прогрессия »

второй член геометрической прогрессии - страница 18

  • Три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если второе и третье уменьшить на 1, а первое оставить без изменения, то полученные числа будут составлять геометрическую прогрессию со знаменателем 3. Найти эти числа.


    Решение: РЕШЕНИЕ
    Для арифметической прогрессии - три последовательных члена
    a +nd и a+(n+1)d и a + (n+2)d
    Изменяем по условию заменив a +nd  на b
    b и  b+(d-1) и b + (2d-1).
    Пишем выражения для знаменателя геометрической прогрессии
     b+2d-1 = 3*(b+d-1) = 3b +3d -3
    2b+d-2 = 0
    d = 2*(b-1)
    Возвращаем подстановку
    3*(a + nd)  =b*q = a+nd-1
    3*a+ 3nd = a + nd-1
    a+nd =1/2
    ОТВЕТ НЕПОЛНЫЙ 

  • Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если от третьего отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Если же от второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии отнять по 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.


    Решение: Пусть А Б С, прогрессия

    то по признаку геометрич. прогрессии Б²=А*С

    после того как от С отняли 4 то А Б С-4 стала арифм прогр

    по признаку арифмет Б=( А+(С-4) ) /2

    и наконец когда отняли по еденицы от 2х первых, А Б-1 С-5, то стала опять геотметрической где (Б-1)²=А*(С-5)

    получаем систему

     Б²=А*С

    2Б= А+(С-4) 

    (Б-1)²=А*(С-5)

    Решаем систему, получаем корни (1;3;9) и (1/9 ;7/9 ;49/9 )

    Ответ 1 3 9 

  • Первый член геометрической прогрессии меньше второго на 10%. На сколько процентов первый член прогрессии меньше третьего?


    Решение: Решение:
    Первый член b1, тогда второй член геометрической прогрессии равен:
    b2=b1 +10% *b1:100%=b1+0,1b1=1,1b1
    Чтобы найти третий член геометрической прогрессии найдём знаменатель прогрессии:
    q=b2 : b1=1,1b1 :b1=1,1
    b3=b2*q=1,1b1*1,1=1,21b1
    Первый член данной геометрической прогрессии меньше третьего члена на:
    (1,21b1 - b1) *100%=21*b1% или на 21%

  • Суммы второго и третьего членов геометрических прогрессии = 30, а разница четвертого и второго = 90. Найти первый член геометрической прогрессии.


    Решение: B2+b3=30 b4-b2=90
    b2=b1q
    b3=b1q^2
    b4=b1q^3
    b1q+b1q^2=30 b1=30/(q^2+q)
    b1q^3-b1q=90 30q^3/(q^2+q)-30q/q^2+q)=90 30q^3-30q=90q^2+90q q≠0 ⇒ сократим на 30q
    q^2-1=3q+3
    q^2-3q-4=0
    q1=4 q2=-1 искл
    b1=30/(4^2+4)=30/20=1,5
     

    bn=b1*q^(n-1), b2+b3=b1*q+b1*q^2=30, b4-b2=b1*q^3-b1*q=90,  b1*q*(1+q)=30,  b1*q*(q^2-1)=90, необходимо решить систему уравнений: можно из 1-го выразить b1 и подставить во 2-е: b1=30/(q*(1+q)), 30/(q*(1+q))*q*(q^2-1)=90, учитывая, что q^2-1=(q-1)*(q+1)- проводим сокращения и получаем q=4, подставим в b1=30/(4(1+4))=1,5

  • В геометрической прогрессии с положительными члена произведение первого и третьего членов равно 4, а произведение третьего и пятого равно 64. Найдите сумму второго, четвертого и шестого членов.


    Решение: a1*a3=4

    a3*a5=64

     an=a1*b^(n-1)

    a3=a1*b^2 тогда a1*a1*b^2=4

    a5=a1*b^4 тогда a3*a5= a1*b^2*a1*b^4=64

     получаем систему уравнений с двумя неизвестными a1 и b

    a1^2*b^2=4

    a1^2*b^6=64

    выразим a1 из второго уравнения и подставим в первое

    a1^2=64/b^6

     64/b^6*b^2=4

    64/b^4=4

    b^4=16

    b=2

    тогда a1^2*4=4 значит a1=1

    a2=1*2=2

    a4=8

    a6=32

    a2+a4+a6=42

<< < 161718