среднее арифметическое »

среднее арифметическое среднее геометрическое

  • Даны два положительных числа найти их средние величины среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее квадратичное 2,4 8,3 1,5 4,6


    Решение: 2 и 4
    $$ M= \frac{2+4}{2}=3; G= \sqrt{2*4}=2 \sqrt{2};A_{-1}= \frac{2}{ \frac{1}{2}+\frac{1}{4} }= \frac{8}{3};S= \sqrt{\frac{ 2^2+4^2}{2}}= \sqrt{10} $$
    8 и 3
    $$ M=\frac{8+3}{2}= \frac{11}{2} ; G= \sqrt{8*3}=2 \sqrt{6};A_{-1}= \frac{2}{\frac{1}{8}+\frac{1}{3}}= \frac{48}{11}; \ S=\sqrt{\frac{ 8^2+3^2}{2}}=\sqrt{ \frac{73}{2} } $$
    1 и 5
    $$ M=\frac{1+5}{2}=3; G= \sqrt{1*5}=\sqrt{5};A_{-1}= \frac{2}{1+\frac{1}{5}}= \frac{5}{3};S=\sqrt{\frac{1^2+5^2}{2}}=\sqrt{13} $$
    4 и 6
    $$ M=\frac{4+6}{2}=5; G= \sqrt{4*6}=2\sqrt{6};A_{-1}= \frac{2}{ \frac{1}{4} +\frac{1}{6}}= \frac{24}{5}; \ S=\sqrt{\frac{4^2+6^2}{2}}=\sqrt{26} $$

  • найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел: 1) 12 и 3 2) 0,6 и 5,4 (напишите еще как вы их искали)


    Решение: Среднее арифметическое набора чисел — это сумма всех чисел в этом наборе, делённая на их количество.

    Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.

    1) Sa = (12 + 3) / 2 = 7,5; Sg = корень из (12 * 3) = 6

    2) Sa = (0,6 + 5,4) / 2 = 3; Sg = корень из (0,6 * 5,4) = 1,8

  • Среднее арифметическое 2-х чисел 20 а их среднее геометрическое 12. Найдите эти числа.


    Решение: (x+y):2=20⇒x+y=40
    √xy=12⇒xy=144
    Применим теорему Виета
    х=4 и у=36 или х=36 и у=4

    Числа х и y
    Система уравнений
    ( х + y ) : 2 = 20
    V xy = 12 ( где знак V корень квадратный )
    Решение
    Х + y = 40
    Y = 40 - X
    V x( 40 - X ) = 12
    40x - x^2 = 144
    X^2 - 40x + 144 = 0
    D = 1600 - 576 = 1024 ; V 1024 = 32
    X1 = ( 40 + 32 ) : 2 = 36
    X2 = ( 40 - 32 ) : 2 = 4
    y1 = 40 - 36 = 4
    y2 = 40 - 4 = 36
    Ответ числа 36 и 4 ( или 4 и 36 )

  • Среднее арифметическое двух положительных чисел равно 7,5. Среднее геометрическое этих чисел составляет 80% от среднеарифметического. Найдите эти числа.


    Решение: $$ \left \{ \frac{x+y}{2}=7,5 \atop {\sqrt{xy}=0,8\frac{x+y}{2}} \right. \\ \left \{ {x+y=15} \atop \sqrt{xy}=0,4(x+y) \right. \\ \left \{ {x+y=15} \atop \sqrt{xy}=0,4*15 \right. <=> \left \{ {x+y=15} \atop \sqrt{xy}=6 \right. <=> \left \{ {x+y=15} \atop xy=36 \right. <=> \left \{ {x=15-y} \atop (15-y)y=36 \right. $$

    (15-y)y=36

    y²-15y+36=0

    D=225-144=81

    $$ y_1=\frac{15+9}{2}=12 $$ $$ x_1=15-12=3 $$

    $$ y_2=\frac{15-9}{2}=3 $$ $$ x_2=15-3=12 $$

    Ответ (3; 12) и (12; 3)

  • Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а их среднее геометрическое 12. найти эти числа


    Решение: (x+y)/2=20,
    sqrt(xy)=12.
    решаем систему:
    x=40-y, подставим во второе уравнение:
    sqrt((40-y)y)=12
    40y-y^2=144
    y^2-40y+144=0
    D=1600-4*144=1600-576=1024
    sqrt(D)=32
    y1=(40+32)/2=36,
    y2=(40-32)/2=4.
    тогда x1=4, x2=36,
    пары чисел: 36 и 4

    Пусть х первое число, а у-второе, тогда среднее арифметическое этих чисел будет$$ \frac{x+y}{2} $$. а их среднее геометрическое соответственно будет $$ \sqrt{xy} $$
    Составим систему
    $$ \left \{ {\frac{x+y}{2}=20|*2} \atop {\sqrt{xy}=12|^2} \right. \left \{ {x+y=40} \atop {xy=144} \right. \left \{ {x+y=40} \atop {{x=\frac{144}{x}}} \right. $$
    отдельно решим первое уравнение систему, подставив в него второе
    $$ x+\frac{144}{x}=40|*x\\x^2+144=40x\\x^2-40x+144=0\\D=(-40)^2-4*1*144=1600-576=1024\\\sqrt{D}=\sqrt{1024}=32\\x_{1}=\frac{40+32}{2}=\frac{72}{2}=36\\x_{2}=\frac{40-32}{2}=\frac{8}{2}=4 $$
    Вернемся в систему которая распадется на две
    $$ 1. \left \{ {x=36} \atop {y=\frac{144}{x}} \right. \left \{ {x=36} \atop {y=\frac{144}{36}} \right. \left \{ {x=36} \atop {y=4} \right.\\ 2. \left \{ {x=4} \atop y=\frac {144}{x} \right. \left \{ {x=4} \atop {y=\frac{144}{4}} \right. \left \{ {x=4} \atop {y=36} \right. $$
    И так получили первое число 36, а второе 4
    Ответ:36 и 4

  • Среднее арифметическое двух натуральных чисел равно 10, их среднее геометрическое равно 8
    Этими числами являются....?


    Решение: Пусть эти числа х- первое неизвестное число; у- второе неизвестное число.
    Среднее орифметическое: (х+у)/2=10 домножим уравнение на 2
    х+у=20
    Среднее геометрическое: корень из(х*у)=8 возведен правую и левую сторону в квадрат
    х*у=64
    Составим систему:
    х+у=20
    х*у=64
    Из первого уравнения выразим х и поставим во второе:
    х=20-у
    (20-у)*у=64
    Решаем второе уравнение:
    20у-у^2=64
    у^2-20у+64=0
    По теореме Виэта:
    у1=16
    х1=4
    или
    у2=4
    х2=16
    Ответ: эти числа 4 и 16

  • Среднее геометрическое двух чисел на 12 больше меньшего из них, а среднее арифметическое тех же чисел на 24 меньше большего из них. Найти большее из чисел


    Решение: Среднее геометрическое - √ab = b+12

    среднее арифметическое - (a+b)/2 = a -24

    a+b = 2a - 48

    b = a - 48

    √a(a-48) = a-48+12

    √(a²-48a) = a - 36

    a²-48a = a²-72a+1296

    24a = 1296

    a = 54

    b = 54-48 = 6

    Большее из чисел 54

    Средее геометрическое - это √xy

    Среднее арифметическое - это (х+у)/2

     √xy - х = 12

    (х+у)/2 + 24 = у

    х+ у - 2у + 48 = 0

    х = у - 48

    √(у(у-48))-у+48 = 12

    √у²-48у = у-36

    у²-48у = у²-72у+ 1296

    -48у = 1296 - 72у

    24у = 1296

    у = 54

    х = у - 48 = 6

    Ответ: 54

  • Среднее геометрическое двух чисел на 12 больше меньшего из них, а среднее арифметическое тех же чисел на 8 меньше большего из них. Найти большее из чисел.


    Решение: Пусть одно число будет х, а второе у 
    Тогда, по условию, x > y 
    √(x * y) = y + 12 
    (x + y) / 2 = x - 24 
    Это система уравнений, решаем: 
    х + у = 2х - 48 
    у = х - 48 
    √х (х - 48) = х - 48 + 12 
    √(х² - 48х) = х - 36 
    х² - 48х = х² - 72х + 1296 
    24х = 1296 
    х = 54 
    у = 54 - 48 = 6 
    Ответ: Большее, из двух чисел, 54.

  • Среднее пропорциональное (геометрическое ) двух чисел на 12 больше меньшего из этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на 24 меньше большего из чисел. Найдите эти числа?


    Решение: Среднее геометрическое - √ab = b+12
    среднее арифметическое - (a+b)/2 = a -24
    a+b = 2a - 48
    b = a - 48
    √a(a-48) = a-48+12
    √(a²-48a) = a - 36
    a²-48a = a²-72a+129624
    a = 1296a = 54
    b = 54-48 = 6

    Среднее геометрическое - √ab = b+12
    среднее арифметическое - (a+b)/2 = a -24
    a+b = 2a - 48
    b = a - 48
    √a(a-48) = a-48+12
    √(a²-48a) = a - 36
    a²-48a = a²-72a+129624a = 1296
    a = 54b = 54-48 = 6
    Большее из чисел 54