график функции »

уравнения касательной к графику функции

  • Решить уравнения касательной, y=x в кубе-3х в квадрате+3х х(0)=2 y=3x в четвертой степени-6х в квадрате+2 х(0)=-2 y=x вкубе-3х+1 х(0)=1


    Решение: 1)y=2^3-3*2^2+3*2+(3*2^2-6*2+3)(x-2)=3x-4

    2)y=3*(-2)^4-6*(-2)^2+2+(12*(-2)^3-12*(-2))(x+2)=-62x-98

    3)y=1^3-3*1+1+(3*1^2-3)(x-1)=-1

    1) у = х³ - 3 х² + 3х, х₀ = 2

    y’ = 3x² - 6x + 3,   y’(2) = 12 - 12 + 3 = 3

    y(2) = 8 - 12 + 6 = 2

    y = 2 + 3(x-2) = 2 + 3x -6 = 3x-4

      Ответ: у = 3х-4

    2) у = 3х⁴ - 6х² + 2, х₀ = -2

    y’ = 12x³ - 12x,   y’(-2) = -96 + 24 = -72

    y(-2) = 48 - 24 + 2 = 26

    y = 26 - 72(x+2) = 26 -72x -144 = -72x -118

    Ответ: у = -72х - 118

    3) у = х³ - 3х + 1,   х₀ = 1

    y’ = 3x² - 3,   y’(1) = 0

    y(1) = 1 - 3 + 1 = -1

    y = -1 + 0(x-1) = -1

    Ответ: у = -1

  • Касательная, проведённая к графику функции y = 2x^3 - 6x^2 + 7x - 9 в некоторой точке, образует с положительным направлением оси Ox угол 45°.
    1) Найдите координаты точки касания;
    2) составьте уравнение касательной.


    Решение: 1) угловой коэффициент касательной k=tg45=1

    определим координаты точки касания

    y’=6x^2-12x+7 и приравняем 1

    6x^2-12x+7=1

    6x^2-12x+7-1=0

    x^2-2x+1=0 x=1

    подставим х=1 в уравнение ф-ии и определим у(1)

    у(1)=2-6+7-9=-6

    координаты точки касания (1;-6)

    2) уравнение касательной (см. пред. задачу)

    у+6=х-1

  • Касательная, проведенная к графику функции у = 2х в3степени - 6х в2степени + 7х - 9
    Касательная, проведенная к графику функции у = 2х в3степени - 6х в2степени + 7х - 9 в некоторой точке, образует с положительным направлением оси Ох угол 45°. а) Найдите координаты точки касания; б) составьте уравнение касательной.


    Решение: Пусть касательная проведена в точке (a;y0)
    Y = y(a) + y’(a)*(x - a) - уравнение касательной
    Т. к. угол между положительным направлением оси Ох и касательной составляет α=45 градусов, значит: k = tgα = tg(45) = 1 - коэффициент при х в уравнении касательной.
    y(a) = 2a^3 - 6a^2 + 7a - 9
    y’(a) = 6a^2 - 12a + 7
    Y = 2a^3 - 6a^2 - 7a - 9 + x*(6a^2 - 12a + 7) - a*(6a^2 - 12a + 7) =  x*(6a^2 - 12a + 7) + 2a^3 - 6a^2 - 7a - 9 - 6a^3 + 12a^2 - 7a = x*(6a^2 - 12a + 7) - 4a^3 + 6a^2 - 14a - 9
    6a^2 - 12a + 7 = 1
    6a^2 - 12a + 6 = 0
    a^2 - 2a + 1 = 0
    (a - 1)^2 = 0, a=1
    y(1) = 2 - 6 + 7 - 9 = -6
    Координаты точки касания: (1; -6)
    Уравнение касательной: Y = x - 4 + 6 - 14 - 9 = x - 21

  • составьте уравнение касательных к графику функции y=x^4-2x^2-3 в точках его пересечения с осью абсцисс. Найдите координаты пересечения этих касательных


    Решение: Y ’ = 4X^3 - 4X 

    Y’’ = 12X^2 - 4

    /////////////////////////////////////

    12X^2 = 4

    X^2 = 4/12

    X = 2 V 1\12 ( V - корень)

    Y = X^4 - 2X^2 - 3

    Y = (2 V 1/12) ^4 - 2 * (2 V 1/12) ^ 2 - 3 = 16\144 - 4\6 - 3 = 1\9 - 2\3 - 3 = - 5\9 - 3 = - 3 5\9