прогрессия »
последовательность геометрической прогрессии - страница 2
Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата. Середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Доказать, что последовательность площадей этих квадратов является геометрической прогрессией. Найти площадь седьмого квадрата.
Решение: Пусть сторона квадрата равна а, тогда половина его стороны равна а/2, а длина отрезка соединяющего его стороны равна(а/2)/(√2/2)=а/√2.А площади этих квадратов будут а² и а²/2
И так всегда. То есть каждый следующий квадрат будет меньше предидущего в 2 раза. То есть это геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
b₁=4 см, тогда b₇=4* 1/2⁷=2²/2⁷=1/2⁵=1/32= 0,01325см
Ответ: площадь 7 квадрата 1/32 см или 0,1325 мм.
Где в быту можно использовать геометрическую прогрессию? (((Геометрическая прогрессия – последовательность чисел, в которой каждое последующее число (начиная со второго), получается из предыдущего умножением его на определенное число.)))
Решение: Прогрессии в природе.
Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:
ИНФУЗОРИИ… Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?
Ответ: b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)
БАКТЕРИИ… Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. (геометрическая прогрессия).
Прогрессии в банковских расчетах.
Каждому в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами.
Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме ар. Под р% годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, либо прийти в банк один раз — в конце срока хранения вклада. Kaкой доход вы получите в том и другом случаях?
Чтобы ответить на этот вопрос, вам то же надо решить задачу на геометрическую прогрессию.
Прогрессии строителю: Представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу.
Количество бревен легко подсчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице
Прогрессии в медицине.
Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
Найдя сумму n первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т. е. 2 пузырька лекарства.Последовательность b1;b2;. геометрическая прогрессия со знаменателем q.
Дано:
b1=8748
n=7
b энное=12
найти
Sn
q
Решение: B седьмое равно b первое умножить на q в степени n-1, в нашем случае 6
12=8748 умножить на q в шестой.
отсюда q в шестой равняется 12/8748
или q в шестой равняется 729
Но 729 это три в шестой. Значит q =1/3
1. Решить задачу. В январе работники мастерской изготовили 106 изделий, а в каждый последующий месяц они изготовили на 3 больше, чем в предыдущий. Сколько изделий было изготовлено в декабре? Сколько за год?
2. Доказать, что числовая последовательность аn=2*3ⁿ-геометрическая прогрессия.
Решение: 1. Январь: А₁=106
Декабрь: А₁₂ -
d=3
S₁₂-
A₁₂=A₁+3*11=106+33=139 (шт) - изготовили в декабре
S₁₂=(A₁+A₁₂) * 12 =6*(106+139)=6*245=1470 (шт) - изготовили за год. 2
Ответ: 139 шт, 1470 шт.
2. Аn=2*3^n
A₁=2*3¹=6
A₂=2*3²=2*9=18
A₃=2*3³=2*27=54
В геометрической прогрессии квадрат каждого члена, отличного от первого и последнего, равен произведению соседних с ним членов:
А₂²=А₁ * А₃
18²=6*54
324=324
Условие выполняется, значит заданная последовательность есть геометрическая последовательность.
