интеграл »
метод интегралов
Найти методом непосредственного интегрирования.
интеграл.(5cosx - 3x^2+1/x)dx
интеграл (3x^8-x^5+x^4)/x^5 dx
Интеграл(6^x*3^(2x) - 4) dx
интеграл((1/cos^2 x)+(1/sqrt1-x^2))dx
интеграл dx/1+16x^2
интегрирование по частям.
интеграл(x+5)cos xdx
Решение: $$ 1.\;\int\left(5\cos x - 3x^2+\frac1x\right)dx=5\int\cos xdx-3\int x^2dx+\int\frac{dx}x=\\=5\sin x-x^3+\ln x+C\\\\2.\;\int\left(\frac{3x^8-x^5+x^4}{x^5}\right)dx=\int(3x^3-1+\frac1x)dx=3\int x^3dx-\int dx+\int\frac{dx}x=\\=\frac34x^4-x+\ln x+C\\\\3.\;\int(6^x\cdot3^{2x}-4)dx=\int((6\cdot3^2)^x-4)dx=\int(54^x-4)dx=\\=\int54^xdx-4\int dx=\frac{54^x}{\ln{54}}-4x+C \\ 4.\;\int(\frac1{\cos^2x}-\frac1{\sqrt{1-x^2}})dx=\int\frac{dx}{\cos^2x}-\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sin x}{\cos x}-\arcsin x+C=\\=tgx-\arcsin x+C\\\\5.\;\int\frac{dx}{1+16x^2}=\int\frac{dx}{1+(4x)^2}=arctg4x+C\\\\6.\;\int(x+5)\cos xdx=\left(\begin{array}{cc}u=x+5&dv=\cos xdx\\du=dx&v=\sin x\end{array}\right)=u\cdot v-\int vdu=\\=(x+5)\cdot\sin x-\int\sin xdx=(x+5)\cdot\sin x+\cos x+C $$
Найти неопределенные интегралы методом подстановки.
1. Интеграл(8x-4)^3 dx
2. Интеграл(12x^3 + 5)/3x^4 + 5x - 3) dx
3. Интеграл x^5 * e^(x^6) dx
Решение: $$ 1.\;\int(8x-4)^3dx=\int(8x-4)^3\frac{d(8x-4)}{8}=\frac1{8}\int(8x-4)^3d(8x-4)=\\=\frac18\cdot\frac14(8x-4)^4+C=\frac1{32}(8x-4)^4+C\\\\2.\;\int\frac{12x^3+5}{3x^4+5x-3}dx=\int\frac{d(3x^4+5x-3)}{3x^4+5x-3}=\ln(3x^4+5x-3)+C\\\\3.\;\int x^5\cdot e^{x^6}dx=\int e^{x^6}\frac{d(x^6)}6=\frac16\int e^{x^6}d(x^6)=\frac16e^{x^6}+C $$2-й и 3-й в комментариях выше. В первом сделаем замену 8x-4=t, тогда x=(t+4)/8, значит dx=1/8 dt. Получаем интеграл 1/8*(t^3) dt=1/8 * (t^4)/4 +C=1/32 * t^4 + C = 1/32 * (8x-4)^4 + C
Найти определенный интеграл методом подстановки
1 интеграл-1 x^2dx/(3+2x^3)
Решение: Решение:
Проводим замену:
$$ t=x^3 \\ dt=d(x^3) \\ dt=3x^2dx \\ \frac{dt}{3} = x^2dx $$
Теперь,
$$ \frac{1}{3} \int \frac{dt}{3+2t} = \frac{1}{6} \int \frac{d(3+2t)}{3+2t} = \frac{1}{6} \ln|t| + C = |t=x^3| \frac{1}{6} \ln |x^3| + C = \\ =\frac{1}{2} \ln |x| +C $$
Определенный интеграл:
$$ \frac{1}{2} \ln |x| |\int_{-1}^1 = \frac{1}{2}\ln |1| - \frac{1}{2}\ln |-1| = 0 - 0 = 0 $$
Ответ: 0
Вычисление неопределенных интегралов методом непосредственного интегрирования.
1. \( \int{\frac{x^3-3x^2+4x-2}{x}}\, dx \)
2. \( \int{x^2(1+4x)}\, dx \)
3. \( \int{(2x-\frac{1}{cos^2x}+sinx)}\, dx \)
4. \( \int{(\frac{2sin^2x+1}{sin^2x})}\, dx \)
5. \( \int{tg^2x}\, dx (tg^2x+1=\frac{1}{cos^2x} \)
6. \( \int{\frac{dx}{9+x^2}}\, \)
7. \( \int{4\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[4]{x}}}\, dx \)
Решение: $$ 1\;\int{\frac{x^3-3x^2+4x-2}{x}}\, dx=\int\left(\frac{x^3}x-\frac{3x^2}x+\frac{4x}x-\frac{2}x\right)dx=\\ =\int\left(x^2-3x+4-\frac2x\right)dx=\int x^2dx-3\int xdx+4\int dx-2\int\frac1xdx=\\ =\frac{x^3}3-\frac{3x^2}2+4x-2\ln|x|+C \\ 2\;\int{x^2(1+4x)}\, dx=\int(x^2-4x^3)dx=\int x^2dx-4\int x^3dx=\\ =\frac{x^2}2-x^4+C \\ 3.\;\int{(2x-\frac{1}{\cos^2x}+\sin x)}\, dx=2\int xdx-\int\frac{dx}{\cos^2x}+\int\sin xdx=\\ =x^2-\frac{\sin x}{\cos x}-\cos x+C=x^2-tgx-\cos x+C \\ 4\;\int{\left(\frac{2\sin^2x+1}{\sin^2x}\right)}\, dx=\int\left(2+\frac1{\sin^2x}\right)dx=\\ =2\int dx+\int\frac{dx}{\sin^2x}=2x-\frac{\cos x}{\sin x}=2x-ctgx+C \\ 5\;\int{tg^2x}\, dx=\int\left(\frac1{\cos^2x}-1\right)dx=\int\frac{dx}{\cos^2x}-\int dx=\\ =\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-x+C=tgx-x+C \\ 6\;\int{\frac{dx}{9+x^2}}\,=\int{\frac{dx}{3^2+x^2}}\,=\frac13arctg\frac x3+C $$Интегрирование методами подстановки и по частям.
примеры:
1) интеграл lnx/x *dx=
2) интеграл cosx*sinxdx=
Решение: Первый проще взять по частям, тут подстановка не нужна.
u = x du = dx;
dv = cos³xdx v = ∫cos²x d(sinx) = ∫1-sin²xd(sinx) = sinx - sin³x/3;
∫ = uv - ∫vdu = x[sinx - sin³x/3] - ∫sinx - sin³x/3 dx.
Вычисляем второй интеграл.
∫sinx dx = -cosx;
∫sin³x/3 dx = -(1/3)∫sin²x d(cosx) = -(1/3)∫1-cos²xd(cosx) = -(1/3) [cosx - cos³x/3]
А второй проще подставить. lnx = t x=e^t; dx = e^tdt
∫t*e^tdt - а теперь по частям по той же схеме. Получится x*lnx - x
Константы не забывайте
