исследовать на экстремум функцию

Нужно перечислить все основные свойства функций: y=(x-2) в 4 степени, y=0.5sinx+2 y=0.5cosx+2 y=-(x+2)в 4степени.

1)Четная

2)Определена на всей области определения

3)Вершина в точке (2;0) 
4)Ветви направлены вверх. 
5)До x<2 убывает. 
6)При x>4 возрастает.

б)0.5sinx+2

1) Определена на всей области определения

2) Нечетная

3) Периодическая

4) Возрастает и убывает

5) Знакопостоянна на промежутках

6) Непрерывна

7) График называеться синусойдой

в)y=0.5cosx+2

1)Определена на всей области определения

2)Четная

3)Периодическая

4)Область значений  отрезок [ 1,5; 2,5]; 
5)Убывает на промежутках [KeZ; п+2пk] и возрастает на промежутках [п+2пk;KeZ] 

Г)y=-(x+2)в 4 степени.

1)Определена на всей области определения

2) Вершина в точке (-2;0)

3)Возростает (-бесконечности;-2);

4)Убывает (-2;+бесконечности);

5)Ветви направлены в низ

6) Область значений (0;-бесконечности)

7) Ость оссимптот: x=-2

8)Наибольшее значение при y=0; x=-2

9) Наименьшего значения не существует

Исследуйте на максимум и минимум функцию: А) Х В ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ - 8Х ВО ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

Исследовать функцию \( у=4^2-x^4 \)

1. Решите тригонометрическое уравнение: 2cos^2-5sinx+1=0

2.Исследовать функцию на возрастание, убывание и экстремумы: f(x)=2x^3-1/2x^4-8

3.Решите показательное неравенство: (2/3)^2x+3<=4,5^x-2

5.Разделить число z1=-2+I на число z2=1-I

6.Написать уравнение касательной к графику функции f(x)=x^2-2x в точке с абсциссой x0=3

1) 2cos^2 x - 5sin x + 1 = 0
2 - 2sin^2 x - 5sin x + 1 = 0
-2sin^2 x - 5sin x + 3 = 0
2sin^2 x + 5sin x - 3 = 0
Квадратное уравнение относительно sin x
D = 5^2 - 4*2(-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2
sin x = (-5 - 7)/4 = -12/4 = -3
Решений нет
sin x = (-5 + 7)/4 = 1/2
x = (-1)^k*pi/6 + pi*k

2) f(x) = (2x^3 - 1) / (2x^4 - 8)
f ’ (x) = [6x^2*(2x^4 - 8) - (2x^3 - 1)*8x^3] / (2x^4 - 8)^2 =
= (12x^6 - 48x^2 - 16x^6 + 8x^3) / (2x^4 - 8)^2 = (-4x^6 + 8x^3 - 48x^2) / (2x^4 - 8)^2 = 0
Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет.
-4x^6 + 8x^3 - 48x^2 = 0
Делим всё на -4
x^6 - 2x^3 + 12x^2 = 0
а) x1 = x2 = 0; f(0) = (-1)/(-8) = 1/8
Но производная отрицательна и при x < 0, и при x > 0.
Поэтому x = 0 - критическая точка, но не экстремум, а точка перегиба.
Потому что в ней f ’’ (x) = 0

б) x^4 - 2x + 12 = 0
Это уравнение действительных корней не имеет

в) У функции ещё есть точки разрыва
2x^4 - 8 = 0
x^4 - 4 = 0
x1 = -√2
x2 = √2
Но производная все равно отрицательна при всех x, кроме точек разрыва.
Ответ: функция убывает на всей области определения.

3) (2/3)^(2x+3) <= (9/2)^(x-2)
(2/3)^(2x) * (2/3)^3 <= (9/2)^x * (2/9)^2
(4/9)^x * 8/27 <= (9/2)^x * 4/81
(4/9 * 2/9)^x <= (4/81) * (27/8)
(8/81)^x <= 1/6
Основание 0 < 8/81 < 1, поэтому график убывает.
При переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется
$$ x \geq log_{8/81} (1/6) = \frac{lg(1/6)}{lg(8/81)} =\\= \frac{-lg(6)}{lg(8) - lg(81)}= \frac{lg(2)+lg(3)}{4lg(3)-3lg(2)} $$

5) $$ \frac{z1}{z2}= \frac{-2+i}{1-i} = \frac{(-2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{-2+i-2i+i^2}{1-i^2}=\\= \frac{-3-i}{2}=-1,5-0,5i $$

6) f(x) = x^2 - 2x; x0 = 3
f(x0) = 3^2 - 2*3 = 9 - 6 = 3
f ’ (x) = 2x - 2
f ’ (x0) = 2*3 - 2 = 4
Уравнение касательной
y = f(x0) + f ’ (x0)*(x - x0) = 3 + 4(x - 3) = 3 + 4x - 12
y = 4x - 9

Установить, четной или нечетной является функция: y=3x в 6 степени+x во 2-й степени y=8x в 5 степени -х

f(-x) = 3(-x)⁶ + (-x)² = 3x⁶ + x² = f(x) - функция чётная

f(-x) = 8(-x)⁵ - (-x) = -8x⁵ + x = -(8x⁵ -x) = -f(x) - условие нечётности функции

у=3х в 6 ст.+х в 2 ст.

у=3*(-х)в 6 ст.+(-х)в 2 ст.=3х в 6 ст. +х в 2 ст.

чётная функция

у=8х в 5 ст.-х

у=8* (-х)в 5 ст.-(-х)=-8х+х

не чётная 

Докажите, что функция является чётной1)y=-xв4 степени+8xв квадрате
2)y=xв кубе- 1:x дробью

функция четная если f(x)=f(-x)
1)y=-xв4 степени+8xв квадрате
f-(x)=-(-x)^4+8(-x)^2=-x^4+8x^2=f(x) четная
2)y=xв кубе- 1:x дробью
f(-x)=((-x)^3-1)/(-x)=-(x^3+1)/-x=(x^3+1)/x не четная и не неяетная

Исследовать на максимум и минимум функцию y= -x(в4 степени)+2x(во 2 степени)+1

y=-x^4 +2x^2+1

Чтобы найти точки экстремума, нужно найти производную и приравнять к 0

y’=-4x^3+4x

y=0

-4x^3+4x=0

x^3-x=0

x(x^2-1)=0

x(x-1)(x+1) = 0

x = 0, x=1, x=-1 - точки экстремума,в которых производная меняет знак

Если y’ меняет знак с "+" на "-", то это точка максимума, если с "-" на "+", то точка минимума

y’=-4x^3+4x = -x(x-1)(x+1)

y’>0 при х (-∞;1) и (0;1)
y’<0 при х (-1;0) и (1;+∞)
Следовательно, x=-1 и x=-1 -точки максимума

x=0 -точка минимума

Найдите точку минимума функции y=(13-x)*e в степени 13-x

Определить четная или не четная функция.: y=3х(во второй степени)+1 y=3х( в второй степени)+х; y=5х (втретьей степени) y=5х( в третьей степени)+х

Функция является нечетной если y(-x)=-y(x).

1) y(x)=3x^2+1

y(-x)=3(-x)^2+1=3x^2+1;

y(-x)=y(x), значит функция является чётной.

2)y(x)=3x^2+x

y(-x)=3(-x)^2+(-x)=3x^2-x.

Чётность функции определить нельзя.

3) y(x)=5x^3

y(-x)=5(-x)^3=-5x/

y(-x)=-y(x), значит функция является нечётной.

4) y(x)=5x^3+1

y(-x)=5(-x)^3+1=-5x^3+1.

Чётность функции определить нельзя.

1) Тело движется по прямой так что расстояние S от начальной точки
изменяется no закону S = 3t + t^2 (м), где t - время движения в секундах.
Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.
2) Найти точки экстремума функции f(x) = 3 + 7x - 4х^2
3) Тело движется по прямой так, что расстояние S ( в метрах) от него до
точки В этой прямой изменяется по закону S(t) = 2t^3 - 6t^2 + 6 (t - время
движения в секундах). Чему будет равно ускорение, через 2 секунды
движения?
4) Дана функция f(x) = 2x^2 - х + 1. Найти координаты точки ее графика, в котором угловой коэффициент касательной к нему равен 7.
5) Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба f(x) = 2х^3 + 9x^2 - 24x.