интеграл » интеграл а в степени х
  • Интеграл x^2/ корень четвертой степени(1+x^4) dx= решите подробно


    Решение: $$ \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt[4]{1 + x^4}} \: \mathrm dx $$ не выражается в элементарных функциях.

    Конструкции вида $$ I = x^m(a + bx^n)^p \: \mathrm dx $$ называются дифференциальными биномами. Интегралы от них выражаются в элементарных функциях только тогда, когда
    а) $$ p \in \mathbb Z $$ или
    б) $$ \dfrac{m+1}{n} \in \mathbb Z $$ или
    в) $$ p + \dfrac{m + 1}{n} \in \mathbb Z $$.

    Подстановки дают:
    а) $$ -\dfrac{1}{4} $$
    б) $$ \dfrac{3}{4} $$
    в) $$ -\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} $$

    Ни одно из чисел не является целым.

  • Интеграл (верхний предел 1, нижний предел 0) (e в степени x^2) dx


    Решение:

    $$ \int\limits_0^1 e^{x^2}\,dx $$  - этот интеграл точно не решается, но можно приближенно методом прямоугольников, левых правых или средних. Можно методом Симпсона или трех восьмых, или методом трапеций. Можно разложить эту функцию в ряд около 0 вычислить с нужной точностью.

    $$ \int\limits_0^1 e^{x^2}\,dx\approx\int\limits_0^1(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\dots) $$

    Он решается, если пределы от минус до плюс бесконечности. Это так называемый интеграл пуасона ответ корень из ПИ если нужно решение потом напишу, ну вообще это не школьный уровень

    Хотя не вру оне не сходится, еслиб перед х минус стоял тогда ещё да

  • 1) Интеграл корень х - корень кубический из хв квадрате - х в степени 1/2
    2) Интеграл (1/корень 3-х2 + 1/ex)*dx
    3) Интеграл (-cosx/2 - x3+4)
    4) Интеграл sin(3П/2 + х/4)*dx
    5) Интеграл 2х-5 - х3 - 8 / х3


    Решение: $$ 1.\quad \int (\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^2}-x^{\frac{1}{2}})dx=\int (x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{2}})dx=\\\\=-\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}+C=-\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}+C\\\\2.\quad \int (\frac{1}{\sqrt{3-x^2}}+\frac{1}{e^{x}}) dx=arcsin\frac{x}{\sqrt3}-e^{-x}+C\\\\3.\quad \int (-cos\frac{x}{2}-x^3+4)dx=-2sin\frac{x}{2}-\frac{x^4}{4}+4x+C\\\\4.\quad \int sin(\frac{3\pi }{2}+\frac{x}{4})dx=-4cos(\frac{3\pi }{2}+\frac{x}{4})+C\\\\5.\quad \int (2x-5-x^3-\frac{8}{x^3})dx= \\ =2\cdot \frac{x^2}{2}-5x-\frac{x^4}{4}-8\cdot \frac{x^{-2}}{-2}+C=x^2-5x-\frac{x^4}{4}+\frac{4}{x^2}+C $$

  • решить определенные интегралы: 1) интеграл сверху е (экспонента), снизу 1, dx/3x.
    2) интеграл сверху 1, снизу 0, в скобочках (1/3) в степени 1-x, умножить на dx.
    3) интеграл сверху 1/3, снизу 0, в скобочках ( е (экспонента) в степени 3x + e (экспонента) в степени -3x ) скобка закрылась, умножить на dx.


    Решение: $$ 1)\quad \int\limits_1^{e} \, \frac{dx}{3x} =\frac{1}{3}\cdot ln|x||_1^{e}=\frac{1}{3}(lne-ln1)=\frac{1}{3}(1-0)=\frac{1}{3}\\\\2)\quad \int\limits^{1}_0 (\frac{1}{3})^{1-x} \, dx =-\frac{(\frac{1}{3})^{1-x}}{ln\frac{1}{3}}|_0^1=\frac{1}{ln3}\cdot \left (\frac{1}{3}\right )^{1-x}|_0^1=\\\\=\frac{1}{3}\cdot \left ((\frac{1}{3})^0-\frac{1}{3}\right )=\frac{1}{3}\cdot (1-\frac{1}{3})=\frac{2}{9} \\ 3)\quad \int\limits_0^\frac{1}{3}(e^{3x}+e^{-3x})dx=\left (\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{1}{3}e^{-3x}\right )|_0^{\frac{1}{3}}= \\ =\frac{1}{3}(e^{3x}-e^{-3x})|_0^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}(e-e^{-1}-1+1)=\frac{1}{3}(e-\frac{1}{e})=\frac{e^2-1}{3e} $$

  • Интеграл от ((1-sqrtx)/(1+sqrt^3x))dx
    P.S В знаменателе корень третьей степени от x


    Решение: $$ \int \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}} dx=[x=t^6,\; dx=6t^5\, dt,\; \sqrt{x}=t^3,\; \sqrt[3]{x}=t^2]=\\\\=6\cdot \int \frac{1-t^3}{1+t^2} \cdot t^5\, dt=-6\cdot \int \frac{t^8-t^5}{t^2+1}dt=\\\\=-6\cdot \int (t^6-t^4-t^3+t^2+t-1+ \frac{-t+1}{t^2+1} )dt=\\\\=-6(\frac{t^7}{7}-\frac{t^5}{5}-\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}-t)+6\cdot \frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}-6\int \frac{dt}{t^2+1}=\\\\=-6\cdot (\frac{t^7}{7}-\frac{t^5}{5}-\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}-t)+3\cdot ln(t^2+1)- \\ -6arctg \, t+C\;,\; \; gde\; \; t=\sqrt[6]{x}\;. $$

  • Интеграл x^2/ корень четвертой степени(1+x^4) dx=


    Решение: $$ \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt[4]{1 + x^4}} \: \mathrm dx $$ не выражается в элементарных функциях.
    Конструкции вида $$ I = x^m(a + bx^n)^p \: \mathrm dx $$ называются дифференциальными биномами. Интегралы от них выражаются в элементарных функциях только тогда, когда
    а) $$ p \in \mathbb Z $$ или
    б) $$ \dfrac{m+1}{n} \in \mathbb Z $$ или
    в) $$ p + \dfrac{m + 1}{n} \in \mathbb Z $$.
    Подстановки дают:
    а) $$ -\dfrac{1}{4} $$
    б) $$ \dfrac{3}{4} $$
    в) $$ -\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} $$
    Ни одно из чисел не является целым.