тождество »

решите тождество - страница 2

  • Что такое тождество? приведите пример и решите его


    Решение: То́ждество (в математике) — равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных, например:
    a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
    (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
    и т. п. Иногда называют тождеством также равенство, не содержащее никаких переменных; напр. 25^2 = 625.
    Тождественное равенство, когда его хотят подчеркнуть особо, обозначается символом «То́ждество (в математике) — равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных, например:
    a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
    (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
    и т. п. Иногда называют тождеством также равенство, не содержащее никаких переменных; напр. 25^2 = 625.
    Тождественное равенство, когда его хотят подчеркнуть особо, обозначается символом «\equiv».

  • Докажите тождество sinx-cosx=-√2cos(p/4+x) там минус корень из 2


    Решение: 3 - 4cos2x + cos4x = 3 - 4cos2x + 2cos^2x - 1 = 2cos^2x - 4cos2x + 2 = = 2(cos2x - 1)^2 = 8sin^4x.
    3 + 4cos2x + cos4x = 3 + 4cos2x + 2cos^2x - 1 = 2cos^2x + 4cos2x + 2 = 2(cos2x + 1)^2 = 8cos^4x.
    Данная дробь равна 8sin^4x/8cos^4x = tg^4x.
    2. 1 - 2sin^2x = cos2x = cos^x - sin^2x = (cosx - sinx)(cosx + sinx).
    1 + sin2x = cos^x + sin^2x +2sinxcosx = (cosx + sinx)^2.
    Вторая дробь после сокращений равняется (cosx - sinx)/(cosx+ sinx). Разделим числитель и знаменатель последней дроби на cosx и получим правую часть тождества.
    3. 
    1 + sin2x = cos^x + sin^2x +2sinxcosx = (cosx + sinx)^2.
    cos2x = cos^x - sin^x = (cosx - sinx)(cosx + sinx).
    Данная дробь после сокращений равна (cosx + sinx)/(cosx - sinx). Умножим числитель и знаменатель на (корень из 2)/2 и получим правую часть тождества.

  • пользуясь тождеством a^2 -b^2=(a-b)(a+b) разложите на множители:

    а) x^2/3-4

    б) а^4/3-5

    в) м^1/2-25

    г) 3-2х^1/3

    д) с^0.8 - x^0.5

    е) р-р^0.6


    Решение: 1)(x^1/3-2)(x^1/3+2) 2)(a^2/3-корень из5)(a^2/3+корень из5) 3)(m^1/4-5)(m^1/4+5) 5)(c^2/5-x^1/4)(c^2/5+x^1/4) 6)(p^1/2-p^3/10)(p^1/2+p^3/10) 4 сделай по аналогии

    x - x a -корень из a корень из m - m c -x c x p -p p p сделай по аналогии...

  • доведите тождество(доведіть тотожність) \( ( \frac{ \sqrt[4]{a}-5 }{ \sqrt[4]{a}+5} - \frac{ \sqrt[4]{a}+5 }{ \sqrt[4]{a}-5} ): \frac{10a^{ \frac{1}{4} }}{25-a^{ \frac{1}{2} }} =2 \)


    Решение: $$ ( \frac{ \sqrt[4]{a}-5 }{ \sqrt[4]{a}+5} - \frac{ \sqrt[4]{a}+5 }{ \sqrt[4]{a}-5} ): \frac{10a^{ \frac{1}{4} }}{25-a^{ \frac{1}{2} }} = ( \frac{ a^{0.25}-5 }{ a^{0.25}+5} - \frac{ a^{0.25}+5 }{a^{0.25}-5} ): \frac{10a^{ 0.25 }}{25-a^{ 0.5} } = \\\ =\frac{ ( a^{0.25}-5)^2- ( a^{0.25}+5)^2 }{ (a^{0.25}+5)(a^{0.25}-5)} \cdot \frac{25-a^{ 0.5} }{10a^{ 0.25 }} = \\\ =\frac{ a^{0.5}-10a^{0.25}+25- a^{0.5}-10a^{0.25}-25 }{ a^{0.5}-25} \cdot \frac{25-a^{ 0.5} }{10a^{ 0.25 }} = \\ =-\frac{ -20a^{0.25} }{10a^{ 0.25 }} =2 $$

  • Докажите, что если в дроби (a^3-2b^3)\(3a^3-a^2b-4ab^2) переменные а и b заменить соответственно на pa и pb, то получим дробь, тождественно равную данной. Используя доказанное тождество, найдите значение заданной дроби при а=65, b=52


    Решение: $$ \frac{a^3-2b^3}{3a^3-a^2b-4ab^2} \\\ \frac{(pa)^3-2(pb)^3}{3(pa)^3-(pa)^2pb-4pa(pb)^2} = \frac{p^3(a^3-2b^3)}{p^3(3a^3-a^2b-4ab^2)} = \frac{a^3-2b^3}{3a^3-a^2b-4ab^2} \\ a=65=5\cdot13 \\\ b=52=4\cdot13 $$
    Значит,  вместо чисел 65 и 52 можно подставить соответственно 5 и 4
    $$ \frac{a^3-2b^3}{3a^3-a^2b-4ab^2}= \frac{5^3-2\cdot4^3}{3\cdot5^3-5^2\cdot4-4\cdot5\cdot4^2}=\\= \frac{125-128}{375-100-320}= \frac{-3}{-45}= \frac{1}{15} $$
    Ответ: 1/15

  • 1) Докажите, что при всех допустимых значениях переменной, значение выражения не зависит от переменной.
    a)4x+5/2x-1 + 6x+4/1-2x
    b)5x+1/x-4 + x+17/4-x
    c)3x+5/2x+2 + 4x+7/3x+3
    2) представьте следующие рациональные выражения в виде суммы или разности двух рациональных, используя тождества a±b/c=a/c±b/c
    a)a+3/b
    b)x^2-3/x
    c)12a+x/6ax


    Решение: 1а)
    (4х+5)/(2х-1) + (6х+4)/(1-2х) = 
    Знаменатель переворачиваем по знаку и получаем.
    (4х + 5 - 6х - 4)/(2х-1) = 
    (- 2х +1)/(2х-1) = - 1 - не зависит от Х.
    1b)
    (5х+1)/(х-4) + (х+17)/(4-х) =
    (5х+ 1 - х - 17)/(х-4) =
    4*(4х - 4)/ (х-4) = 4 - не зависит от Х
    1с)
    (3х+5)/(2х+2) - (4х+7)/(3х+3) = (скорее ошибка в знаке - надо минус)
    [ 3*(3х+5) + 2*(4x+7) ] / [ 6 * (x+1)] = 
    (9х +15 - 8х - 14) /[6*(x+1)] = 
    (х+1) /6*(х+1) = 1/6 - не зависит от Х.

  • 4. Решите уравнение: 5a2 - 2a = 0;
    5. Докажите заданное тождество: (x - y) 2 - 2 xy + 2 x2 - y2 = x (3x-4y);
    Вариант III
    1. Разложите следующие выражения на множители:
    а) 3z3 - 6z2;
    б) 4c2 - 8;
    б) 3b2 + 6b - 9 +3b;
    2. Решите уравнение: 2z3 - 4z2 + 3z - 6 = 0;
    3. Сократите заданную дробь:3cd2⁄cde;
    4. Решите уравнение:6b2 - 2b = 0;


    Решение: 5а^2-2а=0
    а(5а-2)=0
    а1=0
    5а-2=0
    5а=2
    а2=0.4
    берем левую часть
    (х-у)^2-2ху+2х^2-у^2=х^2-2ху+у^2-2ху+2х^2-у^2=
    =3х^2-4ху=х(3х-4у)
    тождество доказано
    3z^3-6z^2=3z^2(z-2)
    4c^2-8=4(c^2-2)
    3b^2+6b-9+3b=3b^2-9+9b=3(b^2-3+3b)
    3cd^2/cde=3d/e
    6b^2-2b=0
    2b(3b-1)=0
    2b=0
    b1=0
    3b-1=0
    b2=1/3

  • 1. Разложите следующие выражения на множители:
    а) 4y3+ 8y2;
    б) 2a2 - 4;
    б) 3z2 + 5z + 8 - 4z;
    2. Решите уравнение: 4y3 - 2y2 + 2y + 8 = 0;
    3. Сократите заданную дробь:2xy2⁄xyz;
    4. Решите уравнение: 5a2 - 2a = 0;
    5. Докажите заданное тождество: (x - y) 2 - 2 xy + 2 x2 - y2 = x (3x-4y);


    Решение: 1.)
    а) 4у^2*(у+2)
    б) 2*(a^2-2)
    в) z(3z+5-4)+8 или z(3z+5)+4(2-z) оба верные, но второе более подходит
    2.)
    3.)
    2y/z
    4.)
    D=4-0=2^2
    x1=(2-2)/10=0
    x2=(2+2)/10=4/10=0/4
    5.)
    (х^2-2xy+y^2-2xy+2x^2-y^2=x (3x-4y)
    3x^2-4xy=x (3x-4y)
    3x^2-4xy=3x^2-4xy

  • Разложить на множители: 5(m-n)+m в третий степени -n в третьей степени
    №2 докажите, что значение выражения
    p в третий степени-(5+p)(25-5p+p во второй степени) не зависит от значения p
    №3 в равенстве 8b в 3 степени-=(2b.)(.+2bc во 2 степени+.) заполните пропуски одночленами так чтобы получилось тождество.


    Решение: 1. 5(m-n)+m³-n³=5(m-n)+(m-n)(m²+mn+n²)=(m-n)(5+m²+mn+n²).
    2. p³-(5+p)(25-5p+p²)=p³-(5³+p³)=p³-125-p³=-125. То есть при любом p значение выражения будет равно -125, то есть не зависит от значения p. Что и требовалось доказать.
    3. 8b³-c³=(2b-c)(4b²+2bc+c²)

  • 1. Представьте в виде произведения
    А) m^6- 216
    Б) x^3+y^3-3x-3y
    -
    (m^6- эм в шестой степени; х^3- икс в третьей степени; y^3- игрик в третьей степени)
    -
    2. Докажите, что значение выражения
    а^3-(а-4)(а^2+4а+16)
    не зависит от значения а
    -
    (a^3- а в третьей степени; а^2- а во второй степени)
    -
    3. В равенстве
    .+p^16=(.p^2)(16q^2+.+.)
    заполнить пропуски одночленами так, чтобы получилось тождество.
    -
    (p^6- p в шестой степени;p^2- p во второй степени; 16q^2- 16q во второй степени)


    Решение: A) (m²-6)(m⁴+6m²+36)
    Б)(х+у)(х²-ху+у²)-3(х+у)=(х+у)(х²+у²-ху-3)
    2) не умею
    3) не решается

    1. Представьте в виде произведения
    А) m⁶ -  216 = (m²)³ - 6³ = (m² - 6)(m⁴ + 6m² +36) - разность кубов 
    Б) x³ + у³ - 3x - 3y = (x³ + у³) - 3(x + y) = (х + у)(х² - ху + у²) -  3(x + y) = (x + y)(х² - ху + у² - 3) 
    2. Докажите, что значение выражения
    а³ - (а - 4)(а² + 4а + 16) = а³ - (а³ - 64) =  а³ - а³ + 64 = 64 не зависит от значения а, ч. т. д.
    3. 64q³ - p⁶ = (4q - p²)(16q² + 4 pq² + p⁴)

<< < 12 3 > >>