погрешность »

абсолютная погрешность

  • При 0<а<1 часто используется приближенная формула (1+а)^2=1+2а (приближенно). Какова абсолютная погрешность приближения, найденного этой формулой? Спомощью это формулы найдите приближённые значения данного выражения и, используя калькулятор, вычислите абсолютную и относительную погрешности приближения:
    2) 1,05^2; 2) 1,002^2; 3) 0,999^2?


    Решение: Абсолютная погрешность = | (1+a)^2 - (1+2a) | = | 1+2a+a^2 - (1+2a) | =
     = |a^2| = a^2;
    относительная погрешность = абсолютная_погрешность/(1+a)^2 = 
     = a^2/(1+a)^2;
    1) (1,05)^2 = (1 + 0,05)^2 =[приближенно] = 1+2*0,05 = 1+0,1 = 1,1;
    абсолютная погрешность = 0,05^2 = 0,0025,
    относительная погрешность = 0,0025/(1,05)^2 =0,00227;

    2) (1,002)^2 = (1 + 0,002)^2 = [приближенно] = 1+2*0,002 = 
    = 1+ 0,004 = 1,004;
    абсолютная погрешность =  0,002^2 = 4*10^(-6);
    относительная погрешность = 0,002^2/(1,002)^2 = 3,98*10^(-6);
    3) 0,999^2 = (1 - 0,001)^2 = [приближенно] = (1 - 2*0,001) = 
    =1 - 0,002  = 0,998 
    абсолютная погрешность = 0,001^2 = 10^(-6);
    относительная погрешность = (10^(-6))/0,999^2 = 1,002 * 10^(-6).

  • Между числами 7 и 9 любое число, считается приближённо равным 8-ми. Чему равна в этом случае абсолютная погрешность?


    Решение: Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности двух значений - точного и приближенного. В данном случае, мы можем выбрать число, сколь угодно близкое к 7 или 9. Следовательно, максимальная абсолютная погрешность в пределе будет стремиться к 1.

  • решитьx=12,2
    y=18,7
    z=7*12+2*19=122
    Вычислить абсолютную погрешность полученного результата


    Решение: Если взять что z=7*x+2*y=122 округленные (в большую либо меньшую из сторон) то соответственно погрешность для x = |0.5| и для y = |0.5| можно рассчитать по формулам.

    // погрешность произведения
    z = (x± Δx) (y± Δy)=xּy± yּΔx ±xּΔy± ΔxּΔy = xּy± yּΔx ±xּΔy
    // погрешность суммирования
    Δz = (x± Δx)+(y± Δy)=(x + y) ±(Δx± Δy)

    z = 7 * 12 ± 12*0± 7*0.5 + 2 * 19 ± 19*0± 2*0.5 = 84±3.5 + 38±1.0 = 122 ± 4.5;
    Абсолютная погрешность вычислений равна 4.5.
    <-- ИЛИ же все проще -- >
    z1 = 7*12+2*19=122
    z2 = 7*12.2+2*18.7 = 122.8
    Абсолютная погрешность вычислений |122.8 - 122| = |0.8| равна 0.8

  • 1.Округлите числа до единиц и найдите абсолютную и относительную погрешности. 1) 5,4 ; 2) 7,9 ; 3) 1,89; 4) 8,5 ; 5) 3,71 ; 6) 11,27 .
    2.Найдите абсолютную погрешность приближенного значения, полученного в результате округления.
    1) числа 8,79 до единиц;
    2) числа 0,777 до десятых ;
    3) числа 132 до десятков;
    4) числа 1,23 до сотых.


    Решение: Абсолютная погрешность равна модулю разницы между точным и округленным числом.
    Относительная погрешность равна абсолютной, деленной на приближенное значение, выраженное в процентах.

    1.
    1) 5,4 = 5. Абс = 5,4-5 = 0,4. Отн = 0,4:5,4*100% = 7,4%
    2) 7,9 = 8. Абс = 8-7,9 = 0,1. Отн = 0,1:7,9*100% = 1,27%
    3) 1,89 = 2. Абс = 2-1,89 = 0,11. Отн = 0,11:1,89*100% = 5,82%
    4) 8,5 = 9. Абс = 9-8,5 = 0,5. Отн = 0,5:8,5*100% = 5,88%
    5) 3,71 = 4. Абс = 4-3,71 = 0,29. Отн = 0,29:3,71*100% = 7,82%
    6) 11,27 = 11. Абс = 11,27-11 = 0,27. Отн = 0,27:11,27*100% = 2,4%

    2.
    1) 8,79 = 0. Абс = 9-8,79 = 0,21
    2) 0,777 = 0,8. Абс = 0,8-0,777 = 0,023
    3) 132 = 130. Абс = 132-130 = 2
    4) 1,23 = 1,23. Абс = 1,23-1,23 = 0.

  • Представьте число 2 целых 3/7 в виде десятичной дроби и результат округлите до сотых. Найдите абсолютную и относительную погрешности полученного в результате округления приближенного значения.


    Решение: 2³/₇=2,42857142857=2,43

    Под абсолютной погрешностью измерения понимают разность между полученным в ходе измерения и истинным значением физической величины:

     2,43-2,42857142857=0,00142857143 абсолютная погрешность

    Относительная погрешность представляет собой отно­шение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:

     0,00142857143 / 2,42857142857 = 0,00058823529 %

  • Округлите число до десятых и найдите абсолютную погрешность приближения:4,525 12,972


    Решение: №1.Округление числа происходит таким образом :
    если следующий разряд начинается с цифры 5,6,7,8,9, то предыдущий разряд увеличивается на 1
    если же 1,2,3,4, то разряд остается таким же.
    1) 4,5
    2)13,0

    №2. 
    5/6 ≈ 0,8(3)
    Ответ: с недостатком, т.к. при округлении числа, следующий разряд которого начинается на 3, предыдущий заряд остается неизменным, а точнее 8,3

  • Что называется границей абсолютной погрешности


    Решение: Абсолютная погрешность это разница между максимальным и средним значениями измеряемой величины. Относительная погрешность -это отношение абсолютной погрешности к средней величине (если в процентах, то умноженное на 100%). Соответственно границами и абсолютной, и относительной погрешностей это максимальное и минимальное допустимое значение величины исходя из этих погрешностей.

  • Округлите 36,7; 189,51; 51,3; 3,019 до единиц;
    2,653; 3, 812 до десятых;
    0,1559; 7,098; 1,0036 до сотых.
    Найдите абсолютную и относительную погрешности приближенных значений?


    Решение: 3,67=4, (Погрешность 0,33,)189,51=190,(Погрешность 0,49) 51,3=51, 3,019=3(Погрешность 0,019) 2,653=2,6(погрешность 0,53)3,812=3,8(погрешность 0,12) 0,1559=0,156 ( погрешность 0,0001) 7,098=7,100 ( погрешность 0,002) 1,0036=1 (погрешность 0,0036)

    36,7=37, 189, 51=190, 51, 3 =51, 3,019= 3,01.
    абсол погрешн. из большего - меньшее. 37-36,7=0,3, 190-189,51=0,49, 3, 019-3. 01=0. 001.

    2, 653=2, 65, 3, 812 =3 81, 51,3-51= 0,3,

    0, 1559=0, 16, 7, 098=7, 1, 1,0036=1, 00.