график функции » график касательной к функции
  • 1. Найти сумму целых решений неравенства \( (x-1)(x+2)(x-4) ^{2} \leq 0 \)
    2. Укажите абсциссу точки графика функции \( y=5+4x- x^{2} \), в которой угловой коэффициент касательной равен 3
    3. Найти наибольшее значение функции \( y=2,7*e ^{3 x^{2} - x^{3}-4 } \) на отрезке [1;3]
    4. Вычислите \( (3,4 \sqrt[3]{25 \sqrt{5} }+1,6 \sqrt{5 \sqrt[3]{25} } ^{ -\frac{6}{11} } \)


    Решение: 1.
    $$ (x-1)(x+2)(x-4) ^{2} \leq 0, \\ (x-1)(x+2)(x-4) ^{2} = 0, \\ x_1=-2, x_2=1, x_3=4, \ (x-4) ^{2} \geq 0, (x-1)(x+2) \leq 0, \\ -2 \leq x \leq 1, \ x\in[-2;1]\cup\{4\}; -2+(-1)+0+1+4=2. $$
    2.
    $$ y=5+4x- x^{2}, k=y’_{x_0}=3, \\ y’=4-2x, \\ 4-2x_0=3, \\ x_0=0,5. $$
    3.
    $$ y=2,7e ^{3 x^{2} - x^{3}-4 }, x\in[1;3], \\ y’=2,7e ^{3 x^{2} - x^{3}-4 }\cdot(6x-3x^2), \\ y’=0, \\ 8,1e ^{3 x^{2} - x^{3}-4 }\cdot x(2-x)=0, \\ e ^{3 x^{2} - x^{3}-4 }>0, \\ \left[ {{x=0,} \atop {x=2;}} \right. $$
    $$ x=1, y=2,7e ^{3\cdot1^{2}-1^{3}-4}=2,7e^{-2}, \\ x=2, y=2,7e ^{3\cdot2^{2}-2^{3}-4}=2,7 \\ x=3, y=2,7e ^{3\cdot3^{2}-3^{3}-4}=2,7e^{-4}, \\ \max\limits_{x\in[1;3]}y=2,7;\min\limits_{x\in[1;3]}y=2,7e^{-4}. $$
    4.
    $$ (3,4 \sqrt[3]{25 \sqrt{5} }+1,6 \sqrt{5 \sqrt[3]{25} }) ^{ -\frac{6}{11} } = (3,4 \sqrt[3]{5^2 \sqrt{5} }+1,6 \sqrt{5 \sqrt[3]{5^2} }) ^{ -\frac{6}{11} } = \\ = (3,4 \sqrt[3]{ \sqrt{5^4\cdot5} }+1,6 \sqrt{ \sqrt[3]{5^3\cdot5^2} }) ^{ -\frac{6}{11} } =(3,4 \sqrt[6]{ 5^5}+1,6 \sqrt[6]{5^5 }) ^{ -\frac{6}{11} } = \\ = (5\sqrt[6]{5^5 }) ^{ -\frac{6}{11} } = (5\cdot5^{ \frac{5}{6} }) ^{ -\frac{6}{11} } = (5^{ \frac{11}{6} }) ^{ -\frac{6}{11} } =5^{-1}= \frac{1}{5}= 0,2. $$

  • Определите какой угол образует с осью х касательная,проведенная к графику функций y=f(x) в точке с абсциссой х=а,если
    1) f (x)=-3х(в кубе),а=1\3
    2) f (x)=0,2x(в 5 степени),а=-1
    3) f (x) =- 0,25x(в 4 степени), а=0
    4) f (x) = -7x(в кубе)+10х(в квадрате) +х-12, а=0
    5) f (x)= 2x-1\3-2x,a=1\2
    6) f (x)=x-1\x-2, a=1


    Решение: 1) f (x)=-3х³,а=1\3
    f`(x)=-9x²  f`(1/3)=-9*1/9=-1  tga=-1  a=135
    2) f (x)=0,2x(в 5 степени),а=-1
    f`(x)=x^4  f`(-1)=1  tga=1  a=45
    3) f (x) =- 0,25x(в 4 степени), а=0

    f`(x)=-x³  f`(0)=0  tga=0  a=0
     4) f (x) = -7x³+10х² +х-12, а=0
    f`(x)=-21x²+20x+1  f`(0)=1  tga=1  a=45
     5) f (x)= 2x-1\3-2x,a=1\2
    f`(x)=(6-4x+4x-2)/(3-2x)²=4/(3-2x)²  f`(1/2)=4/4=1  tga=1  a=45
     6) f (x)=x-1\x-2, a=1
    f`(x)=(x-2-x+1)/(x-2)²=-1/(x-2)²  f`(1)=-1/1=-1  tga=1  a=135




  • Является ли прямая y=3x-3 касательной к графику функции y=x-1/× (X во второй степени)


    Решение:


    $$ f(x)=x- \frac{1}{x^2} $$ функция
    $$ y(x)=3x-3 $$ прямая
    Не знаю как учили это решать. Попробую объяснить как я рассуждал.
    Чтобы уравнение прямой являлось уравнением касательной в некоторой точке x0 должны выполняться соотношения:
    $$ f(x_{0})=y(x_{0}) $$ (3)
    $$ f^{’}(x_{0})=y^{’}(x_{0})=k $$ (4)
    Напоминаю, что общий вид одного из видов уравнений прямой
    $$ y(x)=k*x+b $$
    У нас к=3, вот от этого пляшем
    $$ f^{’}(x)=1+2 \frac{1}{x^3} $$
    Приравниваем эту производную к 3 и смотрим есть ли вообще такие точки, где (4) выполняется
    $$ f^{’}(x)=1+2 \frac{1}{x^3}=3 $$
    $$ \frac{1}{x^3}=1 $$
    $$ x^{3} =1 \\ x=1 $$
    Есть, хорошо проверяем (3)
    $$ f(1)=1-\frac{1}{1^2} =1-1=0 \\ y(1)=3*1-3=0 $$
    условия выполнены, значит данное уравнение прямой, является уравнением касательной для функции f(x) в точке с координатами(1;0)

    f x x- frac x функция y x x- прямаяНе знаю как учили это решать. Попробую объяснить как я рассуждал.Чтобы уравнение прямой являлось уравнением касательной в некоторой точке...