числа »

иррациональное число - страница 2

  • 0-это иррациональное число? что вообще такое рациональные, иррациональные числа?


    Решение: Рациональные числа это те числа, которые можно представить в виде десятичной дроби. у которой числа после запятой повторяются.

    Иррациональные это те числа которые нельзя представить в виде дроби и числа после запятой у них не повторяются 

    также иррациональные числа это такие числа из которыех не извлекается корень

    корень из двух, трех, пяти

    ноль-это рациональное число

  • Придумайте 8 различных иррациональных чисел из интервала (-1;0) произведение которых рациональное число решите


    Решение: Рациональное число -это дробь.
    например: -1/2 -2/3 -4/5.
    иррациональные числа -это бесконечные непериодические десятичные дроби)))
    например: -1/√2 -2/√3 -√2 / 3 -4/√5
    -
    (-1/√2)*(-√2 / 3)*(-√3 / 4)*(-1/√3)*(-√5 / 7)*(-2/√5)*(-√7 / 3)*(-1/√7) = 
    = (2*√2 * √3 * √5 * √7) / (3*3*4*7√2 * √3 * √5 *√7) = 1 / (18*7) = 1/126

  • Придумайте 4 различных иррациональных чисел из интервала (1;2), произведение которых- рациональное число.


    Решение: Будем искать эти числа в виде q√3, где q - рациональное число. Понятно, что каждое такое число иррационально, а произведение четырех таких чисел будет всегда рациональным.
    Чтобы выполнялось условие 1<q√3<2, т. е. 1<3q²<4, необходимо 1/√3<q<2/√3. Т. к. 1/√3=0,577. и 2/√3=1,15. то достаточно взять q₁=3/5=0,6; q₂=2/3=0,66.; q₃=4/5=0,8; q₄=1. Итак, получаются числа
    (3√3)/5; 2/√3; (4√3)/5; √3. Их произведение равно 3*2*3*4/25=72/25.

  • Придумайте 10 различных иррациональных чисел из интервала (0; 1), произведение которых - рациональное число


    Решение: Все они меньше 1 и иррациональны $$ \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{7}},\frac{1}{\sqrt{11}},\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{3}},\frac{1}{2\sqrt{5}},\frac{1}{2\sqrt{7}},\frac{1}{2\sqrt{11}}. $$ Очевидно, при произведении 1-ого и 6-го, 2-го и 7-го и т. д. чисел корни сократятся.  Т. е. произведение всех 10 чисел - рациональное число.

  • При каких целых значениях а квадратное уравнение
    ax^2+24x+11=0
    имеет рациональные корни, сумма которых целое число?


    Решение: При каких целых значениях а квадратное уравнение
    ax^2+24x+11=0
    D=576-44a>0
    44a<576
    a<144/11 - при таких а корни есть вообще
    делаем уравнение приведенным
    x^2+24/ax+11/a=0
    Чтобы сумма рациональных корней была целой, нужно чтобы -24/а - было целым, по теореме Виета
    возможные варианты:
    а=+-24;+-4;+6;+-8;+-12
    вариант +-1 отпадает, т. к. тогда дискриминант не будет полным квадратом
    D=576-44a
    подбираем а, когда D - полный квадрат
    +-24 - нет,4 - нет, +-6 - нет, +-8  -нет, +-12  -нет
    остается а=4
    при а=4 это квадратное уравнение имеет рациональные корни, сумма которых целое число

  • 1) Какие числа называются иррациональными числами ?
    2) Какие числа называются десятичными приближениями иррационального числа по недостатку и по избытку?
    3) Докажите что√2 не является рациональным числом
    4) Какие числа называются действительными числами?
    5) Какое множество называется множеством действительных чисел?
    6) Как обозначаются множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел? Изобразите их кругами Эйлера.


    Решение: 1) Иррациональные - это числа, которые нельзя выразить дробью a/b с целыми числителем и знаменателем.
    2) Десятичные приближения по недостатку и по избытку - это десятичные дроби, между которыми заключено иррациональное число. Возьмём, например, √3~1,732. Его приближением до сотых долей по недостатку будет 1,73, а по избытку 1,74.
    3) Классическое доказательство. Если √2 рационально, то его можно выразить несократимой дробью √2=a/b. Возведем все в квадрат. 2=a^2/b^2. То есть 2b^2=a^2. Теперь рассуждаем. Слева чётное число, значит a тоже чётное. Но чётный квадрат всегда делится на 4. Значит, b^2 тоже чётный. Но тогда а и b оба четные и дробь a/b можно сократить. Но мы условились, что дробь несократима. Противоречие. Значит, число √2 нельзя выразить дробью, то есть оно иррациональное.
    4) Действительные - это все числа, и рациональные и иррациональные.
    5) Действительные числа можно представить в виде точек на координатной прямой, причём это все точки на прямой.
    6) Натуральные N, целые Z, рациональные Q, действительные R. Круги Эйлера: действительные - самый большой круг, рациональные внутри, целые внутри рациональных, натуральные внутри целых.

  • Запишите четыре числа:
    а) натеральных. б) положительных.
    в) отрицательных. г) целых.
    д) рациональных. е) иррациональных.
    ж) четных. з) нечетных.
    и) простых. к) составных.
    л) кратных 3. м) кратных 2 и 5.


    Решение: б)1,2,3,4

    в)-1,2,3,4

    Г)4,5,9,10

    ж)2,4,6,8

    з)1,3,5,7

    л)3,9,6

    М)10,20,30,40 

    а) Натуральные числа: 1; 2; 3; 4.

    б) Положительные числа: 5; 6; 7; 8.

    в) Отрицательные числа: -1; -2; -3; -4.

    г) Целые числа: 9; 10; 11; 12.

    д) Рациональные числа - это положительный и отрицательные (целые и дробные) и ноль.

    ж) Четные числа: 2; 4; 6; 8.

    з) Нечетные числа: 3; 5; 7; 9.

  • Укажите множество действительных чисел, соответствующее записи:
    A = {х : 3х - 2 > 0}
    B = {х : х^2 + х + 1 > 0}
    X = {х : -3 ≤ x < 9, х ∈ Z}
    M = {х : 5 ≤ x ≤ 6, х ∈ N}
    C = {х : х^2 - 5х + 6 = 0}
    Y = {х : х^2 - 3х - 4 ≤ 0}
    Из курса школы известны следующие числовые множества:
    N – множество натуральных чисел,
    Z – множество целых чисел,
    Q – множество рациональных чисел,
    R – множество действительных (вещественных) чисел;
    I – множество иррациональных чисел.
    Приведите примеры этих множеств с подробным решением


    Решение: 1
    3x-2>0⇒3x>2⇒x<2/3
    x∈(2/3;∞)
    2
    x²+x+1>0
    D=1-4<0⇒при любом х выражение больше 0
    x∈(-∞;∞)
    3
    -3≤x<9,x∈Z
    x={-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8}
    4
    5≤x≤6,x∈N
    x={5;6}
    5
    x²-5x+6=0
    x1+x2=5 U x1*x2=6⇒x1=2 U x2=3
    x={2;3}
    6
    x²-3x-4≤0
    x1+x2=3 U x1*x2=-4⇒x1=-1 U x2=4
       +  _  +
    -[-1]-[4]-
    x∈[-1;4]
    {2;7;13;25;.}∈N
    {-8;-1;0;3;7,}∈Z
    {-11;-3 7/12;0,5/21;4,9,}∈Q
    {-√2;√5,7;∛1,1,}∈I
    {-√7;-8,5,0,1/3;5;∛17’}∈R

  • Приведите пример числа которое:
    а) является рациональным, но не является целым
    б) является целым, но не является натуральным
    в) является действительным, но не является рациональным
    г) является действительным, но не является иррациональным


    Решение: А) Рациональное число - такое, которое можно выразить отношением двух целых чисел. Например, дробь 1/2 - рациональное, но не целое число.
    б) К целым числам, помимо натуральных, относятся им противоположные и нуль. Например, число -5 будет целым и не натуральным.
    в) Не является рациональным - не выразимо в виде отношения целых чисел. Например, корень из 2 - действительное иррациональное.
    г) А например число 0,(3), оно же 1/3, является действительным рациональным

  • Ответьте на вопросы:
    1) Может ли сумма двух действительных чисел быть
    рациональным числом, а разность – иррациональным? Обоснуйте свой ответ.
    2) Может ли произведение двух иррациональных чисел быть
    рациональным числом? Обоснуйте свой ответ.
    3) Может ли разность двух действительных чисел быть
    рациональным числом, а сумма – иррациональным? Обоснуйте свой ответ.
    4) Может ли частное двух иррациональных чисел быть
    рациональным числом? Обоснуйте свой ответ.


    Решение: 1. Да. Например, одно число 5 - sqrt 3, второе 5 + sqrt 3.
    2. Может. Приводим такой пример: √2,√8. Их произведение: √2*√8=√2*8=√16-4
    3. да. Если х -иррациональное число, то х - х = 0, 0 - число рациональное.
    4. Конечно. Пусть R - иррациональное, а a и b - целые. Тогда aR и bR - тоже иррациональные. Однако: 
    aR/bR=a/b

<< < 12 3 > >>