интеграл »

несобственный интеграл

  • Несобственный интеграл от (- бесконечности) до (0)

    x*(e^x)*dx


    Решение: =предел при b стремящемся к -бесконечности от интегрла от b до 0  (x*e^x) dx

    найдем интеграл:

    интеграл от b до 0 (x*e^x)dx = интеграл от b до 0 (x) d(e^x) = x*e^x|(от b до 0) -

    - интеграл от b до 0 (e^x) dx = -b*e^b - e^x|(от b до 0) = -b*e^b -1 +e^b

    Теперь от этого выражения вычисляем предел при b стремящемся к -бесконечности

    Расписываем на сумму пределов и получаем: 0-1+0 = -1

    Ответ: -1

  • Нужно решить подробно несобственный интеграл второго рода.\( \int\limits {xln ^{2}x } \, dx \)


    Решение: 1)u=ln²x⇒du=2lnxdx/x U dv=xdx⇒v=x²/2
    $$ \int\limits {xln ^{2}x } \, dx =ln ^{2}x*x^2/2 - \int\limits {xlnx} \, dx $$
    2)u=lnx⇒du=dx/x U dv=xdx⇒v=x²/2
    $$ \int\limits {xlnx} \, dx =lnx*x^2/2- 1/2\int\limits {x} \, dx =lnx*x^2/2 -x^2/4 \\ \int\limits^1_0 {xln ^{2}x } \, dx =x^2ln ^{2} x/2-x^2lnx/2+x^2/4|(1-0)=1/4 $$

    ************************

    u ln x du lnxdx x U dv xdx v x int limits xln x dx ln x x - int limits xlnx dx u lnx du dx x U dv xdx v x int limits xlnx dx lnx x - int limits x dx lnx x -x int limits xln x...

  • Нужно исследовать на сходимость несобственный интеграл. \( \int _{-2}^0\, \frac{dx}{x^2+2x+10} \)


    Решение: Интеграл не является несобственным интегралом 1 рода, так как нет бесконечных пределов интегрирования.
    Интеграл не является несобственным интегралом 2 рода, т. к. на промежутке [ -2,0 ] он определён и нет точек разрыва.
     $$ x^2+2x+10>0,\; t.k.\; \; D=4-40<0\; \; \to \; \; x^2+2x+10e 0 $$.
    $$ \int _{-2}^0\, \frac{dx}{x^2+2x+10}=\int _{-2}^0\, \frac{dx}{(x+1)^2+9} =arctg\frac{x+1}{3}\, |_{-2}^0=\\\\=arctg\frac{1}{3}-arctg(-\frac{1}{3})=2arctg\frac{1}{3} $$