прогрессия »

второй член геометрической прогрессии - страница 15

  • Найдите четвёртый член возрастающей геометрической прогрессии, если сумма первого и четвёртого членов равна 112, а второго и третьего 48.


    Решение: B₂=b₁q
    b₃=b₁q²
    b₄=b₁q³
    поэтому
    b₁+b₄=b₁+b₁q³=112
    b₂+b₃=b₁q+b₁q²=48
    решаем систему
    b₁+b₁q³=112
    b₁q+b₁q²=48
    b₁=112/(q³+1)
    112q/(q³+1)+112q²/(q³+1)=48
    112q+112q²=48(q³+1)
    7q+7q²=3(q³+1)
    7q(1+q)=3(q+1)(q²-q+1)
    7q=3(q²-q+1)
    3q²-3q+3-7q=0
    3q²-10q+3=0
    D=10²-4*3*3=64
    √D=8
    q₁=(10-8)/6=2/6=1/3
    q₂=(10+8)/6=3
    b₁=112/(1+q₁³)=112/(1+1/27)=112/(28/27)=112*27/28=4*27=108
    и тогда b₄=112-108=4
    или
    b₁=112/(1+q₂³)=112/(1+27)=112/28=4
    и тогда b₄=112-4=108
    Ответ: 4 иди 108

  • Найдите первый член геометрической прогрессии, у которой сумма первого и четвертого членов равна 18, а сумма второго и третьего членов равна 12.


    Решение: Система

    {A1+A4=18

    {a2+a3=12

    {a1+a1q^3=18
    {a1q+a1q^2=12
    {a1(1+q^3)= 18 
    {a1q(1+q)=12
    Делим уравнения и получаем: 1+q^3/q(1+q)=18/12

    1-q+q^2/q=18/12

    12q^2-30q+12=0

    q=0,5;q=2

    1) q=0,5 

    0,5a1+0,25a1=12

    a1=16

    2)q=2

    2a1+4a1=12

    a1=2

  • Найдите шестой десятый члены геометрической прогрессии если их сумма равна 16, а про зведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно 60.


    Решение: $$ \begin{cases}b_6+b_{10}=16\\b_2\cdot b_{14}=60\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1q^5+b_1q^9=16\\b_1q\cdot b_1q^{13}=60\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1q^5+b_1q^9=16\\b_1^2q^{14}=60\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}b_1q^5+b_1q^9=16\\b_1q^{5}\cdot b_1q^9=60\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_6+b_{10}=16\\b_6\cdot b_{10}=60\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_6=16-b_{10}\\16b_{10}-b_{10}^2=60\end{cases} $$
    $$ 16b_{10}-b_{10}^2=60\\b_{10}^2-16b_{10}+60=0\\D=256-4\cdot60=16\\b_{10}=6,\;b_{10}=10\\\begin{cases}b_6=10\\b_{10}=6\end{cases}\quad\quad\quad\begin{cases}b_6=6\\b_{10}=10\end{cases} $$

  • В возрастающей геометрической прогрессии известно, что сумма первого и четвертого члена равна 27, а произведение второго и третьего членов равно 72. Найдите четвертый член прогрессии.


    Решение: $$ b_1+b_4=b_1+b_1q^3=27,q^{3}= \frac{27}{b_1}-1 \\ b_2*b_3=b_1q*b_1q^2=b_1^2q^3=72 \\ b_1^2( \frac{27}{b_1}-1)=72 \\ 27b_1-b_1^2=72 \\ b_1^2-27b_1+72=0 $$
    по теореме Виета:
    $$ b_{11}+b_{12}=27 \\ b_{11}*b_{12}=72 \\ b_1=24,b_1=3 $$
    $$ q^{3}= \frac{27}{b_1}-1= \frac{27}{24}-1=1 \frac{3}{24}-1=\frac{3}{24} \\ q= \sqrt[3]{\frac{3}{24}} $$
    q принимает значение меньше 1 - не подходит, т. к. прогрессия возрастающая
    $$ q^{3}= \frac{27}{b_1}-1= \frac{27}{3}-1=9-1=8 \\ q= \sqrt[3]{8}=2 $$
    q>1
    $$ b_{4}=b_1*q^{3}=3*2^3=3*8=24 $$

  • Алеша, Боря и Вася покупали блокноты и трехкопеечные карандаши. Алеша купил 4 карандаша и 2 блокнота, Боря купил 6 карандашей и 1 блокнот, Вася купил 3 карандаша и 1 блокнот. Известно, что суммы денег, заплаченные Алешей, Борей и Васей, образуют соответственно первый, второй и третий члены геометрической прогрессии. Сколько стоит блокнот?


    Решение: Х руб стоит блокнот 
    Алёша (4*3+2х) руб заплатил
    Боря (6*3+х) руб
    Вася (3*3)+х, так как 
    они  образуют соответственно первый, второй и третий члены геометрической прогрессии, то составим пропорцию 
    (18+х)/(12+2х)=(9+х)/(18+х)
    324+36х+х:2=108+12х+18х+2х:2
    х:2-6х-218+0
    D=b^2- 4ac=36+864=900=30^2
    x=(6+30)/2=18
    x=(6-30)/2=-12, значит блокнот стоит 18 руб

<< < 131415 16 17 > >>