тождество » тождество тригонометрическое
  • cos2x+3cosx-1=0 sin в 4 степени х+cos в 4 степени х+cos 2х=0,5 cos(1.5Пи+2х)-cos х=0


    Решение: 1. cos2x + 3cosx - 1 = 0

    Есть такая формула: cos2x = 2cos^2(x) - 1 Подставляем вместо cos2x

    2cos^2(x) + 3cosx - 1 = 0

    cosx обозн. t принадлежит [-1;1]

    2t^2 + 3t - 1 = 0

    D = 9 - 8 = 1

    t = (-3+-1)/4 = -1 или -1/2

    Подставляем вместо t cosx

    cosx = -1 x = Пи + 2пи*k, k принадлежит Z

    cosx = -1/2 x = +-2пи/3 + 2пи*k, k принадлежит Z

    Ответ: +-2пи/3 + 2пи*k; Пи + 2пи*k, k принадлежит Z

    2. sin^4(x) + cos^4(x) + cos2x = 0,5

    Попробуем найти sin^4(x) + cos^4(x) из основного тригонометрического тождества:

    sin^2(x) + cos^2(x) = 1

    Возведем в квадрат:

    sin^4(x) + 2sin^2(x)cos^2(x) + cos^4(x) = 1

    sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - 2sin^2(x)cos^2(x)

    к 2sin^2(x)cos^2(x) домножим 2 и поделим на два, получится 4sin^2(x)cos^2(x)/2 = sin^2(2x)/2

    Значит: sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - sin^2(2x)/2

    Подставляем в началное уравнение:

    1 - sin^2(2x)/2 + cos2x = 0,5

    Домножим на 2

    2 - sin^2(2x) + 2cos2x = 1

    sin^2(2x) = 1-cos^2(2x) (опять же, основное тригонометрическое тождество)

    Подставляем:

    -(1-cos^2(2x)) + 2cos2x + 2 - 1 = 0

    cos^2(2x) + 2cos2x=0

    cos2x(cos2x + 2) = 0

    cos2x = 0 2x = пи/2 + пи*k x = пи/4 + пи*k/2; k принадлежит Z

    cos2x +2 = 0 cos2x = -2 не уд. (cos2x принадлежит [-1;1]

    Ответ: пи/4 + пи*k/2; k принадлежит Z

    3. cos(3пи/2 + 2x) - cosx = 0

    Воспользуемся формулами приведения

    cos(3пи/2 + 2x) = sin2x - подставляем в основное уравнение

    sin2x - cosx = 0

    2sinxcosx - cosx = 0

    cosx(2sinx - 1) = 0

    cosx = 0 x = пи/2 + пи*k, k принадлежит Z

    2sinx - 1 = 0 sinx = 1/2 x = (-1)^n *(пи/6) + пи*k, k принадлежит Z

    Ответ: пи/2 + пи*k, (-1)^n *(пи/6) + пи*k, k принадлежит Z

  • Решение двух уравнений на тригонометрические тождества и формулы сложения. \( \sqrt{2} \cos( \frac{ \pi }{4} +x)-\cos x=1 \\ \sqrt{2} \sin( \frac{ \pi }{4}- \frac{x}{2})+\sin \frac{x}{2} =1 \)


    Решение: √2cos(π/4+x)-cosx=1                                      √2sin(π/4-x/2)+sinx/2=1
    √2(cosπ/4*cosx-sinπ/4*sinx)-cosx=1        √2(sinπ/4*cosx/2-cosπ/4*sinx/2)+sinx/2=1
    √2*(√2/2*cosx-√2/2*sinx)-cosx=1              √2(√2/2*cosx/2-√2/2*sinx/2)+sinx/2=1
    √2*√2/2(cosx-sinx)-cosx=1                        √2*√2/2(cosx/2-sinx/2)+sinx/2=1
    cosx-sinx-cosx=1                                        cosx/2-sinx/2+sinx/2=1
    -sinx=1                                                        cosx/2=1
    sinx=-1                                                        x/2=2πn, n∈Z
    x=-π/2+2πn, n∈Z                                       x=4πn, n∈Z

    $$ \sqrt{2} \cos( \frac{ \pi }{4} +x)-\cos x=1 \\\ \sqrt{2}( \cos \frac{ \pi }{4} \cos x - \sin \frac{ \pi }{4} \sin x)-\cos x=1 \\\ \sqrt{2}(\frac{ \sqrt{2} }{2} \cos x - \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin x)-\cos x=1 \\\ \cos x - \sin x-\cos x=1 \\\ \sin x=-1 \\\ x=- \frac{ \pi }{2}+2 \pi n, n\in Z $$
    Ответ: \( - \frac{ \pi }{2}+2 \pi n \), где n - целые числа
    $$ \sqrt{2} \sin( \frac{ \pi }{4}- \frac{x}{2})+\sin \frac{x}{2} =1 \\\ \sqrt{2} (\sin \frac{ \pi }{4}\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{ \pi }{4}\sin \frac{x}{2})+\sin \frac{x}{2} =1 \\\ \sqrt{2} (\frac{ \sqrt{2} }{2}\cos \frac{x}{2}-\frac{ \sqrt{2} }{2}\sin \frac{x}{2})+\sin \frac{x}{2} =1 \\\ \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2} =1 \\\ \cos \frac{x}{2} =1 \\\ \frac{x}{2} =2 \pi n \\\ x=4 \pi n,n\in Z $$
    Ответ: \(4 \pi n\), где n - целые числа

  • Докажите тождество ( используя тригонометрические формулы): \(1 - cos\alpha - sin\alpha = 2\sqrt2 sin\frac{\alpha}{2}sin(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4})\)


    Решение: $$ 1-cos\alpha-sin\alpha=2\sqrt{2}sin\frac{\alpha}{2}sin(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}) \\ 1-cos\alpha-sin\alpha=2\sqrt{2}sin\alpha*(cos\frac{\pi}{4}sin\frac{\alpha}{2}-cos\frac{\alpha}{2}sin\frac{\pi}{4}) \\ 1-cos\alpha-sin\alpha=2\sqrt{2}sin\alpha*(\frac{sin\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{2}}-\frac{cos\frac{a}{2}}{\sqrt{2}}) \\ 1-cos\alpha-sin\alpha=2sin^2\frac{\alpha}{2}-2cos\frac{a}{2}sin\frac{\alpha}{2} \\ 1-cos\alpha-sin\alpha=2*(\frac{1}{2}-\frac{cos\alpha}{2})-2cos\frac{\alpha}{2}sin\frac{\alpha}{2} \\ 1-cos\alpha-sin\alpha=2(\frac{1}{2}-\frac{cos\alpha}{2})-sin\alpha \\ 1-cos\alpha-sin\alpha=1-cos\alpha-sin\alpha $$

  • Обратные тригонометрические функции

    arcsin(cos пи/3)=

    Значение тригонометрических функций

    tg 5пи / 6 =

    ctg ( - 13/6 пи)=

    Докажите тождество

    sin^4 альфа - cos^4 альфа=-cos 2альфа


    Решение: $$ arcsin(cos \frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{2}-arccos(cos \frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{3*\pi}{6}-\frac{2*\pi}{6}=\frac{\pi}{6} \\ tg(\frac{5*\pi}{6})=tg(\pi-\frac{\pi}{6})=tg(-\frac{\pi}{6})=-tg \frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3} \\ ctg(-\frac{13}{6}*\pi)=ctg (-2*\pi-\frac{\pi}{6})=ctg (-\frac{\pi}{6})=-ctg(\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3} $$

    используя формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество:

    $$ sin^4 \alpha-cos^4 \alpha=-(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)*(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=\\=-cos(2 \alpha)*1=-cos (2\alpha) $$ доказано

  • 2) Упростить выражение: sin2 α(1 + ctgα) + cos2α(1 + tg2)

    3) По заданному значению функции найдите значение остальных тригонометрических функций:

    cost = - 24/25, n

    4) Вычислите с помощью формул приведения:

    sin 3900 sin 1500 + cos 2100 cos 1500 + tg 2400 tg 2100

    1+tga+tg"2"a / 1+ctga+ctg"2"a = tg"2"a

    5) Докажите тождество:

    1+tga+tg"2"a / 1+ctga+ctg"2"a = tg"2"a


    Решение: 2. Запишите tg и ctg через sin и cos и раскройте скобки.

    3. sint = корень(1-cos^t), ответ получите плюс-минус. Выберите тот, которые соответствует π

    4. 3900 = 180*21 + 120 = 21π + 2π/3 = π + 2π/3 = 2π - π/3

    1500 = 180*8 + 60 = 8π + π/3 = π/3

    2100 = 180*11 + 120 = 11π + 2π/3 = π + 2π/3 = 2π - π/3

    2400 = 180*13 + 60 = 13π + π/3 = π + π/3

    Дальше всё просто по формулам приведения.

    5. В левой части запишите tg и ctg через sin и cos. Приведите сначала числитель исходного выражения к общему знаменателю, затем знаменатель. Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь. Там всё сократится, останется лите sin^2 a/cos^2 a = tg^2 a.

  • 1) Вычислить:

    sin 13 градусов * на cos17 градусов + sin 17 градусов * на cos 13 градусов

    2)Найти неизвестные тригонометрические функции:

    cos2 = одна пятая

    3)Доказать тождество:

    tg + ctg = дробью,2 делённое на sin2

    3)Упростить:

    sin (40 градусов + ) + sin (40 градусов - )

    5)Упростить:

    cos 8 градусов * на cos 37 градусов + cos 82 градусов * на cos 53 градусов


    Решение: 1)sin 13 градусов * на cos17 градусов + sin 17 градусов * на cos 13 градусов=sin(13°+17°)=
    =sin30°=1/2
    3) tgα+ctgα=sinα/cosα+cosα/sinα=(sin²α+cos²α)/sinαcosα=1/sinαcosα=2/2sinαcosα=2/sin2α

      что и требовалось доказать

    4) Упростить:

      sin 40°+sin(-40°)=sin40°-sin40°=0
    5)cos8°cos37°+cos82°cos53°=1/2[cos(37°-8°)+cos(37°+8°)]+1/2[cos(82°-53°)+cos(82+53°)]=
    =1/2(cos29°+cos45°)+1/2(cos29°+cos135°)=1/2( cos29°+cos45°+cos29°+cos135°)=
    = cos29°+1/2cos45°+1/2cos(90°+45°)=0.87+√2/4-√2/4≈0.87

  • Нужно доказать тригонометрическое тождество: 1+ctg a\1+tg a=ctg a


    Решение: $$ \frac{1+ctg \alpha }{1+tg \alpha } = \frac{1+ \frac{cos \alpha }{sin \alpha }}{1+ \frac{sin \alpha }{cos \alpha } } = \\ = \frac{\frac{cos \alpha +sin \alpha }{sin \alpha } }{ \frac{sin \alpha +cos \alpha }{cos \alpha } } = \frac{cos \alpha +sin \alpha }{sin \alpha } * \frac{cos \alpha }{sin \alpha +cos \alpha} = \\ = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}=ctg \alpha $$

    $$ \frac{1+ctga}{1+tga} = \frac{1+ \frac{cosx}{sina} }{1+ \frac{sina}{cosa} } = \frac{ \frac{cos ^{2}x+sin ^{3} +cosa }{sina} }{ \frac{cos ^{3}x+sin ^{2} a+sina }{cosa} } = \frac{(cos ^{2}x+sin ^{3} +cosa)*cosa}{(cos ^{3}x+sin ^{2} a+sina)*sina} =ctga $$

  • Доказать тригонометрическое тождество
    \( cos(\frac{\pi}{7})*cos(\frac{4\pi}{7})*cos(\frac{5\pi}{7})=\frac{1}{8} \)


    Решение: $$ cos(\frac{\pi}{7})*cos(\frac{4\pi}{7})*cos(\frac{5\pi}{7}) $$
    Воспользуемся формулой $$ sin2a=2sina*cosa $$
    тогда если на эту дробь умножить и поделить $$ 2sin\frac{\pi}{7} $$ 
    то получим 
    $$ \frac{cos\frac{\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}*2sin\frac{\pi}{7}}{2sin\frac{\pi}{7}} =\\ \frac{sin\frac{2\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{2sin\frac{\pi}{7}}=\\ \\ $$
    Теперь если еще раз умножить и поделить дробь теперь уже на $$ 2cos\frac{2\pi}{7} $$, получим 
    $$ \frac{2*cos\frac{2\pi}{7}*sin\frac{2\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{4*cos\frac{2\pi}{7}sin\frac{\pi}{7}}=\\ \\ \frac{sin\frac{4\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{4*cos\frac{2\pi}{7}*sin\frac{\pi}{7}}=\\ \\ $$
    Теперь умножим и поделим на 2
    $$ \frac{2sin\frac{4\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{8*cos\frac{2\pi}{7}*sin\frac{\pi}{7}}=\\ \frac{sin\frac{8\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{8*cos\frac{2\pi}{7}*sin \frac{\pi}{7}}=\\ \\ $$
    Тогда по формуле приведения 
    $$ cos(\frac{2\pi}{7})=sin\frac{3\pi}{14}\\ sin\frac{\pi}{7}=sin\frac{\pi}{7}\\ \\ sin\frac{8\pi}{7}=sin\frac{\pi}{7}\\ cos\frac{5\pi}{7}=sin \frac{3\pi}{14}\\ $$
    Теперь подставим и сократим получим 1/8 

  • Докажите тригонометрическое тождество (sin 2α + sin 4α)² + (cos 2α + cos 4α)² = 4 cos² α


    Решение: (sin 2α + sin 4α)² + (cos 2α + cos 4α)² = 4 cos² α
    (sin 2α + sin 4α)² + (cos 2α + cos 4α)² = sin² 2α + 2sin 2α · sin 4α + sin² 4α + cos² 2α + 2 cos 2α · cos 4α + cos² 4α = (sin² 2α + cos² 2α) + (sin² 4α  + cos² 4α) + (cos 2α - cos 6α) + (cos 2α + cos 6α) = 1+1+2cos 2α = 2 + 2(2cos² α - 1) = 2 + 4cos² α - 2 = 4cos² α
    Можно еще и таким способом:
    (sin 2α + sin 4α)² + (cos 2α + cos 4α)² = (2sin 3α cosα)² + (2cos 3α cos α)² = 4sin² 3α cos² α + 4cos² 3α cos² α = 4cos² α (sin² 3α + cos² 3α) = 4cos² α · 1 = 4cos² α
    4cos² α=4cos² α

  • Докажите тригонометрическое тождество \( \frac{sin^2(\frac{3\pi}{2}+ \alpha )}{ctg^2( \alpha -2\pi )}+\frac{sin^2(- \alpha )}{ctg^2( \alpha -\frac{3\pi}{2})}=1 \)


    Решение: $$ \frac{sin^2(\frac{3\pi}{2}+ \alpha )}{ctg^2( \alpha -2\pi )}+\frac{sin^2(- \alpha )}{ctg^2( \alpha -\frac{3\pi}{2})}=\frac{(-cos \alpha )^2}{ctg^2 \alpha }+\frac{sin^2 \alpha }{(-tg \alpha )^2}=\\\\=\frac{cos^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha }{cos^2 \alpha }+\frac{sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha }{sin^2 \alpha }=sin^2 \alpha +cos^2 \alpha =1\\\\\\P.S.\; sin(\frac{3\pi}{2}+ \alpha )=-cos \alpha \\\\ctg( \alpha -2\pi )=-ctg(2\pi- \alpha )=-ctg(- \alpha )=ctg \alpha \\\\sin(- \alpha )=-sin \alpha \\ ctg( \alpha -\frac{3\pi}{2})=-ctg(\frac{3\pi}{2}- \alpha )=-tg \alpha $$

1 2 > >>