координаты »

найдите сумму координат

  • 1) Найти вертикальные асимптоты х=а графика функции:
    а) f(x)=ln(1+ (-6)/(x-3)).
    б) f(x)=(4x^3+4x^2+4x)/(x^2-5x+6)
    В ответе укажите в ответе укажите сумму всевозможных значений a
    2) Используя формулу Макларена для f(x)= 9√(1+х) до 2-го порядка, вычислите приближенно 9√1,4 (9-это степень корня)
    3)Для функции f(x)=(4x+5)/ (x-5)^3. Найдите точку локального экстремума
    4) Для функции f(x)=(2х+6)/(х^2-5) найдите точки х=а локального минимума. В ответе укажите сумму всевозможных значений а.
    5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной:
    а) прямой у=6х-4 и параболой у=х^2+5x-6
    б) прямой у=-х+7 и параболой у=х^2-x+3
    6) Найти производную функции:
    а) f(x,y)= (-5х-2у)/(х+3у) в точке А(-3;4) в направлении вектора e=(1,3)
    б) f(x,y)= (x-y)arctg(2x+y) в точке А(-1,2) в направлении вектора е=(-2,-5)
    7)Исследуйте функцию на локальный экстремум f(x,y)=x^2-y^2-4xy-10x-20y. В ответе укажите сумму координат точек экстремума.


    Решение: 1)

    a) Для поиска вертикальных асимптот нужно рассмотреть односторонние пределы в окрестностях несуществования функции

    $$ f(x)=\frac{x-9}{x-3} $$

    $$ \lim_{x \to 3-0} f(x)=+\infty, \lim_{x \to 3+0} f(x)=-\infty $$

    x=3 - вертикальная асимптота

    $$ ]\lim_{x \to 9-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 9+0} f(x)=+\infty $$

    x=9 - вертикальная асимптота

    Ответ: 12

    б) $$ f(x)=\frac{4x(x^2+x+1)}{(x-2)(x-3)} $$

    $$ \lim_{x \to 0-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 0+0} f(x)=+\infty $$

    $$ \lim_{x \to 2-0} f(x)=+\infty, \lim_{x \to 2+0} f(x)=-\infty $$

    $$ \lim_{x \to 3-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 3+0} f(x)=+\infty $$

    x=0, x=2, x=3 - вертикальные асимптоты

    Ответ: 5

    ________________________________________________________________________

    2) $$ \sqrt[9]{x+1}=1+\frac{1}{9}x+\frac{\frac{1}{9}(\frac{1}{9}-1)}{2}x^2 $$

    $$ \sqrt[9]{1+0,4}=1+1/9-(4/81)*0,4^2=2099/2025\approx1,037 $$

    ________________________________________________________________________

    3) \( f(x)=\frac{4x+5}{(x-5)^3} \)

    \( f’(x)=\frac{-8x-35}{(x-5)^4} \)

    x=-35/8

    При переходе через эту точку производная меняет свой знак c + на -, т.е. это точка локального максимума

    Ответ: -4,375

    ________________________________________________________________________

    4) \( f(x)=\frac{2x+6}{x^2-5} \)

    \( f’(x)=\frac{-2(x^2+6x+5)}{(x-\sqrt{5})^2(x+\sqrt{5})^2} \)

    критические точки = x=-√5, x=√5, x=-1, x=-5

    производная меняет свой знак с - на + в точке x=-5 - точка лок. минимума

    Ответ: -5

    ________________________________________________________________________

    5)

    а) Найдем точки пересечения

        6x-4=x²+5x-6

        x²-x-2=0

    x₁=-1 x₂=2

    $$ S=\int\limits^{2}_{-1} {2+x-x^2} \\ dx=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}|_{-1}^2= 9/2 $$

    б) Точки пересечения

       -x+7=x²-x+3

        x²-4=0

    x₁=-2, x₂=2

    $$ \int\limits^2_{-2} {(4-x^2)} \\ dx=4x-\frac{x^3}{3}|_{-2}^2=\frac{32}{3} $$

    ________________________________________________________________________

    6)

    a) $$ f(x,y)=\frac{-5x-2y}{x+3y} $$

     $$ f_x^{’}=\frac{-13y}{(x+3y)^2}, f’_x(A)=-\frac{52}{81} $$

     $$ f’_y=\frac{13x}{(x+3y)^2}, f’_y(A)=-\frac{39}{81} $$

    направляющий вектор {1/√10, 3/√10}

    $$ f’_e=-\frac{169}{81\sqrt{10}} $$

    б) $$ f(x, y) = (x-y)arctg(2x+y) $$

     $$ f’_x=arctg(2x+y)+\frac{2(x-y)}{1+(2x+y)^2}, f’_x(A)=-6 $$

     $$ f’_y=-arctg(2x+y)+\frac{x-y}{1+(2x+y)^2}, f’_y(A)=-3 $$

    направляющий вектор {-2/√29, -5/√29}

    $$ f’_e=\frac{27}{\sqrt{29}} $$

    _______________________________________________________________________

    7) $$ f’_x=2x-4y-10=0, f’_y=-2y-4x-20=0 $$

    x=-3, y=-4 - стационарная точка

    $$ f’’_{xx}=2>0, f’’_{xy}=-4, f’’_{yy}=-2 $$

    $$ \left[\begin{array}{cc}2&-4\\-4&-2\end{array}\right]=-20<0 $$

    экстремумов нет

  • Найти сумму координат точек пересечения графиков функций \( y=log_{0,5}x \;\;\;и\;\;\; y=-\frac{2}{x} \)


    Решение: Очевидно, что нужно решить уравнение log(0,5,x)+2/x=0 Можно догадаться, что 1 из его корней равен X = 2, т.к. 0,5=1/2 Докажем теперь, что других корней нет. Рассмотрим 2 случая: пусть x<2 и по доз x>0 в этом случае логарифм >-1 а 2/x >1 Но тогда их сумма всегда будет больше нуля, то есть в этом интервале корней нет.
    Рассмотрим 2 случай x>2 тогда логарифм<-1 2/x<1 тогда их сумма всегда меньше 0 Таким образом и в этом интервале корней нет. Таким образом мы доказали, что этот корень - единственный f(2)=-1 Тогда сумма координат равна 1
  • 1) Найти вертикальные асимптоты х=а графика функции:
    а) f(x)=ln(1+ (-6)/(x-3)).
    б) f(x)=(4x^3+4x^2+4x)/(x^2-5x+6)
    В ответе укажите в ответе укажите сумму всевозможных значений a
    2) Используя формулу Маклорена для f(x)= 9√(1+х) до 2-го порядка, вычислите приближенно 9√1,4 (9-это степень корня)
    3) Для функции f(x)=(4x+5)/ (x-5)^3. Найдите точку локального экстремума
    4) Для функции f(x)=(2х+6)/(х^2-5) найдите точки х=а локального минимума. В ответе укажите сумму всевозможных значений а.
    5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной:
    а) прямой у=6х-4 и параболой у=х^2+5x-6
    б) прямой у=-х+7 и параболой у=х^2-x+3
    6) Найти производную функции:
    а) f(x,y)= (-5х-2у)/(х+3у) в точке А(-3;4) в направлении вектора e=(1,3)
    б) f(x,y)= (x-y)arctg(2x+y) в точке А(-1,2) в направлении вектора е=(-2,5)
    7) Исследуйте функцию на локальный экстремум f(x,y)=x^2-y^2-4xy-10x-20y. В ответе укажите сумму координат точек экстремума.


    Решение: Приступим к уроку мат. анализа

    1)

    a) Для поиска вертикальных асимптот нужно рассмотреть односторонние пределы в окрестностях несуществования функции

    $$ f(x)=\frac{x-9}{x-3} \\ \lim_{x \to 3-0} f(x)=+\infty, \lim_{x \to 3+0} f(x)=-\infty $$

    x=3 - вертикальная асимптота

    $$ ]\lim_{x \to 9-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 9+0} f(x)=+\infty $$

    x=9 - вертикальная асимптота

    Ответ: 12

    б) $$ f(x)=\frac{4x(x^2+x+1)}{(x-2)(x-3)} \\ \lim_{x \to 0-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 0+0} f(x)=+\infty \\ \lim_{x \to 2-0} f(x)=+\infty, \lim_{x \to 2+0} f(x)=-\infty \\ \lim_{x \to 3-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 3+0} f(x)=+\infty $$

    x=0, x=2, x=3 - вертикальные асимптоты

    Ответ: 5

    ________________________________________________________________________

    2) $$ \sqrt[9]{x+1}=1+\frac{1}{9}x+\frac{\frac{1}{9}(\frac{1}{9}-1)}{2}x^2 \\ \sqrt[9]{1+0,4}=1+1/9-(4/81)*0,4^2=2099/2025\approx1,037 $$

    ________________________________________________________________________

    3)$$ f(x)=\frac{4x+5}{(x-5)^3} \\ f’(x)=\frac{-8x-35}{(x-5)^4} $$

    x=-35/8

    При переходе через эту точку производная меняет свой знак c + на - т. е. это точка локального максимума

    Ответ: -4,375

    ________________________________________________________________________

    4)$$ f(x)=\frac{2x+6}{x^2-5} \\ f’(x)=\frac{-2(x^2+6x+5)}{(x-\sqrt{5})^2(x+\sqrt{5})^2} $$

    критические точки = x=-√5, x=√5, x=-1, x=-5

    производная меняет свой знак с - на + в точке x=-5 - точка лок. минимума

    Ответ: -5

    ________________________________________________________________________

    5)

    а) Найдем точки пересечения

        6x-4=x²+5x-6

        x²-x-2=0

    x₁=-1 x₂=2

    $$ S=\int\limits^{2}_{-1} {2+x-x^2} \, dx=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}|_{-1}^2= 9/2 $$

    б) Точки пересечения

       -x+7=x²-x+3

        x²-4=0

    x₁=-2, x₂=2

    $$ \int\limits^2_{-2} {(4-x^2)} \, dx=4x-\frac{x^3}{3}|_{-2}^2=\frac{32}{3} $$

    ________________________________________________________________________

    6)

    a) $$ f(x,y)=\frac{-5x-2y}{x+3y} $$

        $$ f_x^{’}=\frac{-13y}{(x+3y)^2}, f’_x(A)=-\frac{52}{81} $$

        $$ f’_y=\frac{13x}{(x+3y)^2}, f’_y(A)=-\frac{39}{81} $$

    направляющий вектор {1/√10, 3/√10}

    $$ f’_e=-\frac{169}{81\sqrt{10}} $$

    б) $$ f(x, y) = (x-y)arctg(2x+y) $$

        $$ f’_x=arctg(2x+y)+\frac{2(x-y)}{1+(2x+y)^2}, f’_x(A)=-6 $$

        $$ f’_y=-arctg(2x+y)+\frac{x-y}{1+(2x+y)^2}, f’_y(A)=-3 $$

    направляющий вектор {-2/√29,5/√29}

    $$ f’_e=\frac{27}{\sqrt{29}} $$

    _______________________________________________________________________

    7) $$ f’_x=2x-4y-10=0, f’_y=-2y-4x-20=0 $$

    x=-3, y=-4 - стационарная точка

    $$ f’’_{xx}=2>0, f’’_{xy}=-4, f’’_{yy}=-2 \\ \left[\begin{array}{cc}2&-4\\-4&-2\end{array}\right]=-20<0 $$

    экстремумов нет

  • 1) Найти наклонную асимптоту у=kx+b графика функции f(x)=√4x^2+3x-5 при х стремящемуся к + ∞. В ответе укажите k+b
    2) Напишите уравнение касательной y=kx+b к рафику функции f(x)=-x^3-2x^2+x в точке а=2. В ответе укажите k+b
    3) Используя формулу Маклорена для f(x)=е^x до 2-го порядка, вычислите приближенно e^-0.1
    4) Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямйой у=-х+14 и гиперболой у=65/(х+4)
    5) Найдите производную функции f(x,y)= (2x+2y)/(-x-3y) в точке А(2,1) в направлении вектора е=(-5,1)
    6) Исследуйте функцию на локальный экстремум f(x,y)=-5x^2+y^2-4xy+26x-4y. В ответе укажите сумму координат точек экстремума


    Решение: 1)

    $$ k=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2+3x-5}}{x}=\lim_{x \to \infty} \sqrt{4+\frac{3}{x}-\frac{5}{x^2}}=2 \\ b=\lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^2+3x-5}-2x=\lim_{x \to \infty} \frac{x(3-\frac{5}{x})}{x(2+\sqrt{4+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}})}=\frac{3}{4} $$

    Ответ: b+k=2+3/4=11/4

    2) y=f(a)+f’(a)(x-a)

    f(x)=-x³-2x²+x f(2)=-14

    f’(x)=-3x²-4x+1

    f’(2)=-19

    y=-19x+24

    Ответ: k+b=-19+24=5

    3) f(x)=e^x

    $$ e^{-0,1}=1+(-0,1)+0,005=0,905 $$

    4) Найдем точки пересечения графиков

    65/(x+4)=14-x

    -x²+10x-9=0

    x₁=1 x₂=9

    $$ S=\int\limits^9_1 {14-x-\frac{65}{x+4}} \, dx=14x-\frac{x^2}{2}-65ln(x+4)|_1^9=72-65ln\frac{13}{5} $$

    5) $$ \frac{df}{dx}=-\frac{4y}{(x+3y)^2}, \frac{df}{dy}=\frac{4x}{(x+3y)^2} \\ f’_x(A)=4, f’_y(A)=-4 $$

    Направляющий вектор {-5/√26, 1/√26}

    Ответ: 4(-5/√26)-4/√26 = -24/√26

  • 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой у=-х+18 и гиперболой у=272/(х+15)
    2) Найти производную функции f(x,y)= (-3х+3у)ln(1-2х+4у) в точке А(-4;-2) в направлении вектора l=(-2,1)
    3) Исследуйте функцию на локальный экстремум f(x,y)=x^2+3y^2+2xy-4x-16y. В ответе укажите сумму координат точек экстремума.


    Решение: 1) $$ \int\limits^2_1 {(-x+18-\frac{272}{x+15})}\,dx=-x^2+18x-272ln(x+15) |_1^2= \\ =\frac{33}{2}-272ln\frac{17}{16} $$

    2) $$ \frac{df}{dx}=(-3+3y)ln(1-2x+4y)+(-3x+3y)\frac{-2+4y}{1-2x+4y} \\ \frac{df}{dy}=(-3x+3)ln(1-2x+4y)+(-3x+3y)\frac{4-2x}{1-2x+4y} $$

    Найдем значения этих производных в точке A(-4, 2):

    $$ f’_x(A)=-60, f’_y(A)=72 $$

    Направляющие вектора l -(-2/√5, 1/√5)

    производная функции по направлению 

    $$ \frac{du}{df}=\frac{120}{\sqrt{5}}+\frac{72}{\sqrt{5}}=\frac{192}{\sqrt{5}} $$

    3) Определяем стационарные точки:

    $$ f’_x=2x+2y-4=0 \\ f’_y=6y+2x-16=0 $$

    x=-1, y=3 - единственная стационарная точка

    Применяем достаточное условие:

    $$ f’’_{xx}=2, f’’_{xy}=2, f’’_{yy}=6 \\ f’’_{xx}>0, D=\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&6\\\end{array}\right], |D|=8>0 $$

    Т. е. точка M₀(-1, 3) - точка локального min

    Ответ: -1+3=2

1 2 > >>