координаты »

начало системы координат

  • Даны координаты двух точек A(x1,y2) и B(x2,y2) в прямоугольной системе координат. Какая из этих двух точек находится дальше от начала координат?


    Решение: Var
    x1,x2,y1,y2:real;
    begin
    writeln(’Введите координаты точки А’);
    readln(x1,y1);
    writeln(’Введите координаты точки В’);
    readln(x2,y2);
    if (sqrt(sqr(x1)+sqr(y1)))>(sqrt(sqr(x2)+sqr(y2))) then
    writeln(’А дальше’)
    else
    if (sqrt(sqr(x1)+sqr(y1)))<(sqrt(sqr(x2)+sqr(y2))) then
    writeln(’В дальше’)
    else
    writeln(’Расстояние одинаковое’);
    end.

  • Даны две точки в плоской прямоугольной системе координат. Напишите программу, определяющую, которая из точек находится ближе к началу координат
    Пример входных данных
    Координаты 1-й точки >>1 2
    Координаты 2-й точки >> 3 4
    1 ая точка ближе


    Решение: В основе лежит формула определения расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат, при этом одна из точек совпадает с началом системы координат. В этом случае искомое расстояние определяется по формуле:
    $$ L= \sqrt{a_x^2+a_y^2} $$
    Поскольку в задаче не ставится вопрос определения самого расстояния, достаточно для каждой точки вычислить значение L² и сравнить их.
    Окончательно задача сводится к нахождению минимального из значений
    $$ a_x^2+a_y^2 $$ по заданным координатам х и у.

    var
      ax, ay, bx, by, rx, ry: real;

    begin
      writeln(’Введите координаты первой точки’);
      readln(ax, ay);
      writeln(’Введите координаты второй точки’);
      readln(bx, by);
      rx := sqr(ax) + sqr(ay);
      ry := sqr(bx) + sqr(by);
      if rx < ry then writeln(’Первая точка ближе’)
      else
      if rx > ry then writeln(’Вторая точка ближе’)
      else writeln(’Обе точки равноудалены’)
    end. 

  • Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полета камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой y=aх^2+bх, где а=-0.032м-1,b=1,44 - постоянные параметры, х - расстояние от машины до камня,считаемое по горизонтали, у - высота камня над землей. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепости стены высотой 6м можно расположить машину, чтобы камни пролета над ней на высоте не менее трех метров.


    Решение: У=6+3=9
    подставим все значения и коэффициенты в формулу траектории полета
    $$ -0,032x^2+1.44x=9 \\ -0.032x^2+1.44x-9=0 $$
    все сводится к решению простого квадратного уравнения
    $$ D=b^2+4ac=1.44^2+4*(-0.032)*(-9)=0.9216 \\ x_1= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{-1.44- \sqrt{0.9216} }{2*(-0.032)}=37.5 \\ x_2= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{-1.44+ \sqrt{0.9216} }{2*(-0.032)} =7.5 $$
    Ответ: максимальное расстояние 37,5 м

  • Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой y=ax^2+bx a= -1/100 м^-1, b=1 —постоянные параметры, x (м)— смещение камня по горизонтали, y (м)—высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?


    Решение: По условию y=ax^2 +bx, где y=H ( Высота), x (длина).
    a = -1/100; b=1.
    H=8м(высота стены) + 1м(высота от стены) = 9м.
    Составим неравентсво (( y = H ))
    H < ax^2 +bx
    9 < -1/100x^2 +x
    1/100x^2 -x + 0 < 0
    Решим квадратное уравнение 
    Д = b^2 -4a*c.
    Д = 0.8^2.
    найдем корни уравнение
     $$ X1,2=(-b +- \sqrt{Д})/2a $$
    X1=90
    X2=10
    Нужно найти наибольшее расстояние X1 > X2
    Ответ : X1 = 90м.

  • Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой y=ax^2+bx : a= -1/100 м^-1: b=7/10 —постоянные параметры, x (м)— смещение камня по горизонтали, y (м)—высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?


    Решение: Решение
    Чтобы камни пролетали над стеной не менее метра, значит над землёй не менее 1 метра (9 метров высота стены + 1 метр). Значит справедливо неравенство ax²+bx ≥ 10, где
    ax²+bx  — высота камня над землёй
    Решив его, определим наибольшее х:
    - (1/100) x² + (7/10)x  - 10  ≥ 0 умножим на (- 100)
    x² -  70x  + 1000  ≥ 0
    D = 4900 – 4000 = 900
    x = (70 – 30)/2 = 20
    x = (70 + 30)/2 = 50
    Решением неравенства будет интервал [20;50] или решение можно записать следующим образом:
    Машину для выполнения указанного условия нужно расположить на расстоянии 50 метров от стены (это наибольшее расстояние из полученного интервала).
    Ответ: 50

  • Дана функция y=(x−106)^2−15.Для построения графика данной функции необходимо перейти к вспомогательной системе координат. Запиши координаты новой начальной точки. ( ^-квадрат)


    Решение:

    Известно уравнение $$ y=ax^2 $$. Здесь вершина параболы находится в точке О(0,0).Если же вместо х и у появятся скобки вида 
    $$ (x-x_0)\; $$  и$$ (y-y_0) $$
     и уравнение будет выглядеть таким образом
                        $$ y-y_0=a(x-x_0)^2 $$ ,
     то вершина сдвинется в точку с координатами $$ C(x_0,y_0) $$ .

    $$ y=(x-106)^2-15\; \; \to \\y+15=(x-106)^2\\C(106,-15) $$

    Например, если уравнение имеет вид $$ y-2=3(x+5)^2 $$ ,
    то вершина параболы будет в точке $$ C(-5,2) $$ .
    Соответственно вспомогательную систему координат переносят в новую начальную точку, которая совпадает с вершиной.