интеграл »
несобственный интеграл - страница 2
Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходиться \( \int\limits_0^{\infty}\frac{dx}{x^2(x+2)} \)
Решение: $$ \int\limits_0^{\infty}\frac{dx}{x^2(x+2)}=\lim\limits_{\begin{smallmatrix}\varepsilon\to +0 \\a \to +\infty\end{smallmatrix}} \int\limits_\varepsilon^{a}\frac{dx}{x^2(x+2)}=\lim\limits_{\begin{smallmatrix}\varepsilon\to +0 \\a \to +\infty\end{smallmatrix}} \int\limits_\varepsilon^{a}\left(\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{4x}+\frac{1}{4(x+2)}\right)\,dx= \\ =\lim\limits_{\begin{smallmatrix}\varepsilon\to +0 \\a \to +\infty\end{smallmatrix}} \left.\left(-\frac{1}{2x}-\frac{1}{4}\ln|x|+\frac{1}{4}\ln|x+2|\right)\right|_{\varepsilon}^a= \\ =\lim\limits_{\begin{smallmatrix}\varepsilon\to +0 \\a \to +\infty\end{smallmatrix}} \left.\left(\frac{1}{4}\ln|\frac{x+2}{x}|-\frac{1}{2x}\right)\right|_{\varepsilon}^a=\lim\limits_{\begin{smallmatrix}\varepsilon\to +0 \\a \to +\infty\end{smallmatrix}} \left(\frac{1}{4}\ln|\frac{(\varepsilon+2)a}{\varepsilon(a+2)}|-\frac{a-\varepsilon}{2a\varepsilon}\right). $$
данный предел может также быть равен бесконечности, то и интеграл будет расходящийся.
