многочлен третьей степени
Найти корни многочлена третьей степени 1) 4x^3-x=0 2) x^3-x^2-16x+16=0 3) x^3+2x^2-x-2=0 4) 2x^3-x^2-50x+25=0
Решение: 4x^3-x=0,x(4x^2-1)=0,
x1=0,
4x^2-1=0,
x^2=1/4,
x2=-1/2, x3=1/2;
x^3-x^2-16x+16=0,
x^2(x-1)-16(x-1)=0,
(x-1)(x^2-16)=0,
(x-1)(x-4)(x+4)=0,
x-1=0, x1=1,
x-4=0, x2=4,
x+4=0, x3=-4;
x^3+2x^2-x-2=0,
x^2(x+2)-(x+2)=0,
(x+2)(x^2-1)=0,
(x+2)(x-1)(x+1)=0,
<...>;
2x^3-x^2-50x+25=0,
x^2(2x-1)-25(2x-1)=0,
(2x-1)(x^2-25)=0,
(2x-1)(x-5)(x+5)=0,
<...>
Найти корни многочлена третьей степени: 1) 4*x^3-x
2) 2*x^3-x^2-50*x+25
Решение: Наверное, это так
$$ 4x^3-x=x*(4x^2-1)=x*(2x-1)*(2x+1) $$
1) x1=0
2) 2x-1=0
2x=1
x=1:2
x2=0,5
3) 2x+1=0
2x= -1
x= -1:2
x3= -0,5
Ответ: x1=0, x2=0,5, x3= -0,5
Рациональные корни уравнения находятся среди делителей свободного члена
Ответ в приложении ко второму заданию.
При каких значениях параметра a многочлен (a²-4)x⁴-2x³+(2a-1)x-4 будет: а) приведенным многочленом
б) многочленом четвертой степени
в) многочленом третьей степени
г) принимать одинаковые значения в точке x=1 и x=-1
Решение: $$ p(x)=(a^2-4)x^4-2x^3+(2a-1)x-4 $$
а) многочлен является приведенным, если его старший коэффициент равен единице:
$$ a^2-4=1 \\ a^2=5 \\ a=\pm \sqrt{5} $$
б) данный многочлен будет многочленом четвертой степени, если коэффициент при х⁴ не будет нулевым:
$$ a^2-4 eq 0 \\ a^2 eq 4 \\ a eq \pm2 $$
в) коэффициент при х³ не равен нулю, поэтому данный многочлен будет многочленом третьей степени, если коэффициент при х⁴ будет равен нулю:
$$ a^2-4=0 \\ a^2=4 \\ a=\pm2 $$
г) найдем значения многочлена в точке х=1 и х=-1 и приравняем их:
$$ (a^2-4)\cdot1^4-2\cdot1^3+(2a-1)\cdot1-4= \\ =(a^2-4)\cdot(-1)^4-2\cdot(-1)^3+(2a-1)\cdot(-1)-4 \\ (a^2-4)-2+(2a-1)-4=(a^2-4)+2-(2a-1)-4 \\ -2+2a-1=2-2a+1 \\ 4a=6 \\ a=1.5 $$
Составьте многочлен третьей степени который имеет один двойной и один простойкорень.
Решение: например (x-1) *(x^2-4) осталось раскрыть скобки и все один простой это 1 и два это + - 2задумываем корни
пусть х1=х2= а
х3=б
а, б любые
(x-a)(x-a)(x-b)=0
пемемножаем собираем подобные и вуаля....
в первом ответе корни 1 и еще 2 и -2!
Найти многочлен M(x) третьей степени такой, что M(-1)=-2, M(0)=1, M(1)=0, M(2)=1
Решение: $$ M(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ M(0)=1\\ d=1\\ M(-1)=-a+b-c=-2\\ M(1)=a+b+c=0\\ M(2)=8a+4b+2c=1 $$
Решаем получившуюся систему:
$$ -a+b-c=-2\\ a+b+c=0\\ 8a+4b+2c=1 $$
Получаем:
$$ a=\cfrac{1}{2};\phantom{g} b=-1;\phantom{g} c = \cfrac{1}{2} $$
Получаем многочлен:
$$ M(x)=\cfrac{1}{2}\cdot x^3-x^2+\cfrac{1}{2}\cdot x+1 $$
1. Докажите что (a(в третьей степени)-b(в третьей)\a-b)(это дробь) -ab=(a-b)в квадрате
2.Разложите на множители многочлен: a(в шестой степени)-b(в шестой)
3.Решите уравнение: 1-(1-x)в квадрате=0
Решение: У меня сомнения по первому заданию, там всё верно?
$$ \frac{a^3-b^3}{a-b}-ab= (a-b)^2 $$
В знаменателе дроби разность кубов, перепишем её
$$ \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b}-ab=a^2+ab+b^2-ab=a^2+b^2 $$
Получается вот такое решение, не (a-b)², а a²+b²
Поэтому у меня и возникли сомнения.
2. a⁶-b⁶=(a²)³-(b²)³=(a²-b²)(a⁴+a²b²+b⁴)=(a-b)(a+b)(a⁴+a²b²+b⁴)
3. 1-(1-x)²=0
1-(1-2x+x²)=0
1-1+2x-x²=0
2x-x²=0
x(2-x)=0
x=0 2-x=0
-x=-2
x=2Решите уравнение: а) (2х - 1)(3х - 1)(4х - 1) = 0; Примените формулу сокращения умножения: (2m - 0.5)*(0.5 +2m) Разложите на множители многочлен: а) m(втретьей степени) + 3m(во второй степени)n - 2mn - 6n(Во второй степени); б) -2а3 + 4а2Ь2 + аЪ - 2Ь3.
Решение: а) (2х - 1)(3х - 1)(4х - 1) = 0;(2х - 1)=0 или (3х - 1)=0 или (4х - 1)=0
2х-1=0 3х-1=0 4х - 1=0
2х=1 3х=1 4х=1
х=1/2 х=1/3 х=1/4
х=0,5
(2m - 0.5)*(0.5 +2m)=1m+4m^2-0,25-1m=4m^2-0,25
а) m^3+ 3m^2n - 2mn - 6n^2=(m^3 - 2mn )+(3m^2n- 6n^2)=m(m^2-2n)+3n(m^2-2n)=
=(m^2-2n)(m+3n).
б) -2а3 + 4а2Ь2 + аЪ - 2Ь3=(2а3 + 4а2Ь2)-(аЪ - 2Ь3)=2а2(а+2Ь2)-Ь(а+2Ь2)=
=(а+2Ь2)(2а2-Ь)
Тема: Разложение многочленов на множители.7класс
1. Докажите что (a(в третьей степени)-b(в третьей)\a-b)(это дробь) -ab=(a-b) в квадрате
2. Разложите на множители многочлен: a(в шестой степени)-b(в шестой)
3. Решите уравнение: 1-(1-x) в квадрате=0
Решение: У меня сомнения по первому заданию, там всё верно?
$$ \frac{a^3-b^3}{a-b}-ab= (a-b)^2 $$
В знаменателе дроби разность кубов, перепишем её
$$ \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b}-ab=a^2+ab+b^2-ab=a^2+b^2 $$
Получается вот такое решение, не (a-b)², а a²+b²
Поэтому у меня и возникли сомнения.
2. a⁶-b⁶=(a²)³-(b²)³=(a²-b²)(a⁴+a²b²+b⁴)=(a-b)(a+b)(a⁴+a²b²+b⁴)
3. 1-(1-x)²=0
1-(1-2x+x²)=0
1-1+2x-x²=0
2x-x²=0
x(2-x)=0
x=0 2-x=0
-x=-2
x=2
Составьте многочлен третьей степени который имеет один двойной и один простой корень.
Решение: например (x-1) *(x^2-4) осталось раскрыть скобки и все один простой это 1 и два это + - 2задумываем корни
пусть х1=х2= а
х3=б
а, б любые
(x-a)(x-a)(x-b)=0
пемемножаем собираем подобные и вуаля.
в первом ответе корни 1 и еще 2 и -2!
