дроби »

периодическую дробь в обыкновенную

  • Представьте в виде обыкновенной дроби периодическую дробь : 1,(24) 3,2(7)


    Решение: 1) Представим в виде:

    1,(24) = 1 + (0,24 + 0,0024 + 0,000024 +.)

    Выражение в скобках есть сумма беск. убыв. геом. прогрессии с параметрами:

    b1 = 0,24 q = 1/100

    Ее сумма:

    S = b1/(1-q) = 24/99

    Таким образом исходное число:

    1,(24)= 1 целая и 24/99 = 123/99

    2) Аналогично:

    3,2(7) = 3,2 + (0,07 + 0,007+ 0,0007+.)

    b1 = 0,07 q = 0,1

    S = b1/(1-q) = 7/90

    3,2(7) = 32/10 + 7/90 = 295/90 = 59/18 (3 целых и 5/18) 

  • Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: 0,(23) б 0,1(3)


    Решение: 1,(18)=1+0,(18)

    0,(18)=x

    18,(18)=100x

    18+0,(18)=100x

    18+x=100x

    18=99x

    x=18/99

    x=2/11

    0,(18)=2/11

     1,(18)=1+0,(18) =1+2/11=13/11

    2,(27)=7+0,(27)

    0,(27)=x

    27,(27)=100x

    27+0,(27)=100x

    27+x=100x

    27=99x

    x=27/99

    x=3/11

    0,(27)=3/11

     1,(27)=1+0,(27) =1+3/11=14/11

    0,(13)=x

    13,(13)=100x

    13+0,(13)=100x

    13+x=100x

    13=99x

    x=13/99

    0,(13)=13/99

    2,(23)=7+0,(23)

    0,(23)=x

    23,(23)=100x

    23+0,(23)=100x

    23+x=100x

    23=99x

    x=23/99

    x=23/99

    0,(23)=23/99

     2,(23)=2+0,(23) =2+23/99

  • Какие обыкновенные дроби разлагаются в периодические дроби с периодом 0?


    Решение: Существует два способа перевода из периодической дроби в обыкновенную:1) надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода и записать эту разность в числитель, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать 
    столько нулей, скока цифр между запятой и первым периодом: 0,11(6)   116-11 105 7 0,11(6)=-=-=-  900 900 60  235-2 2330.2(35)=- = -  990 990 2)  а) Найдем период дроби, т. е. подсчитаем, сколько цифр находится в периодической части. К примеру, это будет число k.  б) Найдем значение выражения X · 10k  в) Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь.  г) В полученном уравнении найти X. Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.0,11(6)=Хk=110^(k)=1тогда x*10=10*0,116666.=1,166666.10X-X=1,166666.0,116666.=1,16-0,11=1,059X=1,05  105 7X=-=-  900 600.2(35):k=210^k=100100X=0.2353535.*100=23,535353.100X-X=23,535353-0.2353535=23,399x=23,3  233x=-  900

  • Как преобразовать периодическую дробь в обыкновенную ?


    Решение: например, 0,58(3)=0,58+0,003+0,0003.

    здесь у тебя сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т. е.b1=0,003, а b2=0,0003 и т. д.

    теперь можно найти q. q=0.003/0.0003=0.1

    и сама формула суммы бесконечно убывающей прогрессии: S=b1/(1-q)

    S=0.003/0.9=1/300

    возвращаемся в первое выражение 58/100+1/300=175/300=7/12)

  • Записать периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: 7,1(13)


    Решение: 7,1(13)=x

    Домножим это уравнение на столько, чтобы дойти до периода (в нашем случае, на 10)

    71,(13)=10x

    Теперь домножим на столько, чтобы пройти период 1 раз (в нашем случае, на 1000)

    7113,(13)=1000x

    Вычитаем из второго уравнения первое:

      7113,(13)=1000x

    - 71,(13)=10x 

    -

      990х=7042 

    x=7042/990

    x = 7 целых 56/445 

  • Запишите периодические дроби в виде обыкновенной дроби:
    1,(0)
    0,(3)
    0,(7)


    Решение: 1) Ну с первой дробью проблем нет.  1,(0) = 1 = 1/1 - это очевидно.
    2) А вот с другими дробями будет несколько сложнее, придётся с ними повозиться.
    Итак, нам нужно представить 0,(3) в виде обыкновенной дроби. Как я уже сказал, сделать это не совсем просто. Для перевода будет использоваться формула, которую я сейчас напишу во вложениях. Затем мы должны будем просчитать компоненты этой формулы )
    Формулу наверное посмотрели уже ) Сейчас мы будем по очереди считать все эти буковки, чтобы потом подставить их.
    Начнём с того, что Y - это целая часть нашей дроби периодической. У нас она равна 0.
    Вычислим k. Что такое k? k - это число цифр в периоде. У нас одна цифра в периоде(3), поэтому k = 1.
    Вычисляем теперь m - это число цифр в дробной части, не входящих в период. Видим, что в дробной части у нас только период, поэтому m = 0.
    Вычисляем a. Это ни что иное, как натуральное число, образованное всеми цифрами дробной части. Иначе говоря, берём все цифры в дробной части(из периода тоже берём), записываем их как они написаны, это и есть а. В нашем случае а = 3. А b - это число, образованное цифрами дробной части, не входящими в период!
    b = 0 - это вполне очевидно.
    Теперь записываем формулу, считаем и получаем искомую обыкновенную дробь:
    X = 0 + (3-0)/9 = 3/9 = 1/3 - это и есть ответ.
    Проверить легко: разделим числитель на знаменатель, получим 0.3333333333. то есть 0,(3)

  • Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: а) 0,(7) б) 7,5(4) в) 1,0(12)


    Решение: Воспользуемся правилом перевода:
    Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем; в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать 
    столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом. т, е
    1)0,(7)=(7-0)/9=7/9

    2)7,5(4)=(754-75)/90=679/90

    3)1,0(12)=(1012-10)/990=1002/990=167/165

  • Запишите периодическме дроби в виде обыкновенной дроби:1)0,(3);0,2(5);7,(36)
    2)7,2(23);4,2(25);1,0(27);
    3)10,21(4);-2,1(12)
    4)0,(312);0,0(2)


    Решение: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
    $$ b_1+b_1q+.+ = \frac{b_1}{1-q} \\ 1)0,(3)=0,3333333.=0,3+0,03+0,003+.= \frac{0,3}{1-0,1}= \frac{3}{9}: \\ \\ 0,2(5)=0,2555555.=0,2+0,05+0,005+.=0,2+ \frac{0,05}{1-0,1}= \\ \\ =0,2+ \frac{5}{90}= \frac{23}{90} ; \\ \\ 7,(36)=7,363636.=7+0,36+0,0036+.=7+ \frac{0,36}{1-0,01}=7+ \frac{36}{99}= \\ \\ =7 \frac{36}{99}=7 \frac{4}{11} $$
    Есть правило: Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из «девяток» и «нулей», причем, «девяток» столько, сколько цифр в периоде, а «нулей» столько, сколько цифр после запятой до периода.
    В первом примере
     1) 0, (3). В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой (3) и числом после запятой до периода дроби (0). В периоде одна цифра, а после запятой до периода ни одной, поэтому знаменатель будет состоять из одной девятки  (9).
    $$ 0,3= \frac{3-0}{9}= \frac{3}{9} $$
    0, 2(5). В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой (25) и числом после запятой до периода дроби (2). В периоде одна цифра, а после запятой до периода одна, поэтому знаменатель будет состоять из одной девятки и одного нуля  (90).
    $$ 0,2(5)= \frac{25-2}{90}= \frac{23}{90} $$
    7,(36)В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой (36) и числом после запятой до периода дроби (0). В периоде две цифры, а после запятой до периода ни одной, поэтому знаменатель будет состоять из двух девяток   (99).
    $$ 7,36=7 \frac{36-0}{99}=7 \frac{4}{11} \\ 2)7,2(23)=7 \frac{223-2}{990} =7 \frac{221}{990} ; \\ \\ 4,2(25)=4 \frac{225-2}{990}=4 \frac{223}{990} ; \\ \\ 1,0(27)=1 \frac{027-0}{990}=1 \frac{27}{990} =1 \frac{3}{110} \\ 3)10,21(4)=10 \frac{214-21}{900}=10 \frac{193}{900};\\ \\-2,1(12)=-2 \frac{112-1}{990}=-2 \frac{111}{990}=-2 \frac{37}{330} \\ 4)0,(312)= \frac{312-0}{999}= \frac{312}{999}= \frac{104}{333}; \\ \\ 0,0(2) = \frac{02-0}{90}= \frac{2}{90}= \frac{1}{45} $$

  • запишите периодическую дробь в виде обыкновенной 0,(27) ответ 3//11 1,0(1) ответ 1 1//90 1,5(4) ответ 1 49//90 8,7(5) ответ 8 34//45


    Решение: х = 0,(27) <=> 100х = 27,(27) <=> 100х - 27 = 0,(27) <=> 100х - 27 = х <=> 99х = 27 <=> х = 27/99 = 3/11

    х = 1,0(1) <=> 10х - 10 = 0,(1) <=> 0,(1) = y, 10x - 10 = y <=> 10y - 1 = y, x = (y + 10)/10 <=> y = 1/9 => x = 91/90 = 1 1/90

    x = 1,5(4) <=> 10x - 15 = 0,(4) <=> 0,(4) = y, 10x - 15 = y <=> 10y - 4 = y, x = (y + 15)/10 <=> y = 4/9 => x = 139/90 = 1 49/90

    x = 8,7(5) <=> 10x - 87 = 0,(5) <=> 0,(5) = y, 10x - 87 = y <=> 10y - 5 = y, x = (y + 87)/10 <=> y = 5/9 => x = 788/90 = 8 34/90

  • Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной:
    1) 1,0(1)
    2)1,5(4)
    3)8,7(5)
    4)-3,(31)
    5)2,2(02)
    6)0,(123)


    Решение: 1) 1,0(1) = 1 1/90

    2) 1,5(4) = 1 49/90

    3)8,7(5)  = 8 68/90

    4) -3,(31) = -3 31/99

    5) 2,2(02) = 2  200/990= 2 20/99

    6)0,(123) = 123/999

    1) 1,0(1)= 1+1/90 =1 1/90
    2) 1,5(4) =1 +1/2 +4/90 = 1+45/90+4/90 =1+49/90= 1 49/90
    3) 8,7(5) = 8+7/10 + 5/90 = 8+63/90 +5/90 = 8 68/90 = 8 34/45
    4) - 3,(31) = -(3+31/99) = - 3 31/99
    5) 2,2(02) = 2+1/5 +2/990 =2+990/4950 + 10/4950 = 2+1000/4950 =
     = 2 1000/4950= 2 20/99
    6)0,(123)= 123/999

1 2 3 > >>