тождество »

тождество тригонометрическое - страница 2

  • 1) Вычислить:

    sin 13 градусов * на cos17 градусов + sin 17 градусов * на cos 13 градусов

    2)Найти неизвестные тригонометрические функции:

    cos2 = одна пятая

    3)Доказать тождество:

    tg + ctg = дробью,2 делённое на sin2

    3)Упростить:

    sin (40 градусов + ) + sin (40 градусов - )

    5)Упростить:

    cos 8 градусов * на cos 37 градусов + cos 82 градусов * на cos 53 градусов


    Решение: 1)sin 13 градусов * на cos17 градусов + sin 17 градусов * на cos 13 градусов=sin(13°+17°)=
    =sin30°=1/2
    3) tgα+ctgα=sinα/cosα+cosα/sinα=(sin²α+cos²α)/sinαcosα=1/sinαcosα=2/2sinαcosα=2/sin2α

      что и требовалось доказать

    4) Упростить:

      sin 40°+sin(-40°)=sin40°-sin40°=0
    5)cos8°cos37°+cos82°cos53°=1/2[cos(37°-8°)+cos(37°+8°)]+1/2[cos(82°-53°)+cos(82+53°)]=
    =1/2(cos29°+cos45°)+1/2(cos29°+cos135°)=1/2( cos29°+cos45°+cos29°+cos135°)=
    = cos29°+1/2cos45°+1/2cos(90°+45°)=0.87+√2/4-√2/4≈0.87

  • Нужно доказать тригонометрическое тождество: 1+ctg a\1+tg a=ctg a


    Решение: $$ \frac{1+ctg \alpha }{1+tg \alpha } = \frac{1+ \frac{cos \alpha }{sin \alpha }}{1+ \frac{sin \alpha }{cos \alpha } } = \\ = \frac{\frac{cos \alpha +sin \alpha }{sin \alpha } }{ \frac{sin \alpha +cos \alpha }{cos \alpha } } = \frac{cos \alpha +sin \alpha }{sin \alpha } * \frac{cos \alpha }{sin \alpha +cos \alpha} = \\ = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}=ctg \alpha $$

    $$ \frac{1+ctga}{1+tga} = \frac{1+ \frac{cosx}{sina} }{1+ \frac{sina}{cosa} } = \frac{ \frac{cos ^{2}x+sin ^{3} +cosa }{sina} }{ \frac{cos ^{3}x+sin ^{2} a+sina }{cosa} } = \frac{(cos ^{2}x+sin ^{3} +cosa)*cosa}{(cos ^{3}x+sin ^{2} a+sina)*sina} =ctga $$

  • Доказать тригонометрическое тождество
    \( cos(\frac{\pi}{7})*cos(\frac{4\pi}{7})*cos(\frac{5\pi}{7})=\frac{1}{8} \)


    Решение: $$ cos(\frac{\pi}{7})*cos(\frac{4\pi}{7})*cos(\frac{5\pi}{7}) $$
    Воспользуемся формулой $$ sin2a=2sina*cosa $$
    тогда если на эту дробь умножить и поделить $$ 2sin\frac{\pi}{7} $$ 
    то получим 
    $$ \frac{cos\frac{\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}*2sin\frac{\pi}{7}}{2sin\frac{\pi}{7}} =\\ \frac{sin\frac{2\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{2sin\frac{\pi}{7}}=\\ \\ $$
    Теперь если еще раз умножить и поделить дробь теперь уже на $$ 2cos\frac{2\pi}{7} $$, получим 
    $$ \frac{2*cos\frac{2\pi}{7}*sin\frac{2\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{4*cos\frac{2\pi}{7}sin\frac{\pi}{7}}=\\ \\ \frac{sin\frac{4\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{4*cos\frac{2\pi}{7}*sin\frac{\pi}{7}}=\\ \\ $$
    Теперь умножим и поделим на 2
    $$ \frac{2sin\frac{4\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{8*cos\frac{2\pi}{7}*sin\frac{\pi}{7}}=\\ \frac{sin\frac{8\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{8*cos\frac{2\pi}{7}*sin \frac{\pi}{7}}=\\ \\ $$
    Тогда по формуле приведения 
    $$ cos(\frac{2\pi}{7})=sin\frac{3\pi}{14}\\ sin\frac{\pi}{7}=sin\frac{\pi}{7}\\ \\ sin\frac{8\pi}{7}=sin\frac{\pi}{7}\\ cos\frac{5\pi}{7}=sin \frac{3\pi}{14}\\ $$
    Теперь подставим и сократим получим 1/8 

  • Докажите тригонометрическое тождество (sin 2α + sin 4α)² + (cos 2α + cos 4α)² = 4 cos² α


    Решение: (sin 2α + sin 4α)² + (cos 2α + cos 4α)² = 4 cos² α
    (sin 2α + sin 4α)² + (cos 2α + cos 4α)² = sin² 2α + 2sin 2α · sin 4α + sin² 4α + cos² 2α + 2 cos 2α · cos 4α + cos² 4α = (sin² 2α + cos² 2α) + (sin² 4α  + cos² 4α) + (cos 2α - cos 6α) + (cos 2α + cos 6α) = 1+1+2cos 2α = 2 + 2(2cos² α - 1) = 2 + 4cos² α - 2 = 4cos² α
    Можно еще и таким способом:
    (sin 2α + sin 4α)² + (cos 2α + cos 4α)² = (2sin 3α cosα)² + (2cos 3α cos α)² = 4sin² 3α cos² α + 4cos² 3α cos² α = 4cos² α (sin² 3α + cos² 3α) = 4cos² α · 1 = 4cos² α
    4cos² α=4cos² α

  • Докажите тригонометрическое тождество \( \frac{sin^2(\frac{3\pi}{2}+ \alpha )}{ctg^2( \alpha -2\pi )}+\frac{sin^2(- \alpha )}{ctg^2( \alpha -\frac{3\pi}{2})}=1 \)


    Решение: $$ \frac{sin^2(\frac{3\pi}{2}+ \alpha )}{ctg^2( \alpha -2\pi )}+\frac{sin^2(- \alpha )}{ctg^2( \alpha -\frac{3\pi}{2})}=\frac{(-cos \alpha )^2}{ctg^2 \alpha }+\frac{sin^2 \alpha }{(-tg \alpha )^2}=\\\\=\frac{cos^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha }{cos^2 \alpha }+\frac{sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha }{sin^2 \alpha }=sin^2 \alpha +cos^2 \alpha =1\\\\\\P.S.\; sin(\frac{3\pi}{2}+ \alpha )=-cos \alpha \\\\ctg( \alpha -2\pi )=-ctg(2\pi- \alpha )=-ctg(- \alpha )=ctg \alpha \\\\sin(- \alpha )=-sin \alpha \\ ctg( \alpha -\frac{3\pi}{2})=-ctg(\frac{3\pi}{2}- \alpha )=-tg \alpha $$

<< < 12 3 > >>