интеграл » интеграл замена переменной
  • 1) Вычислить интеграл от рациональной функции
    ∫ dx/x^2-2x-15
    2) Вычислить определённый интеграл
    от 0 до П/2 ∫ sin(4-x)dx
    3) Вычислить интеграл, используя метод замены переменной
    ∫ 2x/√1+x^2 dx


    Решение: $$ \int \frac{dx}{x^2-2x-15}=\int \frac{dx}{(x-1)^2-16}=[\, t=x-1,\; dt=(x-1)’dx=dx\, ]=\\\\=\int \frac{dt}{t^2-16}=\frac{1}{2\cdot 4}\cdot ln|\frac{t-4}{t+4}|+C=\\\\=\frac{1}{8}ln|\frac{x-5}{x+3}|+C \\ 2)\; \int _0^{\frac{\pi}{2}}sin(4-x)dx=\\\\=[\, t=4-x,\; dt=-dx,\; t_1=4-0=4,\; t_2=4-\frac{\pi}{2}\, ]=\\\\=-\int _4^{4-\frac{\pi}{2}}sint\cdot dt=-(-cost)|_4^{4-\frac{\pi}{2}}=cos(4-\frac{\pi}{2})-cos4 \\ 3)\; \int \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}dx=[\, t=1+x^2,\; dt=(1+x^2)’dx=2x\, dx\, ]=\\\\=\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=2\sqrt{t}+C=2\sqrt{1+x^2}+C $$

  • 1) ∫(x+1)(5x-3)dx 2)∫x^2/√1-x^2dx 3) ∫dx/3√9x-7 в 1 задании вычислить интеграл методом непосредственного интегрирования, 2 и 3 задания вычислить интеграл методом подстановки ( замены переменной)


    Решение: $$ 1)\quad \int (x+1)(5x-3)dx=\int (5x^2+2x-3)dx=\frac{5x^3}{3}+x^2-3x+C\\\\2)\quad \int \frac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}} =[\, x=sint,\; dx=cost\, dt,\; t=arcsinx\, ]=\\\\=\int \frac{sin^2t\cdot cost\, dt}{\sqrt{1-sin^2t}} =\int \frac{sin^2t\cdot cost\, dt}{ \sqrt{cos^2t} } =\int \frac{sin^2t\cdot cost\, dt}{cost} =\int sin^2t\, dt=\\\\=\int \frac{1-cos2t}{2} dt=[\, \int cos(kx+b)dx=\frac{1}{k}sin(kx+b)+C\, ]= \\ =\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}sin2t+C=\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\cdot 2sint\cdot cost+C= \\ =\frac{1}{2}arcsinx+\frac{1}{2}sin(arcsinx)\cdot cos(arcsinx)+C=\\\\=\frac{1}{2}arcsinx+\frac{1}{2}\cdot x\cdot \sqrt{1-x^2}+C\\\\3)\quad \int \frac{dx}{3\sqrt{9x-7}} =[\, t=9x-7,\; dt=9dx,\; dx=\frac{dt}{9}\, ]=\\\\=\int \frac{dt}{9\cdot 3\sqrt{t}} =\frac{1}{27}\cdot 2\sqrt{t}+C=\frac{2}{27}\cdot \sqrt{9x-7}+C $$

  • Найти определённый интеграл: методом замены переменной
    \( \int\limits^2_0 {4x/(x^2-1)^3} \, dx \)


    Решение: Имеем:
    $$ \int \limits_0^2 \frac{4x}{(x^2-1)^3}dx=4\int \limits_0^2 \frac{xdx}{(x^2-1)^3}= \\ =2\int \limits_0^2 \frac{d(x^2)}{(x^2-1)^3}=2\int \limits_0^2 \frac{d(x^2-1)}{(x^2-1)^3} \\ t=x^2-1 \\ 2\int \limits_0^2 \frac{dt}{t^3}=2\int \limits_0^2 t^{-3}dt=2*\frac{t^{-2}}{-2}= \\ =-\frac{1}{t^2}=-\frac{1}{(x^2-1)^2}|_0^2=-\frac{1}{9}-1=-1\frac{1}{9} $$
    Если будут вопросы - спрашивай)

    $$ \int^2_0 {2x/( x^{2} -1) ^3} dx = 2 \int^2_0d( x^{2} -1)/( x^{2} -1) ^{3} = $$ сделаем замену переменной $$ x^{2} -1 = $$= u, определим новые границы интегрирования. u(0) = -1 u(2) = 3, тогда наш интеграл будет равен:$$ 2 \int\limits^3_ {-1} du/u^3 = -u^{-2}|^3_{-1} = 26/27 $$

  • Найти интеграл методом замены переменной \( \int{6^{-3x+4}}\, dx\\ \int{cos(2-3x)}\, dx\\ \int{x(3x^2+1)^{\frac{5}{2}}}\, dx \)


    Решение: $$ \int{6^{-3x+4}}\, dx \\ -3x+4=\gamma(x) \\ \int{6^{-3x+4}}\, dx=\frac{1}{\gamma’(x)}\int{6^{\gamma(x)}*\gamma’(x)}\, dx=\frac{1}{\gamma’(x)}\int{6^{\gamma(x)}*}\, d(\gamma(x))= \\ =-\frac{1}{3}*\frac{6^{-3x+4}}{ln6}+C \\ \int{cos(2-3x)}\, dx \\ 2-3x=\gamma(x) \\ \int{cos(2-3x)}\, dx=\frac{1}{\gamma’(x)}\int{cos(\gamma(x))*\gamma’(x)}\, dx=\frac{1}{\gamma’(x)}\int{cos(\gamma(x))}\, d(\gamma(x))= \\ =-\frac{1}{3}sin(2-3x)+C \\ \int{x(3x^2+1)^{\frac{5}{2}}}\, dx \\ x(3x^2+1)^{\frac{5}{2}}=\gamma(x) \\ \int{x(3x^2+1)^{\frac{5}{2}}}\, dx=\frac{1}{\gamma’(x)}\int{\gamma(x)*\gamma’(x)}\, dx=\frac{1}{\gamma’(x)}\int{\gamma(x)}\, d(\gamma(x))= \\ =\frac{1}{(3x^2+1)^{\frac{5}{2}}+15x\sqrt{(3x^2+1)^3}}\frac{(x(3x^2+1)^{\frac{5}{2}})^2}{2}+C= \\ =\frac{x^2(3x^2+1)^{\frac{7}{2}}}{6x^2+30x+2}+C $$

  • Вычислить интеграл, используя замену переменной \( \int\limits{ \frac{1}{cos^2(2-9x)}} \, dx \)


    Решение: Вычислить неопределенный интеграл используя метод замены переменных
    $$ \int\limits{ \frac{1}{cos^2(2-9x)}} \, dx $$
    Решение:
    Введем новую переменную
       t = 2 - 9x
    тогда
       9х =  2 - t
       $$ x = \frac{2-t}{9} $$
      
       $$ dx = -\frac{1}{9}dt $$
    Сделаем подстановку полученных выражений в исходный интеграл
    $$ \int\limits{ \frac{1}{cos^2(2-9x)}} \, dx = \int\limits{ -\frac{1}{9cos^2(t)}} \, dt=- \frac{1}{9} \int\limits{ \frac{1}{cos^2(t)}} \, dt =- \frac{1}{9}tg(t)+C= \\ =- \frac{1}{9}tg(2-9x)+C $$

  • Вычислите определённый интеграл, используя указанную замену переменной \( \int\limits_0^3 \sqrt{9-x^2}dx, \; (x=3sint) \)


    Решение: Так как мы имеем случай, где $$ \sqrt{a^2-b^2x^2} $$, используем тригонометрическую подстановку x=a/b sinx
    $$ \sqrt{9-(3\sin t)^2} =3 \sqrt{\cos^2t} =3|\cos t| \\ \int\limits^{\arcsin \frac{3\cdot1}{3} }_{\arcsin \frac{0\cdot1}{3} } {3|\cos t|\cdot 3\cos t} \, dt = \int\limits^{ \frac{\pi}{2} }_0 {9\cos^2t} \, dt=9 \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 { \frac{1+\cos2t}{2} } \, dt=\\ \\=9\cdot0.5( \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {1} \, dt + \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\cos2t} \, dt)=9\cdot0.5(1\cdot \frac{\pi}{2}-1\cdot0+0)= \frac{9\pi}{4} $$

  • Вычислить интегралы: а) методом замены переменной; б) методом интегрирования по частям.
    A) S 7x^3dx/5+2x^4
    Б) S (2x-3)sin x/2 dx


    Решение: $$ \int{ \frac{7x^3dx}{5+2x^4} } \,=[5+2x^4=u;du=8x^3dx]= \\ \\= \frac{7}{8} \int{ \frac{8x^3dx}{5+2x^4} } \, = \frac{7}{8} \int{ \frac{du}{u} } \, =\frac{7}{8} ln|u|+C=\frac{7}{8} ln|5+2x^4|+C \\ u=2x-3 \Rightarrow du=2dx \\ \\ dv=sin \frac{x}{2} dx\Rightarrow v=-2cos \frac{x}{2} \\ \int{(2x-3)sin \frac{x}{2} } \, dx =-2(2x-3)cos \frac{x}{2}- \int{(-cos \frac{x}{2}) } \, 2dx= \\ \\ =(6-4x)cos \frac{x}{2}+2\int{cos \frac{x}{2} } \,dx=(6-4x)cos \frac{x}{2}+4sin\frac{x}{2}+C $$

  • Заменить переменную в неопределённой интеграле \( \int\limits_{\frac{1}{3}}^{\frac{\sqrt3}{3}}\frac{dx}{\sqrt{4-9x^2}} \)


    Решение: Сначала преобразуем наш интеграл так integral(1/2* dx/sqrt(1-(3/2 * x)^2))= 1/2 integral(dx/sqrt(1-(3/2x)^2)) 3/2 *x=t dt=3/2dx dx=2/3dt 1/2integral(2/3* dt/sqrt(1-t^2))=1/3integral(dt/sqrt(1-t^2))=1/3 arcsin t  +c=1/3arcsin(3/2*x)+c, дальше применяем ньютона лейбница формулу, там f(b)-f(a)

  • Решить определенный интеграл с заменой переменной \( \int\limits^{25}_4 { \frac{dx}{ \sqrt{x} +1} } \)


    Решение: $$ I= \int\limits^{25}_4 { \frac{dx}{ \sqrt{x} +1} } $$
    Замена: $$ \sqrt{x} =t $$ ⇒ x=t² ⇒ dx=2tdt
    x=4 ⇒ t =2; x=25 ⇒ t=5
    $$ I=2 \int\limits^{5}_2 { \frac{tdt}{ t +1} } =2\int\limits^{5}_2 { (1-\frac{1}{ t +1} } )dt= 2(t-ln(t+1)) \big|^5_2=\\ = (10-2ln6)-(4-2ln3)=6-2ln2. $$

    I int limits frac dx sqrt x Замена   sqrt x t   x t   dx tdtx    t x   t I int limits frac tdt t int limits - frac t dt t-ln t big - ln - - ln - ln ....