найдите сумму координат

1) Найти вертикальные асимптоты х=а графика функции:
а) f(x)=ln(1+ (-6)/(x-3)).
б) f(x)=(4x^3+4x^2+4x)/(x^2-5x+6)
В ответе укажите в ответе укажите сумму всевозможных значений a
2) Используя формулу Макларена для f(x)= 9√(1+х) до 2-го порядка, вычислите приближенно 9√1,4 (9-это степень корня)
3)Для функции f(x)=(4x+5)/ (x-5)^3. Найдите точку локального экстремума
4) Для функции f(x)=(2х+6)/(х^2-5) найдите точки х=а локального минимума. В ответе укажите сумму всевозможных значений а.
5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной:
а) прямой у=6х-4 и параболой у=х^2+5x-6
б) прямой у=-х+7 и параболой у=х^2-x+3
6) Найти производную функции:
а) f(x,y)= (-5х-2у)/(х+3у) в точке А(-3;4) в направлении вектора e=(1,3)
б) f(x,y)= (x-y)arctg(2x+y) в точке А(-1,2) в направлении вектора е=(-2,-5)
7)Исследуйте функцию на локальный экстремум f(x,y)=x^2-y^2-4xy-10x-20y. В ответе укажите сумму координат точек экстремума.

a) Для поиска вертикальных асимптот нужно рассмотреть односторонние пределы в окрестностях несуществования функции

$$ f(x)=\frac{x-9}{x-3} $$

$$ \lim_{x \to 3-0} f(x)=+\infty, \lim_{x \to 3+0} f(x)=-\infty $$

x=3 - вертикальная асимптота

$$ ]\lim_{x \to 9-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 9+0} f(x)=+\infty $$

x=9 - вертикальная асимптота

Ответ: 12

б) $$ f(x)=\frac{4x(x^2+x+1)}{(x-2)(x-3)} $$

$$ \lim_{x \to 0-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 0+0} f(x)=+\infty $$

$$ \lim_{x \to 2-0} f(x)=+\infty, \lim_{x \to 2+0} f(x)=-\infty $$

$$ \lim_{x \to 3-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 3+0} f(x)=+\infty $$

x=0, x=2, x=3 - вертикальные асимптоты

Ответ: 5

________________________________________________________________________

2) $$ \sqrt[9]{x+1}=1+\frac{1}{9}x+\frac{\frac{1}{9}(\frac{1}{9}-1)}{2}x^2 $$

$$ \sqrt[9]{1+0,4}=1+1/9-(4/81)*0,4^2=2099/2025\approx1,037 $$

________________________________________________________________________

3) \( f(x)=\frac{4x+5}{(x-5)^3} \)

\( f’(x)=\frac{-8x-35}{(x-5)^4} \)

x=-35/8

При переходе через эту точку производная меняет свой знак c + на -, т.е. это точка локального максимума

Ответ: -4,375

________________________________________________________________________

4) \( f(x)=\frac{2x+6}{x^2-5} \)

\( f’(x)=\frac{-2(x^2+6x+5)}{(x-\sqrt{5})^2(x+\sqrt{5})^2} \)

критические точки = x=-√5, x=√5, x=-1, x=-5

производная меняет свой знак с - на + в точке x=-5 - точка лок. минимума

Ответ: -5

________________________________________________________________________

5)

а) Найдем точки пересечения

    6x-4=x²+5x-6

    x²-x-2=0

x₁=-1 x₂=2

$$ S=\int\limits^{2}_{-1} {2+x-x^2} \\ dx=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}|_{-1}^2= 9/2 $$

б) Точки пересечения

   -x+7=x²-x+3

    x²-4=0

x₁=-2, x₂=2

$$ \int\limits^2_{-2} {(4-x^2)} \\ dx=4x-\frac{x^3}{3}|_{-2}^2=\frac{32}{3} $$

________________________________________________________________________

6)

a) $$ f(x,y)=\frac{-5x-2y}{x+3y} $$

 $$ f_x^{’}=\frac{-13y}{(x+3y)^2}, f’_x(A)=-\frac{52}{81} $$

 $$ f’_y=\frac{13x}{(x+3y)^2}, f’_y(A)=-\frac{39}{81} $$

направляющий вектор {1/√10, 3/√10}

$$ f’_e=-\frac{169}{81\sqrt{10}} $$

б) $$ f(x, y) = (x-y)arctg(2x+y) $$

 $$ f’_x=arctg(2x+y)+\frac{2(x-y)}{1+(2x+y)^2}, f’_x(A)=-6 $$

 $$ f’_y=-arctg(2x+y)+\frac{x-y}{1+(2x+y)^2}, f’_y(A)=-3 $$

направляющий вектор {-2/√29, -5/√29}

$$ f’_e=\frac{27}{\sqrt{29}} $$

_______________________________________________________________________

7) $$ f’_x=2x-4y-10=0, f’_y=-2y-4x-20=0 $$

x=-3, y=-4 - стационарная точка

$$ f’’_{xx}=2>0, f’’_{xy}=-4, f’’_{yy}=-2 $$

$$ \left[\begin{array}{cc}2&-4\\-4&-2\end{array}\right]=-20<0 $$

экстремумов нет

Найти сумму координат точек пересечения графиков функций \( y=log_{0,5}x \;\;\;и\;\;\; y=-\frac{2}{x} \)

1) Найти вертикальные асимптоты х=а графика функции:
а) f(x)=ln(1+ (-6)/(x-3)).
б) f(x)=(4x^3+4x^2+4x)/(x^2-5x+6)
В ответе укажите в ответе укажите сумму всевозможных значений a
2) Используя формулу Маклорена для f(x)= 9√(1+х) до 2-го порядка, вычислите приближенно 9√1,4 (9-это степень корня)
3) Для функции f(x)=(4x+5)/ (x-5)^3. Найдите точку локального экстремума
4) Для функции f(x)=(2х+6)/(х^2-5) найдите точки х=а локального минимума. В ответе укажите сумму всевозможных значений а.
5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной:
а) прямой у=6х-4 и параболой у=х^2+5x-6
б) прямой у=-х+7 и параболой у=х^2-x+3
6) Найти производную функции:
а) f(x,y)= (-5х-2у)/(х+3у) в точке А(-3;4) в направлении вектора e=(1,3)
б) f(x,y)= (x-y)arctg(2x+y) в точке А(-1,2) в направлении вектора е=(-2,5)
7) Исследуйте функцию на локальный экстремум f(x,y)=x^2-y^2-4xy-10x-20y. В ответе укажите сумму координат точек экстремума.

1)

a) Для поиска вертикальных асимптот нужно рассмотреть односторонние пределы в окрестностях несуществования функции

$$ f(x)=\frac{x-9}{x-3} \\ \lim_{x \to 3-0} f(x)=+\infty, \lim_{x \to 3+0} f(x)=-\infty $$

x=3 - вертикальная асимптота

$$ ]\lim_{x \to 9-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 9+0} f(x)=+\infty $$

x=9 - вертикальная асимптота

Ответ: 12

б) $$ f(x)=\frac{4x(x^2+x+1)}{(x-2)(x-3)} \\ \lim_{x \to 0-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 0+0} f(x)=+\infty \\ \lim_{x \to 2-0} f(x)=+\infty, \lim_{x \to 2+0} f(x)=-\infty \\ \lim_{x \to 3-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 3+0} f(x)=+\infty $$

x=0, x=2, x=3 - вертикальные асимптоты

Ответ: 5

________________________________________________________________________

2) $$ \sqrt[9]{x+1}=1+\frac{1}{9}x+\frac{\frac{1}{9}(\frac{1}{9}-1)}{2}x^2 \\ \sqrt[9]{1+0,4}=1+1/9-(4/81)*0,4^2=2099/2025\approx1,037 $$

________________________________________________________________________

3)$$ f(x)=\frac{4x+5}{(x-5)^3} \\ f’(x)=\frac{-8x-35}{(x-5)^4} $$

x=-35/8

При переходе через эту точку производная меняет свой знак c + на - т. е. это точка локального максимума

Ответ: -4,375

________________________________________________________________________

4)$$ f(x)=\frac{2x+6}{x^2-5} \\ f’(x)=\frac{-2(x^2+6x+5)}{(x-\sqrt{5})^2(x+\sqrt{5})^2} $$

критические точки = x=-√5, x=√5, x=-1, x=-5

производная меняет свой знак с - на + в точке x=-5 - точка лок. минимума

Ответ: -5

________________________________________________________________________

5)

а) Найдем точки пересечения

    6x-4=x²+5x-6

    x²-x-2=0

x₁=-1 x₂=2

$$ S=\int\limits^{2}_{-1} {2+x-x^2} \, dx=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}|_{-1}^2= 9/2 $$

б) Точки пересечения

   -x+7=x²-x+3

    x²-4=0

x₁=-2, x₂=2

$$ \int\limits^2_{-2} {(4-x^2)} \, dx=4x-\frac{x^3}{3}|_{-2}^2=\frac{32}{3} $$

________________________________________________________________________

6)

a) $$ f(x,y)=\frac{-5x-2y}{x+3y} $$

    $$ f_x^{’}=\frac{-13y}{(x+3y)^2}, f’_x(A)=-\frac{52}{81} $$

    $$ f’_y=\frac{13x}{(x+3y)^2}, f’_y(A)=-\frac{39}{81} $$

направляющий вектор {1/√10, 3/√10}

$$ f’_e=-\frac{169}{81\sqrt{10}} $$

б) $$ f(x, y) = (x-y)arctg(2x+y) $$

    $$ f’_x=arctg(2x+y)+\frac{2(x-y)}{1+(2x+y)^2}, f’_x(A)=-6 $$

    $$ f’_y=-arctg(2x+y)+\frac{x-y}{1+(2x+y)^2}, f’_y(A)=-3 $$

направляющий вектор {-2/√29,5/√29}

$$ f’_e=\frac{27}{\sqrt{29}} $$

_______________________________________________________________________

7) $$ f’_x=2x-4y-10=0, f’_y=-2y-4x-20=0 $$

x=-3, y=-4 - стационарная точка

$$ f’’_{xx}=2>0, f’’_{xy}=-4, f’’_{yy}=-2 \\ \left[\begin{array}{cc}2&-4\\-4&-2\end{array}\right]=-20<0 $$

экстремумов нет

1) Найти наклонную асимптоту у=kx+b графика функции f(x)=√4x^2+3x-5 при х стремящемуся к + ∞. В ответе укажите k+b
2) Напишите уравнение касательной y=kx+b к рафику функции f(x)=-x^3-2x^2+x в точке а=2. В ответе укажите k+b
3) Используя формулу Маклорена для f(x)=е^x до 2-го порядка, вычислите приближенно e^-0.1
4) Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямйой у=-х+14 и гиперболой у=65/(х+4)
5) Найдите производную функции f(x,y)= (2x+2y)/(-x-3y) в точке А(2,1) в направлении вектора е=(-5,1)
6) Исследуйте функцию на локальный экстремум f(x,y)=-5x^2+y^2-4xy+26x-4y. В ответе укажите сумму координат точек экстремума

$$ k=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2+3x-5}}{x}=\lim_{x \to \infty} \sqrt{4+\frac{3}{x}-\frac{5}{x^2}}=2 \\ b=\lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^2+3x-5}-2x=\lim_{x \to \infty} \frac{x(3-\frac{5}{x})}{x(2+\sqrt{4+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}})}=\frac{3}{4} $$

Ответ: b+k=2+3/4=11/4

2) y=f(a)+f’(a)(x-a)

f(x)=-x³-2x²+x f(2)=-14

f’(x)=-3x²-4x+1

f’(2)=-19

y=-19x+24

Ответ: k+b=-19+24=5

3) f(x)=e^x

$$ e^{-0,1}=1+(-0,1)+0,005=0,905 $$

4) Найдем точки пересечения графиков

65/(x+4)=14-x

-x²+10x-9=0

x₁=1 x₂=9

$$ S=\int\limits^9_1 {14-x-\frac{65}{x+4}} \, dx=14x-\frac{x^2}{2}-65ln(x+4)|_1^9=72-65ln\frac{13}{5} $$

5) $$ \frac{df}{dx}=-\frac{4y}{(x+3y)^2}, \frac{df}{dy}=\frac{4x}{(x+3y)^2} \\ f’_x(A)=4, f’_y(A)=-4 $$

Направляющий вектор {-5/√26, 1/√26}

Ответ: 4(-5/√26)-4/√26 = -24/√26

1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой у=-х+18 и гиперболой у=272/(х+15)
2) Найти производную функции f(x,y)= (-3х+3у)ln(1-2х+4у) в точке А(-4;-2) в направлении вектора l=(-2,1)
3) Исследуйте функцию на локальный экстремум f(x,y)=x^2+3y^2+2xy-4x-16y. В ответе укажите сумму координат точек экстремума.

2) $$ \frac{df}{dx}=(-3+3y)ln(1-2x+4y)+(-3x+3y)\frac{-2+4y}{1-2x+4y} \\ \frac{df}{dy}=(-3x+3)ln(1-2x+4y)+(-3x+3y)\frac{4-2x}{1-2x+4y} $$

Найдем значения этих производных в точке A(-4, 2):

$$ f’_x(A)=-60, f’_y(A)=72 $$

Направляющие вектора l -(-2/√5, 1/√5)

производная функции по направлению 

$$ \frac{du}{df}=\frac{120}{\sqrt{5}}+\frac{72}{\sqrt{5}}=\frac{192}{\sqrt{5}} $$

3) Определяем стационарные точки:

$$ f’_x=2x+2y-4=0 \\ f’_y=6y+2x-16=0 $$

x=-1, y=3 - единственная стационарная точка

Применяем достаточное условие:

$$ f’’_{xx}=2, f’’_{xy}=2, f’’_{yy}=6 \\ f’’_{xx}>0, D=\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&6\\\end{array}\right], |D|=8>0 $$

Т. е. точка M₀(-1, 3) - точка локального min

Ответ: -1+3=2