последняя цифра числа степени

Найти вероятность того, что последняя цифра квадрата или четвертой степени произвольного целого числа окажется единицей.

1 в квадрате 1

2- в квадрате 4

3 в квадрате 9

4 в квадрате 16

5 в квадрате 25

6 в квадрате 36

7 в квадрате 49

8 в квадрате 64

9 в квадрате 81

0 в квадрате 0

значит только 2 числа в квадрате имеют 1 на конце

значит 2/10=1/5=20%

последняя цифра числа может быть

1 в 4 степени 1

2 в 4 степени 16

3 в 4 степени 81

4 в 4 степени 256

5 в 4 степени 625

6 в 4 степени 1296

7 в 4 степени 2401

8 в 4 степени 4096

9 в 4 степени 6561

значит в 4х случаях на конце будет 1

значит 4/10=40%

Найдите число Х, если известно, что из следующих трёх утверждений два истины, а одно ложно. А).Последняя отличная от нуля цифра десятичнойзаписи числа Х в 12 степени равна 5. Б).Последняя отличная от нуля цифра десятичной записи числа Х в 24 степени равна 4. Г).Х-одно из чисел 0,645 : 0,468 : 0,674

если Последняя отличная от нуля цифра десятичной записи числа Х в 12 степени равна 5, то Последняя отличная от нуля цифра десятичной записи этого числа Х в 24 степени равна 5*5=..5. т.е. не равняется 4, а значит либо А, либо Б ложное

далее последняя цифра числа 0,645 в 12 степени будет 5, так 5*5*....5 (12 раз)=....5 (на последнюю цифру влияет толька последняя цифра получаемых произведений)

последняя цифра числа 0,468 в 12 степени будет 8*8*...* 8(12 раз) =4*4..*4(6 раз)=..6*..6*...6=6

последняя цифра числа 0,468 в 24 степени будет 8*8*...* 8(24 раз) =...6*...6=6

последняя цифра числа 0,674 в 12 степени будет 4*4*...* 4(12 раз) =6*6..*6(6 раз)=6

последняя цифра числа 0,674в 24 степени будет 8*8*...* 8(24 раз) =...6*...6=6

следовательно

справедливы утверждения А и Г

а число Х=0,645

Дана последовательность натуральных чисел \( x_1,\ x_2,\ \dots \), причем \( 2013^{2012}\leqslant x_1\leqslant2012^{2013} \), x1 не делится на 5, а для всех остальных членов существует формула \( x_{n+1}=x_n+y_n, \) где \( y_n \) - последняя цифра числа \( x_n \). Доказать, что среди членов последовательности \( x_n \) бесконечно много степеней двойки.

Так как ..2+2=...4;

...4+4=..8

..6+6=...2

...8+8...= 6

то последовательность y2, y3, y4, .... является периодичной с периодом 4.

Поэтому для любого n>1 $$ a_{n+4}=a_n+(2+4+6+8)=a_n+20 $$

а для любого t>1 $$ a_{n+4t}=a_n+(2+4+6+8)t=a_n+20t $$

Любое число $$ a_n, n>2 $$ получается имеет вид

$$ a_n=10m+2 $$ либо $$ a_n=10m+4 $$ либо $$ a_n=10m+6 $$ либо $$ a_n=10m+8 $$ где m -некоторое неотрицательное целое число

С двух членов последовательности $$ a_n=10m+2 $$ и $$ a_{n+1}=10m+4 $$ хотя бы одно делится на 4. Запишем его в виде

a_n=4l

Тогда $$ a_{n+4t}=4(l+5t) $$

Среди чисел вида l+5t бесконечно много степеней двойки так как остатки от деления на 5 степеней двойки образуют периодическую последовательность 1,2,4,3,1, ...   и значит, бесконечно много степеней двойки дают при делении на 5 такой же остаток, как и число l

Найди последнюю цифру числа 2 в степени 1889.

Рассмотрим число 2^1889 последняя цифра будет зависеть от двойки в числе 2, так? вспомним степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. д. Видим, что последовательность последних цифр идет в порядке 2, 4, 8, 6 (а потом снова 2 и т. д), а нам нужно узнать, какая из этих цифр будет последней в 1889 степени. для этого делим 1889 на 4 с остатком (делим на 4 потому что у нас в последовательности четыре числа, это те которые 2 4 8 6). остаток 1. первое число в последовательности, это 2. вот. Это значит что 2^1889 будет оканчиваться на 2. 

Найти последнюю цифру числа 3 (в степени 27) + 4 ( в степени 50)