тождество тригонометрическое
cos2x+3cosx-1=0 sin в 4 степени х+cos в 4 степени х+cos 2х=0,5 cos(1.5Пи+2х)-cos х=0
Решение: 1. cos2x + 3cosx - 1 = 0Есть такая формула: cos2x = 2cos^2(x) - 1 Подставляем вместо cos2x
2cos^2(x) + 3cosx - 1 = 0
cosx обозн. t принадлежит [-1;1]
2t^2 + 3t - 1 = 0
D = 9 - 8 = 1
t = (-3+-1)/4 = -1 или -1/2
Подставляем вместо t cosx
cosx = -1 x = Пи + 2пи*k, k принадлежит Z
cosx = -1/2 x = +-2пи/3 + 2пи*k, k принадлежит Z
Ответ: +-2пи/3 + 2пи*k; Пи + 2пи*k, k принадлежит Z
2. sin^4(x) + cos^4(x) + cos2x = 0,5
Попробуем найти sin^4(x) + cos^4(x) из основного тригонометрического тождества:
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
Возведем в квадрат:
sin^4(x) + 2sin^2(x)cos^2(x) + cos^4(x) = 1
sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - 2sin^2(x)cos^2(x)
к 2sin^2(x)cos^2(x) домножим 2 и поделим на два, получится 4sin^2(x)cos^2(x)/2 = sin^2(2x)/2
Значит: sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - sin^2(2x)/2
Подставляем в началное уравнение:
1 - sin^2(2x)/2 + cos2x = 0,5
Домножим на 2
2 - sin^2(2x) + 2cos2x = 1
sin^2(2x) = 1-cos^2(2x) (опять же, основное тригонометрическое тождество)
Подставляем:
-(1-cos^2(2x)) + 2cos2x + 2 - 1 = 0
cos^2(2x) + 2cos2x=0
cos2x(cos2x + 2) = 0
cos2x = 0 2x = пи/2 + пи*k x = пи/4 + пи*k/2; k принадлежит Z
cos2x +2 = 0 cos2x = -2 не уд. (cos2x принадлежит [-1;1]
Ответ: пи/4 + пи*k/2; k принадлежит Z
3. cos(3пи/2 + 2x) - cosx = 0
Воспользуемся формулами приведения
cos(3пи/2 + 2x) = sin2x - подставляем в основное уравнение
sin2x - cosx = 0
2sinxcosx - cosx = 0
cosx(2sinx - 1) = 0
cosx = 0 x = пи/2 + пи*k, k принадлежит Z
2sinx - 1 = 0 sinx = 1/2 x = (-1)^n *(пи/6) + пи*k, k принадлежит Z
Ответ: пи/2 + пи*k, (-1)^n *(пи/6) + пи*k, k принадлежит Z
Решение двух уравнений на тригонометрические тождества и формулы сложения. \( \sqrt{2} \cos( \frac{ \pi }{4} +x)-\cos x=1 \\ \sqrt{2} \sin( \frac{ \pi }{4}- \frac{x}{2})+\sin \frac{x}{2} =1 \)
Решение: √2cos(π/4+x)-cosx=1 √2sin(π/4-x/2)+sinx/2=1
√2(cosπ/4*cosx-sinπ/4*sinx)-cosx=1 √2(sinπ/4*cosx/2-cosπ/4*sinx/2)+sinx/2=1
√2*(√2/2*cosx-√2/2*sinx)-cosx=1 √2(√2/2*cosx/2-√2/2*sinx/2)+sinx/2=1
√2*√2/2(cosx-sinx)-cosx=1 √2*√2/2(cosx/2-sinx/2)+sinx/2=1
cosx-sinx-cosx=1 cosx/2-sinx/2+sinx/2=1
-sinx=1 cosx/2=1
sinx=-1 x/2=2πn, n∈Z
x=-π/2+2πn, n∈Z x=4πn, n∈Z
$$ \sqrt{2} \cos( \frac{ \pi }{4} +x)-\cos x=1 \\\ \sqrt{2}( \cos \frac{ \pi }{4} \cos x - \sin \frac{ \pi }{4} \sin x)-\cos x=1 \\\ \sqrt{2}(\frac{ \sqrt{2} }{2} \cos x - \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin x)-\cos x=1 \\\ \cos x - \sin x-\cos x=1 \\\ \sin x=-1 \\\ x=- \frac{ \pi }{2}+2 \pi n, n\in Z $$
Ответ: \( - \frac{ \pi }{2}+2 \pi n \), где n - целые числа
$$ \sqrt{2} \sin( \frac{ \pi }{4}- \frac{x}{2})+\sin \frac{x}{2} =1 \\\ \sqrt{2} (\sin \frac{ \pi }{4}\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{ \pi }{4}\sin \frac{x}{2})+\sin \frac{x}{2} =1 \\\ \sqrt{2} (\frac{ \sqrt{2} }{2}\cos \frac{x}{2}-\frac{ \sqrt{2} }{2}\sin \frac{x}{2})+\sin \frac{x}{2} =1 \\\ \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2} =1 \\\ \cos \frac{x}{2} =1 \\\ \frac{x}{2} =2 \pi n \\\ x=4 \pi n,n\in Z $$
Ответ: \(4 \pi n\), где n - целые числа
Докажите тождество ( используя тригонометрические формулы): \(1 - cos\alpha - sin\alpha = 2\sqrt2 sin\frac{\alpha}{2}sin(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4})\)
Решение: $$ 1-cos\alpha-sin\alpha=2\sqrt{2}sin\frac{\alpha}{2}sin(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}) \\ 1-cos\alpha-sin\alpha=2\sqrt{2}sin\alpha*(cos\frac{\pi}{4}sin\frac{\alpha}{2}-cos\frac{\alpha}{2}sin\frac{\pi}{4}) \\ 1-cos\alpha-sin\alpha=2\sqrt{2}sin\alpha*(\frac{sin\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{2}}-\frac{cos\frac{a}{2}}{\sqrt{2}}) \\ 1-cos\alpha-sin\alpha=2sin^2\frac{\alpha}{2}-2cos\frac{a}{2}sin\frac{\alpha}{2} \\ 1-cos\alpha-sin\alpha=2*(\frac{1}{2}-\frac{cos\alpha}{2})-2cos\frac{\alpha}{2}sin\frac{\alpha}{2} \\ 1-cos\alpha-sin\alpha=2(\frac{1}{2}-\frac{cos\alpha}{2})-sin\alpha \\ 1-cos\alpha-sin\alpha=1-cos\alpha-sin\alpha $$
Обратные тригонометрические функции
arcsin(cos пи/3)=
Значение тригонометрических функций
tg 5пи / 6 =
ctg ( - 13/6 пи)=
Докажите тождество
sin^4 альфа - cos^4 альфа=-cos 2альфа
Решение: $$ arcsin(cos \frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{2}-arccos(cos \frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{3*\pi}{6}-\frac{2*\pi}{6}=\frac{\pi}{6} \\ tg(\frac{5*\pi}{6})=tg(\pi-\frac{\pi}{6})=tg(-\frac{\pi}{6})=-tg \frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3} \\ ctg(-\frac{13}{6}*\pi)=ctg (-2*\pi-\frac{\pi}{6})=ctg (-\frac{\pi}{6})=-ctg(\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3} $$используя формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество:
$$ sin^4 \alpha-cos^4 \alpha=-(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)*(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=\\=-cos(2 \alpha)*1=-cos (2\alpha) $$ доказано
2) Упростить выражение: sin2 α(1 + ctgα) + cos2α(1 + tg2)
3) По заданному значению функции найдите значение остальных тригонометрических функций:
cost = - 24/25, n
4) Вычислите с помощью формул приведения:
sin 3900 sin 1500 + cos 2100 cos 1500 + tg 2400 tg 2100
1+tga+tg"2"a / 1+ctga+ctg"2"a = tg"2"a
5) Докажите тождество:
1+tga+tg"2"a / 1+ctga+ctg"2"a = tg"2"a
Решение: 2. Запишите tg и ctg через sin и cos и раскройте скобки.3. sint = корень(1-cos^t), ответ получите плюс-минус. Выберите тот, которые соответствует π
4. 3900 = 180*21 + 120 = 21π + 2π/3 = π + 2π/3 = 2π - π/3
1500 = 180*8 + 60 = 8π + π/3 = π/3
2100 = 180*11 + 120 = 11π + 2π/3 = π + 2π/3 = 2π - π/3
2400 = 180*13 + 60 = 13π + π/3 = π + π/3
Дальше всё просто по формулам приведения.
5. В левой части запишите tg и ctg через sin и cos. Приведите сначала числитель исходного выражения к общему знаменателю, затем знаменатель. Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь. Там всё сократится, останется лите sin^2 a/cos^2 a = tg^2 a.
