интеграл »

интеграл двойной

  • Вычислить двойной интеграл, ограниченного заданными линиями: ∫ ∫ по области D (x+1)y^2dxdy D: y=3x^2, y=3


    Решение: Для определения абсцисс концевых точек области В решим уравнения $$ y=3x^{2} $$ и $$ y=3 $$ совместно, т. е. решим систему уравнений:

      $$ \left \{ {{y=3x^{2},} \atop {y=3.}} \right. $$, отсюда

      $$ 3x^{2}=3 $$, или $$ x^{2}=1 $$  

     $$ x_{1}=-1 $$ и $$ x_{2}=1 $$ - искомые абсциссы

      Представим двойной интеграл в виде повторного:

      $$ \int\int{(x+1)y^{2}}\, dxdy= $$ 

      $$ =\int\limits^{x_{2}}_{x_{1}} {x(\int\limits^{3}_{3x^{2}} {y^{2}} \, dy)} \, dx=\int\limits^{x_{2}}_{x_{1}} (x+1)[\frac{1}{3}(27-27x^{6})]dx= $$ 

      $$ =9\int^{1}_{-1}(x+1-x^{6}-x^{7})dx=9[\frac{x^{2}}{2}+x-\frac{x^{7}}{7}-\frac{x^{8}}{8}]|\int^{1}_{-1}= $$

     $$ =9[\frac{1}{2}+1-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}-\frac{1}{2}+1-\frac{1}{7}+\frac{1}{8}]=\frac{9(14-2)}{7}=15\frac{3}{7} $$ 

  • Вычислить двойной интеграл\( \int\limits^p_0 {} \, dx \) \( \int\limits^a_0 {y cos^{2} } \, xdy \)


    Решение: $$ \int\limits^{2 \pi }_0 {} \, dx \int\limits^a_0{ycos^{2}x} \, dy=\\=\int\limits^{2 \pi }_0 {cos^{2}x} \, dx \int\limits^a_0{y} \, dy=\\=\int\limits^{2 \pi }_0 {cos^{2}x} \, dx \frac{ y^{2} }{2} \int\limits^a_0=\\=\int\limits^{2 \pi }_0 { \frac{a^{2}}{2} cos^{2}x} \, dx \\ =\frac{a^{2}}{2}\int\limits^{2 \pi }_0 { cos^{2}x} \, dx =\\=\frac{a^{2}}{2}\int\limits^{2 \pi }_0 {( \frac{1+cos2x}{2} )} \, dx=\frac{a^{2}}{2}(\int\limits^{2 \pi }_0 {( \frac{1}{2} )} \, dx+\int\limits^{2 \pi }_0 {( \frac{cos2x}{2} )} \, dx) \\ \frac{a^{2}}{2}(\frac{1}{2}\int\limits^{2 \pi }_0 {} \, dx+\frac{1}{4}\int\limits^{2 \pi }_0 {cos2x } \, d(2x))=\\=\frac{a^{2}}{2}( \frac{x}{2} + \frac{sin2x}{4} ) \int\limits^{2 \pi }_0=\\=\frac{a^{2}}{2}( \frac{2 \pi }{2} + \frac{sin4 \pi }{4}-0) \\ = \frac{a^{2} \pi }{2} $$

  • С помощью двойного интеграла найти площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями.

    y=sinx y=cosx x=0 (при условии 0<=x<=пи/4)


    Решение: S=∫∫ dx dy=∫₀ dx ∫ dy 

    Внешний интеграл по dx от 0 до π/4

    Внутренний интеграл по dy от sinx до cosx

     ∫dy=y( с подстановкой от sinx до cosx)=cosx-sinx.

    Это выражение записываем под знак внешнего интеграла с пределами от 0 до π/4, получим

      ∫₀(сosx-sinx)dx=(sinx+cosx)|₀=sinπ/4+cosπ/4-(sin0+cos0)=√2/2+√2/2-0-1=√2-1

  • Вычислить двойной интеграл \(\int\limits^2_0 {} \, dy \int\limits^1_0 {(x^2+2y)} \, dx \)


    Решение: Вычислить двойной интеграл
    $$ \int\limits^2_0 {} \, dy \int\limits^1_0 {(x^2+2y)} \, dx $$
    Решение:
    Найдем внутренний интеграл:
    $$ \int\limits^1_0 {(x^2+2y)} \, dx =( \frac{x^3}{3}+2yx) \left. \right|_0^1=\frac{1^3}{3}+2y*1-\frac{0^3}{3}-2y*0=\frac{1}{3}+2y $$
    Результат подставим во внешний интеграл
    $$ \int\limits^2_0 { (\frac{1}{3}+2y) } \, dy =( \frac{1}{3}y+y^2)\left. \right|_0^2= \frac{2}{3}+2^2-\frac{0}{3}-0^2= \frac{2}{3}+4=4 \frac{2}{3} $$
    Ответ: $$ 4 \frac{2}{3} $$

  • Нужно вычислить интеграл, двойной модуль \( \int\limits^5_0 {||x|-3|} \, dx \)


    Решение: $$ \int\limits^5_0 {||x|-3|} \, dx $$
    так как интервал 0-5 положительный, то на нем |x|=x
    $$ \int\limits^5_0 {|x-3|} \, dx $$
    x-3>0 при x>3
    разобьем интервал на два
    $$ \int\limits^5_0 {|x-3|} \, dx =\int\limits^3_0 {|x-3|} \, dx +\int\limits^5_3 {|x-3|} \, dx =\int\limits^3_0 {-(x-3)} \, dx +\int\limits^5_3 {(x-3)} \, dx $$
    =$$ -\int\limits^3_0 {(x-3)} \, dx +\int\limits^5_3 {(x-3)} \, dx=-(x^2/2-3x)|_0^3+(x^2/2-3x)|_3^5= $$
    =-(9/2-9)+(25/2-15-9/2+9)=-9/2+9+25/2-6-9/2=12,5-6=6,5

  • Найти площадь фигуры ограниченной линиями с помощью двойного интеграла y=5/x, y=10*e^x, у=5, у=10


    Решение: $$ y=\frac{5}{x}\; \; \to \; \; x=\frac{5}{y}\\\\y=10e^{x}\; \; \to \; \; e^{x}=\frac{y}{10}\;,\; x=ln\frac{y}{10}\\\\S=\iint _{D}dx\, dy=\int _5^{10}dy\int _{ln\frac{y}{10}}^{\frac{5}{y}}\, dx=\int_5^{10}(x|_{ln\frac{y}{10}}^{\frac{5}{y}})dy=\int_5^{10}(\frac{5}{y}-ln\frac{y}{10})dy;\\\\\int _5^{10}\, ln\frac{y}{10}dy=[\, u=ln\frac{y}{10}\;,du=\frac{dy}{y}\;,dv=dy,\; v=y\, ]=\\\\=y\cdot ln\frac{y}{10}|_5^{10}-\int _5^{10}dy=10\cdot ln1-5\cdot ln\frac{1}{2}-y|_5^{10}=\\\\=0+5\cdot ln2-(10-5)=5ln2-5 \\ S=\int_5^{10}\frac{5}{y}dy-(5\ln2-5)=5\cdot ln|y||_5^{10}-5ln2+5=\\\\=5(ln10-ln5)-5ln2+5=5ln\frac{10}{5}-5ln2+5=5 $$

  • Сменить порядок интегрирования в двойном интеграле \(\int\limits_0^1 dy\int\limits_{\frac{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}f(x, y)dx \)


    Решение: Область интегрирования ограничена параболой х=(y^2)/2 (она симметрична оси ОХ) и верхней полуокружностью x=√(3-y^2). Сама окр-ть имеет ур-ие x^2+y^2=3? радиус=√3, центр в т. О. Точка пересечения этих кривых находится из уравнения y^2/2=√(3-y^2). Получаем биквадратное уравнение y^4+4*y^2-12=0, корни которого (-6) и 2. Тогда у^2=2, у=√2. Сама же область проектируется в отрезок (0,1), судя по пределам интегрирования внешнего интеграла.√2>1⇒√2 лежит выше 1. Значит область ограничена ещё линией у=1. При изменении порядка интегрирования получим три интеграла, так как наша область будет разбита на три прямыми х=1/2, х=√2 (надо подставить х=1 в уравнения полуокружности и параболы). Первый повторный интеграл такой: внешний от0 до 1/2 по dх; внутренний от0 до √(2х) по dу. Второй инт-л: внешний от1/2 до √2 по dx, внутренний от0 до 1 по dy. Третий инт-л: внешний от√2 до √3 поdx, внутренний от 0 до √(3-x^2) по dy.

  • Сменить порядок интегрирования в двойном интеграле \(\int\limits_{-3}^{0} dy\int\limits_{(x+1)^2}^{1-x}f(x, y)dy\)


    Решение: Область ограничена параболой у=(х+1)^2 и прямой у=1-х. Вершина параболы в точке (-1,0). Пересекает ось ОУ в точке (0,1). Точкb пересечения линий находится из уравнения (х+1)^2=x, x^2+3x=0, x1=0, x2=-3.

     При изменении порядка интегрирования надо будет выражать переменные х через у для внутреннего интеграла. Из y=(x+1)^2 найдем х+1=√у или х+1=-√у. Для левой половины параболы ( при х<-1) х=-1-√у. Для правой части параболы х=-1+√у. Тогда получим сумму двух повторных интегралов Первый такой : внешний от0 до 1 по dy, внутренний от -1-√y по  dx. Второй интеграл: внешний от1 до 4 (подставили в ур-ие параболы х=-3, получили у=4)  по dy, внутренний от -1-√у до 1-у ( из уравнения прямой выразили х).

  • Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле для двойного интеграла и изменить порядок интегрирования \( \int\int_D f(x, y)dxdy; D : y^2=x; x=(y-2)^2; x=0 \)


    Решение: $$ x=y^2 \ \ \ => \ \ \ y=\pm\sqrt{x} \\ x=(y-2)^2 \ \ \ => \ \ \ y=\pm\sqrt{x}+2 \\ Intersection \ point: \\ y^2=(y-2)^2 \ \ \ => \ \ \ 4y=4 \ \ \ => \ \ \ y=1 \\ 1=\pm\sqrt{x} \ \ \ <=> \ \ \ 1=\sqrt{x} \ \ \ => \ \ \ (x=1 \ <=> \ y=\sqrt{x})\\ 1=\pm\sqrt{x}+2 \ \ \ => \ -1=\pm\sqrt{x} \ \ => \ \ (x=1 \ <=> \ y=-\sqrt{x}+2) $$
    Получили $$ D $$ ограниченную кривыми
    $$ y=\sqrt{x} \\ y=-\sqrt{x}+2\\ x=0 $$
    Переопределяем множество:
    $$ D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: \ 0Интеграл на множество:
    $$ \iint\limits_D f= \int\limits^1_0 ({ \int\limits^{2-\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} {f(x,y)} \, dy}) \, dx $$