координаты »

найти координаты вершины параболы - страница 2

  • Найти координаты вершины параболы \( y=x^2-3x \)


    Решение: Чтобы найти координату вершины параболы, достаточно найти производную функции, приравнять к 0, найти корни уравнения и подставить в квадратичную функцию.
    Найдем производную:
    $$ (x^2-3x)’=2x-3 $$
    Приравняем уравнение 2x-3 к нулю:
    $$ 2x-3=0 \\ x=1,5 $$
    Теперь, наше найденное значение вставим функцию:
    $$ 2,25-4,5=-(4,5-2,25)=-2,25 $$
    Таким образом, окончательно получим координаты точки:
    $$ (1,5;-2,25) $$
    Однако, есть и другой способ нахождения вершины параболы, через формулу:
    $$ -\frac{b}{2a} $$
    Но нахождение производной квадратичной функции - способ намного рациональнее.

  • Найти координаты вершины параболы:
    1) у=х²+4х+1
    2) у=х²-6х-7


    Решение: 1) у=х²+2*2*х+2²-2²+1=(х+2)²-3; 
    координаты вершины параболы: х=-2; у=-3;
    ответ:(-2;-3)
    2) у=х²-2*3*х+3²-3²-7=(х-3)²-16; 
    координаты вершины параболы: х=3; у=-16;
    ответ: (3;-16)

    Как вариант - вершина параболы - это точка максимума/минимума функции. В ней производная = 0
    Поэтому для первого уравнения: у’=2х+4=0
    х=-2; Подставляя х в уравнение параболы, находим у=-3
    Второе уравнение:
    у’=2х-6=0, отсюда х=3, у=-16

  • Найти координаты вершины параболы x²+2x-8y-15=0


    Решение: Вершина параболы \( (x_{0};y_{0}) \)
    найдем каноническое представление \( y=a x^{2} +bx+c \) данной нам параболы:
    $$ 8y= x^{2} +2x-15 \\ y= \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{4} x- \frac{15}{8} \\ $$
    а для канонического представления действительны формулы:
    $$ x_{0}=- \frac{b}{2a} ;y_{0}=- \frac{ b^{2}-4ac}{4a} $$
    поставляя в них 
    $$ a= \frac{1}{8}, b=\frac{1}{4}, c= - \frac{15}{8} $$
    получим:
    $$ x_{0} =- \frac{\frac{1}{4}}{2*\frac{1}{8}}=- \frac{ \frac{1}{4}}{ \frac{1}{4}}=-1 \\ y_{0} =- \frac{ \frac{1}{4}^{2}-4* \frac{1}{8}(- \frac{15}{8})}{4* \frac{1}{8}}= - \frac{ \frac{1}{16} + \frac{1}{2}*\frac{15}{8} }{ \frac{1}{2}}= - \frac{ \frac{1+15}{16}}{ \frac{1}{2} } = -\frac{ \frac{16}{16}}{ \frac{1}{2} } =-2 $$
    Ответ: (-1;-2)

  • Найти координаты вершины параболы у=(х-2)^2+5


    Решение: У=х²-4х+4+5=х²-4х+9
    х₀=-в/2а
    х₀=4/2=2
    у₀=2²-8+9=4-8+9=5
    (2;5) координаты вершины параболы

  • Дано: y=2x²-4x-6 y=3x²+6x-9 Выделите полный квадрат Определите координаты вершины Проверьте правильность нахождения координат вершины с помощью формулы постройте график функции
    опишите свойства функции
    Измените уравнение функции, чтобы график зеркально отразился относительно оси ОХ. Измените уравнение функции, чтобы график опустился на 3 единицы по оси ОУ Измените уравнение функции, чтобы график сместился на 5 единиц влево по оси ОХ Зная координаты вершины, запишите уравнение квадратичной функции (сначала в виде y=(x+m)²+n,
    затем - в стандартном виде y=ax²+bx+c)
    А(-2;6) В(4;-1)


    Решение: Графиком является шаблонная парабола, опущенная на 6 единиц вниз и растянутая в два раза, а чтобы зеркальное перенести, нужно применить осевую симметрию

  • Определите координаты вершины параболы:
    1)y=-x^2+2x+7
    2)y=9-4x+x^2
    3)y=-3x^2+2x-4


    Решение: .

    1) y = - x² + 2x + 7 
    m = - b/2a = 2/2 = 1
    y = 1 2 + 7 = 10
    ( 1; 10) - координаты вершины параболы
    2) y = x² - 4x + 9
    x² - 4x + 9 = (x² - 4x + 4) - 4 + 9 = (x - 2)² + 5
    (2; 5) - координаты вершины параболы
    3) y = - 3x² + 2x - 4
    m = - b/2a
    m = 2/6 = 1/3
    n = (4ac - b²)/4a
    n = [4*(-3)*(-4) - 2²]/(-4*3) = (44) / 12 = - 3(2/3)
    ( 1/3; - 3(2/3)) - координаты вершины параболы

<< < 12