интеграл » метод интегралов
  • Найти методом непосредственного интегрирования.
    интеграл.(5cosx - 3x^2+1/x)dx
    интеграл (3x^8-x^5+x^4)/x^5 dx
    Интеграл(6^x*3^(2x) - 4) dx
    интеграл((1/cos^2 x)+(1/sqrt1-x^2))dx
    интеграл dx/1+16x^2
    интегрирование по частям.
    интеграл(x+5)cos xdx


    Решение: $$ 1.\;\int\left(5\cos x - 3x^2+\frac1x\right)dx=5\int\cos xdx-3\int x^2dx+\int\frac{dx}x=\\=5\sin x-x^3+\ln x+C\\\\2.\;\int\left(\frac{3x^8-x^5+x^4}{x^5}\right)dx=\int(3x^3-1+\frac1x)dx=3\int x^3dx-\int dx+\int\frac{dx}x=\\=\frac34x^4-x+\ln x+C\\\\3.\;\int(6^x\cdot3^{2x}-4)dx=\int((6\cdot3^2)^x-4)dx=\int(54^x-4)dx=\\=\int54^xdx-4\int dx=\frac{54^x}{\ln{54}}-4x+C \\ 4.\;\int(\frac1{\cos^2x}-\frac1{\sqrt{1-x^2}})dx=\int\frac{dx}{\cos^2x}-\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sin x}{\cos x}-\arcsin x+C=\\=tgx-\arcsin x+C\\\\5.\;\int\frac{dx}{1+16x^2}=\int\frac{dx}{1+(4x)^2}=arctg4x+C\\\\6.\;\int(x+5)\cos xdx=\left(\begin{array}{cc}u=x+5&dv=\cos xdx\\du=dx&v=\sin x\end{array}\right)=u\cdot v-\int vdu=\\=(x+5)\cdot\sin x-\int\sin xdx=(x+5)\cdot\sin x+\cos x+C $$

  • Найти неопределенные интегралы методом подстановки.
    1. Интеграл(8x-4)^3 dx
    2. Интеграл(12x^3 + 5)/3x^4 + 5x - 3) dx
    3. Интеграл x^5 * e^(x^6) dx


    Решение: $$ 1.\;\int(8x-4)^3dx=\int(8x-4)^3\frac{d(8x-4)}{8}=\frac1{8}\int(8x-4)^3d(8x-4)=\\=\frac18\cdot\frac14(8x-4)^4+C=\frac1{32}(8x-4)^4+C\\\\2.\;\int\frac{12x^3+5}{3x^4+5x-3}dx=\int\frac{d(3x^4+5x-3)}{3x^4+5x-3}=\ln(3x^4+5x-3)+C\\\\3.\;\int x^5\cdot e^{x^6}dx=\int e^{x^6}\frac{d(x^6)}6=\frac16\int e^{x^6}d(x^6)=\frac16e^{x^6}+C $$

    2-й и 3-й в комментариях выше. В первом сделаем замену 8x-4=t, тогда x=(t+4)/8, значит dx=1/8 dt. Получаем интеграл 1/8*(t^3) dt=1/8 * (t^4)/4 +C=1/32 * t^4 + C = 1/32 * (8x-4)^4 + C

  • Найти определенный интеграл методом подстановки
    1 интеграл-1 x^2dx/(3+2x^3)


    Решение: Решение:
    Проводим замену:
    $$ t=x^3 \\ dt=d(x^3) \\ dt=3x^2dx \\ \frac{dt}{3} = x^2dx $$
    Теперь,
    $$ \frac{1}{3} \int \frac{dt}{3+2t} = \frac{1}{6} \int \frac{d(3+2t)}{3+2t} = \frac{1}{6} \ln|t| + C = |t=x^3| \frac{1}{6} \ln |x^3| + C = \\ =\frac{1}{2} \ln |x| +C $$
    Определенный интеграл:
    $$ \frac{1}{2} \ln |x| |\int_{-1}^1 = \frac{1}{2}\ln |1| - \frac{1}{2}\ln |-1| = 0 - 0 = 0 $$
    Ответ: 0

  • Вычисление неопределенных интегралов методом непосредственного интегрирования.

    1. \( \int{\frac{x^3-3x^2+4x-2}{x}}\, dx \)

    2. \( \int{x^2(1+4x)}\, dx \)

    3. \( \int{(2x-\frac{1}{cos^2x}+sinx)}\, dx \)

    4. \( \int{(\frac{2sin^2x+1}{sin^2x})}\, dx \)

    5. \( \int{tg^2x}\, dx (tg^2x+1=\frac{1}{cos^2x} \)

    6. \( \int{\frac{dx}{9+x^2}}\, \)

    7. \( \int{4\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[4]{x}}}\, dx \)


    Решение: $$ 1\;\int{\frac{x^3-3x^2+4x-2}{x}}\, dx=\int\left(\frac{x^3}x-\frac{3x^2}x+\frac{4x}x-\frac{2}x\right)dx=\\ =\int\left(x^2-3x+4-\frac2x\right)dx=\int x^2dx-3\int xdx+4\int dx-2\int\frac1xdx=\\ =\frac{x^3}3-\frac{3x^2}2+4x-2\ln|x|+C \\ 2\;\int{x^2(1+4x)}\, dx=\int(x^2-4x^3)dx=\int x^2dx-4\int x^3dx=\\ =\frac{x^2}2-x^4+C \\ 3.\;\int{(2x-\frac{1}{\cos^2x}+\sin x)}\, dx=2\int xdx-\int\frac{dx}{\cos^2x}+\int\sin xdx=\\ =x^2-\frac{\sin x}{\cos x}-\cos x+C=x^2-tgx-\cos x+C \\ 4\;\int{\left(\frac{2\sin^2x+1}{\sin^2x}\right)}\, dx=\int\left(2+\frac1{\sin^2x}\right)dx=\\ =2\int dx+\int\frac{dx}{\sin^2x}=2x-\frac{\cos x}{\sin x}=2x-ctgx+C \\ 5\;\int{tg^2x}\, dx=\int\left(\frac1{\cos^2x}-1\right)dx=\int\frac{dx}{\cos^2x}-\int dx=\\ =\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-x+C=tgx-x+C \\ 6\;\int{\frac{dx}{9+x^2}}\,=\int{\frac{dx}{3^2+x^2}}\,=\frac13arctg\frac x3+C $$

  • Интегрирование методами подстановки и по частям.

    примеры:

    1) интеграл lnx/x *dx=
    2) интеграл cosx*sinxdx=


    Решение: Первый проще взять по частям, тут подстановка не нужна. 
    u = x du = dx; 
    dv = cos³xdx v = ∫cos²x d(sinx) = ∫1-sin²xd(sinx) = sinx - sin³x/3; 
    ∫ = uv - ∫vdu = x[sinx - sin³x/3] - ∫sinx - sin³x/3 dx. 
    Вычисляем второй интеграл. 
    ∫sinx dx = -cosx; 
    ∫sin³x/3 dx = -(1/3)∫sin²x d(cosx) = -(1/3)∫1-cos²xd(cosx) = -(1/3) [cosx - cos³x/3] 
    А второй проще подставить. lnx = t x=e^t; dx = e^tdt 
    ∫t*e^tdt - а теперь по частям по той же схеме. Получится x*lnx - x 
    Константы не забывайте

  • найти интеграл, используя метод разложения
    знак интеграла dx/(x^2-6)


    Решение: $$ \int {\frac{dx}{x^2-6}}=\int {\frac{1}{(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})}}\, dx \\ \frac{1}{(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})}=\frac{A}{x-\sqrt{6}}+\frac{B}{x+\sqrt{6}} $$.
    Нужно найти A и B.
    $$ \frac{A}{x-\sqrt{6}}+\frac{B}{x+\sqrt{6}}=\frac{(A+B)x+\sqrt{6}(A-B)}{(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})}=\frac{1}{(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})} \\ (A+B)x+\sqrt{6}(A-B)=1 $$
    положим $$ A=-B $$, чтоб исчезли челн с иксом, потом подставляем найденные A и B в сумму двух дробей, а там интеграл от простой дроби равен натуральному логарифму.
    zzz

  • Найти интеграл методом подстановки. (Подробно):
    \( \int\limits^ \) tg x dx=?
    5dx
    √49-7x² =


    Решение: 2dx = 2dx = 2 *  = 
     xdx = 
     -5dx =  dx = -5x
    -
    Відповідь: 

    $$ \begin{array}{l} \int {{\mathop{\rm tg}olimits} xdx} = \left( \begin{array}{l}t = \cos x\\ dt = - \sin xdx \end{array} \right) = \int {\frac{{ - dt}}{t}} = - \ln \left| t \right| + C = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\\ \int {\frac{{5dx}}{{\sqrt {49 - 7{x^2}} }}} = \left( \begin{array}{l} x = \sqrt 7 \sin t\\ dx = \sqrt 7 \cos tdt \end{array} \right) = \frac{5}{{\sqrt 7 }}\int {dt} = \frac{5}{{\sqrt 7 }}\arcsin \frac{x}{{\sqrt 7 }} + C \end{array} $$

  • Используя метод Эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y̒=f(x,y), удовлетворяющего начальным условиям y₀(1,8)=2.6 на отрезке [1.8;2.8] h=0.1. Все вычисления вести ЧС четырьмя десятичными знаками у’=х+cos⁡〖у/√5〗


    Решение: Как я понял условие, [(y/кор5)] - означает целую часть выражения в скобках.

    Согласно методу Эйлера, решение дифф. ур-ия:

    y’ = f(x,y), где f(x,y) = x + cos[(y/кор5)] с нач. условием у0(1,8) = 2,6 на отрезке [1,8; 2,8] можно представить в виде:

    у(k+1) = y(k) + h*f(xk, yk), где h = 0,1 - по условию.

    Итак у(k=0) = 2,6

    Теперь начинаем считать значения у, чтобы заполнить таблицу:

    y1 = 2,6+0,1{1,9+cos[2,6/кор5])=2,6+0,1{1,9+cos1} = 2,8440

    y2 = 2,8440+0,1{2,0+cos1} = 3,0980

    y3 = 3,0980+0,1{2,1+cos1} = 3,3620

    y4 = 3,3620 + 0,1{2,2+cos1} = 3,6360

    y5 = 3,6360+0,1{2,3+cos1} = 3,9200

    y6 = 3,9200+0,1{2,4+cos1) = 4,2140

    y7 = 4,2140+0,1{2,5+cos1} = 4,5180

    y8 = 4,5180+0,1{2,6+cos2) = 4,7364   (видим, что на этом шаге [y/кор5]=2)

    y9 = 4,7364+0,1{2,7+cos2} = 4,9648

    y10 = 4,9648+0,1{2,8+cos2} = 5,2032

    -

          x              | y

    -

          1,8           | 2,6000

          1,9 | 2,8440

          2,0           |                 3,0980

          2,1           |                 3,3620

          2,2           |                 3,6360

          2,3           |                 3,9200

          2,4           |                 4,2140

          2,5           |                 4,5180

          2,6           |                 4,7364

          2,7           |                 4,9648

          2,8           |                 5,2032

    -

  • Интеграл методом подстановки \(\int x^2 e^{-x^3}dx \)


    Решение: Подстановка
    $$ t=x^3 $$
    Значит $$ \sqrt[3]{t}=x $$. Вычислим $$ dx=d\sqrt[3]{t}=dt^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}t^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}} $$
    Преобразуем исходный интеграл
    $$ \int x^2e^{-x^3}\,dx=\int(\sqrt[3]{t})^2e^{-t}*\frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}}\,dt= \\ =\frac{1}{3}\int t^{\frac{2}{3}}e^{-t}t^{-\frac{2}{3}}\,dt= \\ =\frac{1}{3}\int t^{\frac{2}{3}}t^{-\frac{2}{3}}e^{-t}\,dt= $$
    Теперь можно сократить подынтегральное выражение. Ведь множители с t сокращают друг друга.
    $$ =\frac{1}{3}\int e^{-t}\,dt= $$
    Теперь заменим t на (-z).
    $$ t=-z \\ z=-t \\ dz=-dt $$
    далее решаем
    $$ =\frac{1}{3}\int e^{z}\,(-dz)=-\frac{1}{3}\int e^{z}\,dz=-\frac{1}{3}e^{z}+C. $$
    Где С=const.
    Теперь снова вернемся к переменной t. Так как t=-z, то интеграл принимает вид
    $$ -\frac{1}{3}e^{-t}+C $$
    Вернемся к переменной $$ x^3. $$
    Получается, что
    $$ -\frac{1}{3}e^{-t}+C=-\frac{1}{3}e^{-x^3}+C $$
    Ответ: $$ -\frac{1}{3}e^{-x^3}+C, $$ С=сonst.

  • Интегралы. решить данные интегралы методом подведения под знак интеграла.1. \( \int\limits\sqrt{cos x} * sin x dx \)2. \( \int\limits \frac{e^{arcsin x}}{ \sqrt{1-x^2}} \) 3. \( \int\limits { \frac{x^2dx}{ \sqrt{x^6-2} } } \) .


    Решение:
    1) Т к $$ d(cosx)=-sinxdx $$, то $$ \int\limits { \sqrt{cosx}*sinx } \, dx=-\int\limits { \sqrt{cosx}} \, d(cosx)= \\ =- \frac{cos^{ \frac{3}{2}}x}{ \frac{3}{2}}+C=- \frac{2}{3}cosx\sqrt{cosx}+C $$
    2) Т к $$ d(arcsinx)= \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}}dx $$, то 
    $$ \int\limits { \frac{e^{arcsinx}}{ \sqrt{1-x^2}}} \, dx= \int\limits {e^{arcsinx}} \, d(arcsinx)=e^{arcsinx}+C $$
    3) Т к $$ d(x^3)=3x^2dx $$, то $$ \int\limits { \frac{x^2}{ \sqrt{x^6-2} } } \, dx=\frac{1}{3}\int\limits { \frac{3x^2}{ \sqrt{x^6-2} } } \, d(x^3)=\frac{1}{3}\int\limits { \frac{1}{ \sqrt{(x^6-2} } } \, d(x^3) $$
    Подстановка $$ \sqrt{x^6-2}=x^3-t; $$ $$ (\sqrt{x^6-2})^2=(x^3-t)^2; \\ x^6-2=x^6-2x^3t+t^2;2x^3t=t^2+2;x^3= \frac{t^2+2}{2t}; \\ d(x^3)= \frac{2t*2t-2(t^2+2)}{4t^2}dt= \frac{t^2-2}{2t^2}dt; \\ \sqrt{x^6-2}= \frac{t^2+2}{2t}-t= \frac{2-t^2}{2t}; $$
    $$ \frac{1}{3}\int\limits { \frac{1}{ \sqrt{x^6-2} } } \, d(x^3) =\frac{1}{3}\int\limits { \frac{(t^2-2)2t}{2t^2 (2-t^2) } } \, dt =-\frac{1}{3}\int\limits { \frac{1}{t } } \, dt =-\frac{1}{3}lnt+C \\ t=x^3- \sqrt{x^6-2}; $$ $$ \int\limits { \frac{x^2}{ \sqrt{x^6-2} } } \, dx=-\frac{1}{3}lnt+C=-\frac{1}{3}ln|x^3- \sqrt{x^6-2}|+C $$

1 2 > >>