 -/- 8*8=64 число 4
    степень 3 -/- 8*4=32 число 2
    степень 4 -/- 8*2=16 число 6
    степень 5 -/- 8*6=48 число 8

    теперь перемножаем 7*8=56

    Ответ число 6


  • Найдите произведение чисел 4 * 10 в степени -5 и 2,3 * 10 в степени -7


    Решение: $$ 4*10 ^{-5} *2,3*10 ^{-7} =(4*2,3)*(10 ^{-5} *10 ^{-7} )=9,2*10 ^{-12} $$- стандартный вид числа
    можно перевести в десятичную дробь 0,0000000000092

    1) 4*10⁻⁵=0, 00004
    степень ⁻⁵ указывает на то, что надо перенести запятую на 5 цифр влево. Если ты еще плохо умеете это делать устно, самый удобный вариант для тебя - подробно писать на бумаге вычисления. Это делается просто. Пишете четверку и отсчитываете 5 цифр после запятой, отделяющей целую часть. В итоге получается 0, 00004

    2) Абсолютно аналогично:
    2,3*10⁻⁷ - 0,0000023

    3) А теперь перемножаем эти два числа:
    (это легко делается в столбик - не ошибетеся с количеством цифр после запятой)

    0,0000023* 0,00004 = 0,000000000092

    Напоминаю: количество цифр после целой части исходного числа - сумма количества цифр после запятой обоих чисел.

  • 1. Записать выражение (с^8)^6 (это степени) в виде степени с с основанием с
    2.Записать выражение (а^6)^8 * а ^13 в виде степени с с основанием а
    3.записать произведение ( n - 5 )^14 * ( n - 5 ) ^6 в виде степени
    4.записать часное d ^ 9 : d ^ 4 в виде степени
    5.записать выражение (c^8) ^9 : c^30 в виде степени с основанием с
    6.записать выражение ( a^10 )^7 * a^14 в виде степени с с основанием а
    7. записать выражение ( d ^14)^10 :d^137
    8.найти корень уравнения -8x -8= 34 - x
    9. найдите корень уравнения 4x/9 + 2 =2/3
    10 .найдите корень уравнения x-8/11=x-76/55
    11. найдите корень уравнения 8x/9 + 1 = 11/3


    Решение: 1.Записать выражение (с^8)^6 =с^48
    2.Записать выражение (а^6)^8 * а ^13 =a^61
    3.записать произведение ( n - 5 )^14 * ( n - 5 ) ^6=(n-5)^20
    4.записать часное d ^ 9 : d ^ 4=d^5
    5.записать выражение (c^8) ^9 : c^30=c^42
    6.записать выражение ( a^10 )^7 * a^14=a^84
    7. записать выражение ( d ^14)^10 :d^137=d^3
    8.найти корень уравнения -8x -8= 34 - x  x=-6
    9. найдите корень уравнения 4x/9 + 2 =2/3   x=-3
    10 .найдите корень уравнения x-8/11=x-76/55  x=-9
    11. найдите корень уравнения 8x/9 + 1 = 11/3

  • Найти произведение в точке х0 1) f(x)=5x^3-4x^2 .x0=2
    2) f(x)=2sinx+cosx-ctgx .x0=п/6
    3) f(x)=3(2x-1)^51 .x0=2
    4) f(x)=корень из числа {2x^2+1} .x0=7
    5) f(x)=sinx+cosx/sinx-cosx .x0=п/2
    6 f(x)=4cos^2*2x .x0=п/6

    ( ^-степень пример 2x^2 )(два х в квадрате)


    Решение: 1) f’(x)=(5x³-4x²)’=15x²-8x
       f’(2)=15·4-8·2=44
    2) f’(x)=(2sinx+cosx-ctgx)’=2(sinx)’+(cosx)’-(ctgx)’=
      =  2cox-sinx+(1/sin²x)
       f’(π/6)=2·cos(π/6)-sin(π/6)+(1/sin²(π/6))=(2√3/2)- (1/2)+(1/(1/4))=√3-0,5+4=3,5+√3
    3) f’(x)=(3(2x-1)⁵¹)’=3·(2x-1)⁵⁰·(2x-1)’=6·(2x-1)⁵⁰
      f’(2)=6·(2·2-1)⁵⁰=6·3⁵⁰
    4) f’(x)=(√(2x²+1))’=(1/2√(2х²+1))·(2х²+1)’=4x/2√(2х²+1)=2х/√(2х²+1)
       f’(7)=14/√99
    5) f’(x)=(sinx+cosx/sinx-cosx)’=(sinx+cox)’·(sinx-cosx)-(sinx+cosx)·(sinx-cosx)’/(sinx-cosx)²=
    =(cosx-sinx)(sinx-cosx)-(sinx+cosx)(cosx+sinx)
    /(sinx-cosx)²=
    =-4(sin²x+cos²x)/
    (sinx-cosx)²=-4/(sinx-cosx)²
     f(п/2)=-4/(1-0)²=-4
    6) f’(x)=(4cos²2x)’=8cos2x·(cos2x)’=8cos2x·(-sin2x)·(2x)’=-8sin4x
       f’(π/6)=-8sin(2π/3)=-8sin(π/3)=-4√3
  • Возведите в степень произведение a)(bc)^6 б)(abc)^10 в)(2a)^5 г) (3ху)^3 д) ( 1/10xyz)^4


    Решение: a) b⁶c⁶
    б) a¹⁰b¹⁰c¹⁰
    в) 32⁵
    г) 27x³y³
    д) 1/10000x⁴y⁴z⁴ a b c б a b c в г x y д x y z...
  • На какую наибольшую степень числа 3 делится произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно?


    Решение: Каждое кратное 3 число прибавляет единицу к степени 3, на которую делится их произведение. Каждое кратное 9=3^2 - еще единицу дополнительно к предыдущей и т.д.
    Количество чисел от 1 до А, делящихся на В - это количество полных "циклов" по В в этом промежутке, его можно подсчитать как целую часть от деления А на В.
    Итого для троек(с учетом кратности 9, 27, 81) ответ такой:
    $$ [ \frac{100}{3} ]+[ \frac{100}{3^2} ]+[ \frac{100}{3^3} ]+[ \frac{100}{3^4} ]+...=33+11+3+1+0+0+...=48 $$

1 2 > >>