второй член геометрической прогрессии - страница 17
Первый член возрастающей арифметической прогрессии и первый член возрастающей геометрической прогрессии равны 3. Второй член арифметической прогрессии больше второго члена геометрической прогрессии на 6; третьи члены прогрессий одинаковы. Найдите первые три члена каждой прогрессии.
Решение: Дано:
a₁ = 3 первый член арифметической прогрессии
a₂ = b₂ + 6
b₁ = 3 первый член геометрической прогрессии
a₃ = b₃
Решение:
a₂ = a₁ + d = 3 + d
b₂ = b₁*q = 3q
a₃ = a₁ + 2d = 3 + 2d
b₃ = b₁*q² = 3q²
{3 + 2d = 3q² так как a₃ = b₃
{3 + d = 3q + 6 так как a₂ = b₂ + 6, а b₂ = 3q
d = 3q + 3
3 + 2(3q + 3 )= 3q²
3 + 6(q + 1 )= 3q²
1 + 2(q + 1 )= q²
1+ 2q + 2 = q²
q² - 2q - 3 = 0
q₁ = (2 - √16) / (2∙1) = -1 не подходит
q₂ = (2 + √16) / (2∙1) = 3
q = 3
d = 3q + 3 = 3*3 + 3 = 12
a₁ = 3
a₂ = 3 + d = 3 + 12 = 15
a₃ = a₂ + d = 15 + 12 = 27
b₁ = 3
b₂ = b₁*q = 3*3 = 9
b₃ = b₁*q² = 3*3² = 27
Второй и пятый члены геометрической прогрессии равны 25,5 и 688,5. Найти члены прогрессии, заключенные между ними
Решение: Геометрическая прогрессия это последовательность чисел где каждое следующее получается из предыдущего умножением на постоянное число (q) называемое знаменателем.формула для вычисления n-го члена геометрической прогрессии:
a(n) = a1q^(n − 1)
т. к. у нас в прогрессии даны 2-й и 5-й члены, то заменяем (n − 1) на (n − 2)
q^(n − 2)=a(n)/а1
q=корень степени (n − 2) из [a(n)/а1]
q=корень степени (5 − 2) из [688,5/25,5] =корень степени (3) из [27] = 3
Проверяем:
25,5 - 2-й член прогрессии
25,5*3=76,5 - 3-й член прогрессии
76,5*3=229,5 - 4-й член прогрессии
229,5*3=688,5 - 5-й член прогрессии
Ответ: 76,5 - 3-й член прогрессии; 229,5 - 4-й член прогрессии.
В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего члена равна 164. А произведение второго и предпоследнего - 324. Найти последний член прогрессии.
Решение: Пусть у нас дана геометрическая прогрессия b(n): первый член её равен b1, а последний - bn.Тогда, b1 + bn = 164
Выразим второй и предпоследний член через уже известные:
b2 = b1q
b(n-1) = bn/q
Заменим вместо второго и предпоследнего членов их выражениями, получим:
b(n-1) * b2 = b1q *bn/q = b1 * bn
Теперь можем составить системку из двух уравнений и найти из неё последний член:
b1 + bn = 164
b1 * bn = -324
Эту систему решим способом подстановки.
Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны 1. Известно, что сумма вторых членов прогрессий равна 3, а сумма пятых равна 161. Найти сумму шестых членов прогрессий.
Решение: Пусть первый член геометрической прогрессий равен $$ b_{1} $$, а первый второй $$ a_{1} $$.
Тогда $$ b_{1}=a_{1}=1 $$
$$ b_{2}+a_{2}=3\\ b_{5}+a_{5}=161\\\\ b_{2}=b_{1}q\\ a_{2}=a_{1}d\\\\ q+d=3\\ q^4+d^4=161\\ $$
найти надо $$ q^5+d^5 $$
$$ q^4+d^4=(q^2+d^2)^2-2q^2d^2=((q+d)^2-2qd)^2-2q^2d^2=161\\\\ (9-2qd)^2-2q^2d^2=161\\\\ qd=x\\\\ (9-2x)^2-2x^2=161\\\\ 81-36x+2x^2=161\\\\ 2x^2-36x-80=0\\\\ x^2-18x-40=0\\\\ x=20\\\\ x=-2\\\\ (q+d)(q^4+d^4)=q^5+d^5+qd(q^3+d^3)=\\\\ q^5+d^5=161*3-(-2)*3(9-3*(-2))=573 $$
Ответ $$ 573 $$
Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего её членов ровна 29, а второго и четвертого 11,6.
Решение: $$ \left \{ {{b_1+b_3=29} \atop {b_2+b_4=11.6}} \right.\\ \\ \left \{ {{b_1+b_1*q^2=29} \atop {b_1*q+b_1*q^3=11.6}} \right.\\ \\ \left \{ {{b_1(1+q^2)=29} \atop {b_1*q(1+q^2)=11.6}} \right.\\ \\ \left \{ {{b_1=\frac{29}{1+q^2}} \atop {b_1*q(1+q^2)=11.6}} \right.\\ \\ \frac{29q(1+q^2)}{1+q^2}=11.6\\ \\ 29q=11.6\\ q = 0.4\\ b_1=\frac{29}{1+q^2}= \frac{29}{1+0.4^2} = 25\\ S_4 = b_1*\frac{1-q^3}{1-q} = 25 * \frac{1-0.0256}{1-0.4} =25 * 1.624 = 40.6\\ \\ ili \ takoj \ variant\\ \\ \ b_1 = 25\\ b_3 = 29 - 25 = 4\\ b_2 = 25 * 0.4 = 10\\ b_4 = 11.6 - 10 = 1.6\\ S_4 = 25 + 4 + 10+1.6 = 40.6\\ $$
