степени » последняя цифра числа степени
  • Найти вероятность того, что последняя цифра квадрата или четвертой степени произвольного целого числа окажется единицей.


    Решение: последняя числа числа может быть

    1 в квадрате 1

    2- в квадрате 4

    3 в квадрате 9

    4 в квадрате 16

    5 в квадрате 25

    6 в квадрате 36

    7 в квадрате 49

    8 в квадрате 64

    9 в квадрате 81

    0 в квадрате 0

    значит только 2 числа в квадрате имеют 1 на конце

    значит 2/10=1/5=20%

    последняя цифра числа может быть

    1 в 4 степени 1

    2 в 4 степени 16

    3 в 4 степени 81

    4 в 4 степени 256

    5 в 4 степени 625

    6 в 4 степени 1296

    7 в 4 степени 2401

    8 в 4 степени 4096

    9 в 4 степени 6561

    значит в 4х случаях на конце будет 1

    значит 4/10=40%

  • Найдите число Х, если известно, что из следующих трёх утверждений два истины, а одно ложно. А).Последняя отличная от нуля цифра десятичнойзаписи числа Х в 12 степени равна 5. Б).Последняя отличная от нуля цифра десятичной записи числа Х в 24 степени равна 4. Г).Х-одно из чисел 0,645 : 0,468 : 0,674


    Решение:

    если Последняя отличная от нуля цифра десятичной записи числа Х в 12 степени равна 5, то Последняя отличная от нуля цифра десятичной записи этого числа Х в 24 степени равна 5*5=..5. т.е. не равняется 4, а значит либо А, либо Б ложное

    далее последняя цифра числа 0,645 в 12 степени будет 5, так 5*5*....5 (12 раз)=....5 (на последнюю цифру влияет толька последняя цифра получаемых произведений)

    последняя цифра числа 0,468 в 12 степени будет 8*8*...* 8(12 раз) =4*4..*4(6 раз)=..6*..6*...6=6

    последняя цифра числа 0,468 в 24 степени будет 8*8*...* 8(24 раз) =...6*...6=6

    последняя цифра числа 0,674 в 12 степени будет 4*4*...* 4(12 раз) =6*6..*6(6 раз)=6

    последняя цифра числа 0,674в 24 степени будет 8*8*...* 8(24 раз) =...6*...6=6

    следовательно

    справедливы утверждения А и Г

    а число Х=0,645

  • Дана последовательность натуральных чисел \( x_1,\ x_2,\ \dots \), причем \( 2013^{2012}\leqslant x_1\leqslant2012^{2013} \), x1 не делится на 5, а для всех остальных членов существует формула \( x_{n+1}=x_n+y_n, \) где \( y_n \) - последняя цифра числа \( x_n \). Доказать, что среди членов последовательности \( x_n \) бесконечно много степеней двойки.


    Решение: По условию последняя цифра числа х1 не 0 и не 5 (иначе делится на 5), а значит цифра y1 равно либо 1,2,3,4,6,7,8 или 9, тогда последняя цифра числа х2 а значит и число y2 равны либо 2, 4, 6, либо 8

    Так как ..2+2=...4;

    ...4+4=..8

    ..6+6=...2

    ...8+8...= 6

    то последовательность y2, y3, y4, .... является периодичной с периодом 4.

    Поэтому для любого n>1 $$ a_{n+4}=a_n+(2+4+6+8)=a_n+20 $$

    а для любого t>1 $$ a_{n+4t}=a_n+(2+4+6+8)t=a_n+20t $$

    Любое число $$ a_n, n>2 $$ получается имеет вид

    $$ a_n=10m+2 $$ либо $$ a_n=10m+4 $$ либо $$ a_n=10m+6 $$ либо $$ a_n=10m+8 $$ где m -некоторое неотрицательное целое число

    С двух членов последовательности $$ a_n=10m+2 $$ и $$ a_{n+1}=10m+4 $$ хотя бы одно делится на 4. Запишем его в виде

    a_n=4l

    Тогда $$ a_{n+4t}=4(l+5t) $$

    Среди чисел вида l+5t бесконечно много степеней двойки так как остатки от деления на 5 степеней двойки образуют периодическую последовательность 1,2,4,3,1, ...   и значит, бесконечно много степеней двойки дают при делении на 5 такой же остаток, как и число l

  • Найди последнюю цифру числа 2 в степени 1889.


    Решение: Ответ заканчивается на 2

    Рассмотрим число 2^1889 последняя цифра будет зависеть от двойки в числе 2, так? вспомним степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. д. Видим, что последовательность последних цифр идет в порядке 2, 4, 8, 6 (а потом снова 2 и т. д), а нам нужно узнать, какая из этих цифр будет последней в 1889 степени. для этого делим 1889 на 4 с остатком (делим на 4 потому что у нас в последовательности четыре числа, это те которые 2 4 8 6). остаток 1. первое число в последовательности, это 2. вот. Это значит что 2^1889 будет оканчиваться на 2. 

  • Найти последнюю цифру числа 3 (в степени 27) + 4 ( в степени 50)


    Решение: Последняя цифра числа - это его остаток от деления на 10.
    Обозначим остаток от деления m на n как $$ m \mod n $$.
    Ещё заметим, что 6 в любой степени оканчивается на 6.

    $$ 3^{27}+4^{50} \mod 10 = 3^{27} \mod 10 + 4^{50} \mod 10 = \\ = (3^3)^9 \mod 10 + (4^2)^{25} \mod 10 = (27 \mod 10)^9 \mod 10 + \\ + (16 \mod 10) ^{25} \mod 10 = 7^9 \mod 10 + 6^{25} \mod 10 = \\ = (7^3)^3 \mod 10 + 6 = (343 \mod 10)^3 \mod 10 + 6 = \\ = (27+6) \mod 10 = 33 \mod 10 = 3 $$
  • Найдите последнюю цифру числа 3 в 100 степени


    Решение:

    3^100=(3^5)^20=243^20=(т.е. 243 оканчивается на 3, значит повторим рассуждение)=(243^5)^4=(...3^4)=(т.е. в 4-ую степень возводится число, оканчивающееся на 3)=...1.
    Ответ: последняя цифра 1.

      Проследим изменение последней цифры при возведении числа 3 в степень:
    3⁰ ---- 1
    3¹ ---- 3
    3² ---- 9
    3³ ---- 27
    3⁴ ---- 81
    3⁵ ---- 243
    3⁶ ---- 729
    3⁷ -----2187
    3⁸ ----- 6461
      Мы видим ЦИКЛИЧЕСКОЕ повторение последней цифры  каждые 4 степени, т.е. 1 будет последней цифрой 4; 8; 12; 16 и т.д. степени.
    (100 - 0) : 4 = 25  БЕЗ ОСТАТКА. Значит, 1 будет последней цифрой и числа 3¹⁰⁰ после 25 циклов.
       (Можно также посчитать сколько циклов пройдет от числа 3⁴ до 3¹⁰⁰.
    100 - 4 = 96; 96 : 4 = 24 (полных цикла). Т.е последняя 3¹⁰⁰ будет такой же, как и у 3⁴, т.е.1)
    Ответ: 3¹⁰⁰ оканчивается на 1.

  • Найдите последнюю цифру числа 3 в 100 степени


    Решение:

    При возведении в степень числа 3, числа в конце чередуются
    повторяясь. 3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243,
    3^6 = 729 и т. д. То есть через каждые 4 числа последняя цифра повторяется. 100 / 4 = 25. Значит это будет четвёртое число, которое оканчивается на 1.
    Ответ. 1

  • Найдите последние цифры степеней числа 2с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19951, 995


    Решение:

    $$ 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, \\ 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128 $$ и т.д.

    Получаем, что двойка в степенях оканчивается на 2, 4, 8, 6, далее снова на 2, 4, 8, 6 и так до бесконечности. Используем  закономерность "четвёрок" этих чисел.

    32 делится на 4, значит 2 в степени 32 заканчивается цифрой 6

    69 не делится на 4, зато 68 делится на 4, получаем $$ 2^{69}=2*2^{68} $$

    Произведение двойки и числа, оканчивающегося на 6 равно 12, т.е. оно оканчивается на 2

    $$ 2^{469}=2*2^{468} $$  468 делится на 4, значит аналогично предыдущему произведение 

    заканчивается цифрой 2

    $$ 2^{1995}=2^3*2^{1992}=8*2^{1992} $$ 

    Произведение 8 и 6 равно 48, значит всё произведение заканчивается на 8

  • Найдите последние цифры степеней числа 2 с показателями равными 32 69 469 1995 19951995


    Решение: 2^1=2
    2^2=4
    2^3=8
    2^4=16
    2^5=32
    2^6=64
    2^7=128
    2^8=256
    заметим,что последние цифры чередуются: 2,4,8,6, 2,4,8,6 каждые четыре повторяются
    значит ответ определяется по остатку от деления на 4
    32 делится 4 без остатка значит 2^32 оканчивается на 6
    69 при делении на 4 даёт остаток 1 значит 2^69 оканчивается на 2
    469 при делении на 4 даёт остаток 1 значит 2^469 оканчивается на 2
    1995 при делении на 4 даёт остаток 3 значит 2^1995 оканчивается на 8
    19951995 при делении на 4 даёт остаток 3 значит 2^19951995 оканчивается на 8

  • Найдите последние цифры степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19 951, 995.


    Решение: Последние цифры степеней числа 2 чередуются в следующем порядке: 2, 4, 8, 6. Это лекго проверить перебором (хотя бы до 9 степени). Пронумеруем этот поряк: 1-2, 2-4, 3-8, 4-6.Для того, чтобы определить какоая цифра будет последней, нужно из порядка степени убрать все четверки, остаток покаже нам последнюю цифру:Показатель 32. 32/4 = 8, остаток 0, следовательно, 2^32 на конце имеет 6-куПоказатель 69. 68/4 = 17, остаток 1, следовательно, 2^69 на конце имеет 2-ку.Показатель 12951995. 12951995/4 = 3237998, остаток 3, след-но на конце 8-ка.И так далее.

1 2 > >>