многочлен »
многочлен третьей степени
Найти корни многочлена третьей степени 1) 4x^3-x=0 2) x^3-x^2-16x+16=0 3) x^3+2x^2-x-2=0 4) 2x^3-x^2-50x+25=0
Решение: 4x^3-x=0,x(4x^2-1)=0,
x1=0,
4x^2-1=0,
x^2=1/4,
x2=-1/2, x3=1/2;
x^3-x^2-16x+16=0,
x^2(x-1)-16(x-1)=0,
(x-1)(x^2-16)=0,
(x-1)(x-4)(x+4)=0,
x-1=0, x1=1,
x-4=0, x2=4,
x+4=0, x3=-4;
x^3+2x^2-x-2=0,
x^2(x+2)-(x+2)=0,
(x+2)(x^2-1)=0,
(x+2)(x-1)(x+1)=0,
<...>;
2x^3-x^2-50x+25=0,
x^2(2x-1)-25(2x-1)=0,
(2x-1)(x^2-25)=0,
(2x-1)(x-5)(x+5)=0,
<...>
Найти корни многочлена третьей степени: 1) 4*x^3-x
2) 2*x^3-x^2-50*x+25
Решение: Наверное, это так
$$ 4x^3-x=x*(4x^2-1)=x*(2x-1)*(2x+1) $$
1) x1=0
2) 2x-1=0
2x=1
x=1:2
x2=0,5
3) 2x+1=0
2x= -1
x= -1:2
x3= -0,5
Ответ: x1=0, x2=0,5, x3= -0,5
Рациональные корни уравнения находятся среди делителей свободного члена
Ответ в приложении ко второму заданию.
При каких значениях параметра a многочлен (a²-4)x⁴-2x³+(2a-1)x-4 будет: а) приведенным многочленом
б) многочленом четвертой степени
в) многочленом третьей степени
г) принимать одинаковые значения в точке x=1 и x=-1
Решение: $$ p(x)=(a^2-4)x^4-2x^3+(2a-1)x-4 $$
а) многочлен является приведенным, если его старший коэффициент равен единице:
$$ a^2-4=1 \\ a^2=5 \\ a=\pm \sqrt{5} $$
б) данный многочлен будет многочленом четвертой степени, если коэффициент при х⁴ не будет нулевым:
$$ a^2-4 eq 0 \\ a^2 eq 4 \\ a eq \pm2 $$
в) коэффициент при х³ не равен нулю, поэтому данный многочлен будет многочленом третьей степени, если коэффициент при х⁴ будет равен нулю:
$$ a^2-4=0 \\ a^2=4 \\ a=\pm2 $$
г) найдем значения многочлена в точке х=1 и х=-1 и приравняем их:
$$ (a^2-4)\cdot1^4-2\cdot1^3+(2a-1)\cdot1-4= \\ =(a^2-4)\cdot(-1)^4-2\cdot(-1)^3+(2a-1)\cdot(-1)-4 \\ (a^2-4)-2+(2a-1)-4=(a^2-4)+2-(2a-1)-4 \\ -2+2a-1=2-2a+1 \\ 4a=6 \\ a=1.5 $$
Составьте многочлен третьей степени который имеет один двойной и один простойкорень.
Решение: например (x-1) *(x^2-4) осталось раскрыть скобки и все один простой это 1 и два это + - 2задумываем корни
пусть х1=х2= а
х3=б
а, б любые
(x-a)(x-a)(x-b)=0
пемемножаем собираем подобные и вуаля....
в первом ответе корни 1 и еще 2 и -2!
Найти многочлен M(x) третьей степени такой, что M(-1)=-2, M(0)=1, M(1)=0, M(2)=1
Решение: $$ M(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ M(0)=1\\ d=1\\ M(-1)=-a+b-c=-2\\ M(1)=a+b+c=0\\ M(2)=8a+4b+2c=1 $$
Решаем получившуюся систему:
$$ -a+b-c=-2\\ a+b+c=0\\ 8a+4b+2c=1 $$
Получаем:
$$ a=\cfrac{1}{2};\phantom{g} b=-1;\phantom{g} c = \cfrac{1}{2} $$
Получаем многочлен:
$$ M(x)=\cfrac{1}{2}\cdot x^3-x^2+\cfrac{1}{2}\cdot x+1 $$
